3.2.1 双曲线的标准方程（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）

教学目标3.2.1双曲线的标准方程教学目标1.理解双曲线标准方程的求导过程，会根据标准方程判断焦点位置；2. 掌握双曲线标准方程中参数之间的关系.教学重难点教学重点：双曲线标准方程的推导教学重难点教材分析教学难点：双曲线图形的绘制．教材分析教学工具双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线，它是解析几何的重要内容之一，无论从知识的角度还是从思想方法的角度双曲线都与椭圆有类似之处，学习双曲线本身对椭圆知识和方法的巩固、深化与提高.教学工具教学课件教学过程（一）教学过程广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑，广州塔的两侧轮廓线是什么曲线？有什么特点？可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？【设计意图】由广州塔引入双曲线的概念.（二）探索新知我们通过一个实验来完成．（1）取一条拉链，把它拉开分成两条，将其中一条剪短．把长的一条的端点固定在点F1处，短的一条的端点固定在点F2处；（2）将笔尖放在拉链锁扣M

处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖

就画出一条曲线(图中右边的曲线)；（3）再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处．类似地，笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线)．拉链是不可伸缩的，笔尖(即点M)在移动过程中，与两个点F1、F2的距离之差的绝对值始终保特不变．一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距．我们利用椭圆的对称性建立了平面直角坐标系，并推导了椭圆的标准方程．对于双曲线，如何建立适当的坐标系求它的方程呢？以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设M(x，y)为双曲线上的任一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c，0)、(c，0)．又设双曲线上的点M与焦点F1、F2的距离之差的绝对值为2a(a>0)，即|MF1|-|MF2|=2a，则有|MF1|-|MF2|=±2a.于是有

(x+c)²+y移项得(x+c)²+y²

两边平方得(x+c)²+y²=整理得cx-a²=±a两边再平方，整理得a4+c²x²=a²x²+a²c²+a²y²，移项并整理得(c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²)．由双曲线定义可知，2c>2a>0，即c>a>0，因此c²-a²>0．令c²-a²=b²得(b>0)，则上式可化为b²x²-a²y²=a²b²．两边同除以a²b²，得x²a²-y²b²=1(a>0方程x²a²-y²b²=1(a>0，b>0)称为双曲线的标准方程，此时双曲线的焦点．在x轴上，焦点坐标分别为(-c，0)如图，以过双曲线两焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系．类似地，可以求得双曲线的标准方程为y²a²-x²b²=1(a此时双曲线的焦点F1和F2的坐标分别为(0，-c)、(0，c)．【设计意图】通过把几何问题转化成代数问题从而使几何问题可以通过代数运算来解决，类比介绍焦点在y轴上的双曲线的标准方程..（三）典例剖析例1.根据条件，求双曲线的标准方程．（1）焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6；（2）焦点为F1(0，-6)和F2(0，6)，双曲线上一点M的坐标为(2，-5)．解：（1）因为2c=14，2a=6，即c=7，a=3，所以b²=a²-c²=40．由于双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的标准方程为x²9-y（2）由双曲线的定义知，||MF1|-|MF2||=2a，即2a=(2化简得2a=45，即a=25

又因为c=6，所以b²=c²-a²=36-20=16.由题设可知，双曲线的焦点在y轴上．因此，双曲线的标准方程为y²20-x例2.已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距．（1）x²32-y²4=1；（2）x解:（1）因为含x项的系数为正数，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a²=32，b²=4．于是有c²=a²+b²=32+4=36，从而可得c=6，2c=12．所以，双曲线的交点坐标分别为(-6，0)、(6，0)，焦距为12．（2）将双曲线的方程化为标准方程，为y²8-因为含y的项的系数为正数，所以双曲线的焦点在y轴上，并且a²=8，b²=8．于是有c²=a²+b²=16，从而可得c=4，2c=8．所以，双曲线的交点坐标分别为(0，-4)、(0，4)，焦距为8．要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上．【设计意图】例1根据定义求双曲线方程，例2根据双曲线的标准方程求焦点坐标.（四）巩固练习1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，，焦点在x轴上；(2)焦点为，，且；(3)，．解：（1），双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为（2），双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为（3）当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.2.已知点F1(，0)和F2(4，0)，一曲线上的动点P到F1，F2的距离的差的绝对值是6，该曲线方程是.解：∵，，∴点轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线，，，又，∴，∴曲线方程是．故答案为：．3．双曲线的焦距为解：因为双曲线方程为，所以，.双曲线的焦距为.故答案为：.4.证明：椭圆与双曲线的焦点相同．解：由题