3.1.2 椭圆的几何性质（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）

教学目标3.1.2椭圆的几何性质教学目标1.掌握椭圆的性质，会求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标；2.能根据椭圆的几何性质，对椭圆方程进行讨论，会画椭圆的图形过程与方法.教学重难点教学重点：根据条件求椭圆的标准方程教学重难点教材分析教学难点：圆的离心率对图像的影响．教材分析教学工具本节课是通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质，是本单元的重点内容之一，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同进也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫.教学工具教学课件教学过程（一）教学过程(x-a)2+(y-b)2=r2.方程称为以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程.在基础模块，我们利用圆的标准方程得到了圆的性质，是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？【设计意图】复习知识并为今天的学习内容做铺垫.（二）探索新知下面以x²a²+y²b²1.范围从椭圆的标准方程可知，1-x²a²=y²b-a≤x≤a．同理可得，y²b²≤1，于是有-b≤y这说明，椭圆位于四条直线x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形框内，如图所示．2.对称性在椭圆的标准方程中，将y换成-y，方程不变．这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于x轴的对称点

P1(x,-y)也在椭圆上．因此,椭圆关于x轴对称．同理，将x换成-x，方程不变.这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上．因此，椭圆关于y轴对称．

进一步，将x换成-x，同时y换成-y，方程不变．这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上．因此，椭圆关于原点对称．综上所述，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，也关于坐标原点对称．x轴与y轴都称为椭圆的对称轴，坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心)．3.顶点在椭圆的标准方程x²a²+y²b²=1中，令y=0，得x=±a，这说明椭圆与x轴有两个交点A1(-a,0)和A2(a,0)．同理，令x=0，得y=±b.这说明椭圆与y轴有两个交点B1(0,-b)和椭圆与它的对称轴的四个交点A1、A2、B1、B2，称为椭圆的顶点．线段A1A2和B1B2分别称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长．显然，椭圆的焦点在它的长轴上．值得注意的是，由于a、b、c满足关系式b²+c²=a²，故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形．观察上图，可知|OB1|=|OB2|=b，|OF1|=|OF2|=c，|B2F1|=|B2F2|=a，故有|OB2|²+|OF2|²=|B2F2|²．因此，Rt△F2OB2(或Rt△F1OB1)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系．4.离心率把椭圆的焦距与长轴长之比c

a称为椭圆的离心率，记作e=c

a因为a>c>0，所以0<e<1．容易看出，e越接近于1，c越接近于a，从而b=a²-c²越小，椭圆就越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于同样，可以得到椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴及离心率等基本性质．同样，可以得到椭圆y2a2为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？可以降低分散液体对罐壁的压力，在装载相同体积下，同强度，椭圆型设计上可以缩小壁厚，减少材料。同时，也提高行车平衡能力，而且也便于清洗。如果是方型，就没办法把低下的油放干净，而且行车时油对壁的冲击很大.【设计意图】借助信息技术手段突破难点，也更加直观..（三）典例剖析例1.求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率，焦点和顶点的坐标．解：将原方程化为标准方程，得x²25+y容易看出，椭圆的焦点在x轴，并且a=5，b=4，所以c=a²-b²=从而，椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8，离心率e=c

a=3

焦点坐标分别为(-3,0)、(3,0)，顶点坐标分别为(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)．例2.分别求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）经过点M(4,0)、N(0,-3)；（2）短轴长为6，离心率为4

5解：（1）因为椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以，点M、N就是椭圆的顶点,并且长半轴长a=4,短半轴长b=3．由于椭圆的长轴在x轴上，故其焦点在x轴上．于是，所求椭圆的标准方程为x²25+y（2）因为2b=6，所以b=3．由e=c

a=a²-b²a若椭圆的焦点在x轴上，则所求椭圆的标准方程为x²25+y若椭圆的焦点在x轴上，则所求椭圆的标准方程为x²9+y求椭圆的标准方程时,如果椭圆的交点位置不明确,应分别就焦点在x轴和y轴上两种情形进行讨论．例3.用“描点法”画出椭圆x²25+y分析由于椭圆具有对称性，一般只需先画出椭圆在第一象限内的图形,然后利用对称性，画出全部图形．解当y≥0时,椭圆的方程可以变形为y=3

在[0,5]内，选取几个整数作为x的值，计算出对应的y值，列表．以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点，得到椭圆在第一象限内的图形．然后利用椭圆的对称性，画出全部图形．我们可以利用椭圆的顶点和对称性画出大致图像．具体步骤如下：（1）由a²=25，得a=5，则得到椭圆的两个顶点A1(-5,0)、A2(5,0)；（2）由b²=9，得b=3，则得到椭圆的另外两个顶点B1(0,-3)、B2(0,3)；

（3）依据椭圆的图形特征，用光滑的曲线连接四个点，则椭圆的大致图像就画好了．【设计意图】例1让学生掌握椭圆的性质，例2是求椭圆的标准方程，例3掌握描点法画图.（四）巩固练习1.求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解：把已知方程化成标准方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，于是a＝4，b＝3，c＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4)，两个焦点坐标分别是(－eq\r(7)，0)、(eq\r(7)，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)、(4,0)、(0，－3)、(0,3)．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2；(2)一个焦点坐标为，短轴长为2；(3)离心率为，短轴长为4．解：（1）∵椭圆的焦点在轴上，∴设椭圆的方程为，长轴长为4，焦距为2，，∴a＝2，c＝1，，椭圆的方程为；解：（2）焦点坐标为，短轴长为2，∴设椭圆的方程为，，，椭圆的方程为；解：（3）由题意有：，解得，椭圆的方程为或.3．如图，求直线与椭圆的公共点坐标．解：联立直线l与椭圆C的方程，得到，即，解得，当时，，当时，，所以直线l与椭圆C的公共点的坐标为．4.飞船的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点A距地面2