第十七章 勾股定理 评价卷 2024-2025学年数学人教版八年级下册

第十七章勾股定理评价卷

(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)1.下列数组是勾股数的是(B)A.1,2,3 B.3,4,5 C.6,8,14 D.7,23,262.在平面直角坐标系中,点P(1,3)到原点的距离是(B)A.4 B.10 C.22 D.无法确定3.已知a,b,c为三角形的三边长,且满足等式|a-5|+(b-12)2+c-A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是(D)A.25 B.14 C.7 D.7或255.如图所示,正方形OABC的边OC落在数轴上,OC=2,以点O为圆心,OB长为半径作圆弧与数轴交于点D,则点D表示的数是(B)A.22 B.-22 C.2 D.-26.下列命题的逆命题是假命题的是(C)A.等腰三角形的两个底角相等B.内错角相等,两直线平行C.对顶角相等D.等边三角形的三个角都是60°7.如图所示,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这支铅笔的长度可能是(D)A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm8.一艘轮船以16nmile/h的速度从港口A出发向东北方向航行,另一艘轮船以12nmile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行,则离开港口2h后,两船相距(D)A.25nmile B.30nmile C.35nmile D.40nmile9.如图所示,一圆柱体的底面周长为24cm,高BD为5cm,BC是直径,一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是(C)A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm10.如图所示是由边长为1的小正方形组成的网格,△ABC的顶点A,B,C均在格点上.若AD⊥BC于点D,则线段AD的长为(D)A.5 B.25 C.1 D.211.如图所示,折叠长方形纸片ABCD的一边AD,使点D落在边BC上的点F处,已知AB=8cm,AD=10cm,则EF的长为(D)A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm12.如图(1)所示是我国古代著名的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形围成的,若较短的直角边BC=5,斜边AB=61,若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍,得到如图(2)所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是(B)A.70 B.76 C.72 D.80二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)13.命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是等腰三角形是等边三角形,它是假命题(选填“真”或“假”).

14.如图所示,一座桥横跨一河,桥长40m,一艘小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸后,发现已偏离桥南头9m,则小船实际行驶的距离为41m.

15.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离为3.

16.有一个边长为1的大正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,形成的图形如图所示.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,那么“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2025.

三、解答题(本题共9小题,共98分)17.(10分)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.若a=5,b=10,求c的值.解:由勾股定理,知c2=a2+b2=52+102=125,∴c=55.18.(10分)如图所示的是由单位长度为1的小正方形组成的网格,按要求作图.在图中画出一条长为5的线段.解:(画法不唯一)如图所示.∵AC=AB2+BC∴线段AC即为所求.19.(10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4cm,BC=3cm,AD=12cm,CD=13cm,判断△ACD的形状,并说明理由.解:△ACD是直角三角形.理由如下:∵△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=4cm,BC=3cm,∴AC=AB2+∵AD=12cm,CD=13cm,∴52+122=132.∴△ACD是直角三角形.20.(10分)《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”(注:1步=5尺)译文:有一架秋千(如图(1)所示),当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离,如图(2)所示)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,问绳索有多长.图(1)图(2)解:设秋千的绳索长为x尺.根据题意,可列方程为x2=102+(x-4)2,解得x=292∴秋千的绳索长为29221.(10分)如图所示,D为△ABC的边BC上的一点,AB=10,AD=6,CD=2AD,BD=23(1)求BC的长;(2)求△ABC的面积.解:(1)∵AD=6,CD=2AD,∴CD=12.∵BD=23(2)在△ABD中,∵AB=10,AD=6,BD=8,∴AB2=100,AD2+BD2=100.∴AB2=AD2+BD2.∴△ABD为直角三角形,且∠ADB=90°,即AD⊥BC.∴S△ABC=12BC·22.(12分)如图(1)所示,直角三角形的两条直角边长分别是a,b(a<b),斜边长为c.(1)探究:用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形如图(2)所示.①小正方形的边长为c,大正方形的边长为;

②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式,整理得,从而验证勾股定理;

(2)应用:将两个这样的直角三角形按图(3)所示摆放,使BC和CD在一条直线上,连接AE.请你类比(1)中的方法用图(3)验证勾股定理.解:(1)①a+b②(a+b)2=4×12ab+c2a2+b2=c(2)∵∠BAC+∠ACB=90°,∠BAC=∠ECD,∴∠ECD+∠ACB=90°.∴∠ACE=90°.用两种不同的方法表示出梯形ABDE的面积,可得12(a+b)(a+b)=2×12ab+12∴a2+2ab+b2=2ab+c2.∴a2+b2=c2.23.(12分)为培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八年级(1)班,八年级(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.(1)当班主任测量出八年级(1)班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积.求出的面积为m2.

(2)八年级(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15m,BC=14m,AC=13m(如图所示),你能帮助他们求出面积吗?解:(1)30(2)过点A作AH⊥BC于点H,如图所示,设BH=x,则CH=14-x.在Rt△BHA中,AH2=AB2-BH2=152-x2,在Rt△AHC中,AH2=AC2-CH2=132-(14-x)2,∴152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AH=15∴△ABC的面积=12BC·AH=12×14×12=84(m答:△ABC的面积是84m2.24.(12分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动,设运动的时间为ts.(1)若△ABP是以BP为斜边的直角三角形,求t的值;(2)若△ABP是以BP为腰的等腰三角形,求t的值.解:(1)如图①所示,∵∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,∴BC=52∴CP=t-4.由∠ACP=∠BAP=90°,可得AP2=t2-25=(t-4)2+9,解得t=254∴t的值为254(2)如图②所示,当AB=BP时,t=5.如图③所示,当BP=AP时,CP=4-t.在Rt△APC中,可得9+(4-t)2=t2,解得t=258综上所述,t的值为5或25825.(12分)定义:如图所示,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.(1)已知M,N把线段分割成AM,MN,NB,若AM=2,MN=4,BN2=12,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.(2)已知M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长.解:(1)是.理由如下:因为AM=2,MN=4,BN2=12,所以AM2+BN2=16,MN2=42=16.所以AM