数学三-2020年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题

数学三-2020年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题单选题（共8题，共8分）(1.)设奇函数（x）在（－∞，＋∞）上具有连续导数，则()。A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：A参考解析：因为（x）在（－∞，＋∞）上具有连续导数，且为奇函数，故′（x）为偶函数，又cos（x）也为偶函数，从而cos（t）＋′（t）为偶函数，进而是奇函数。故应选A项。(2.)设幂级数的收敛区间为（－2，6），则的收敛区间为()。A.（－2，6）B.（－3，1）C.（－5，3）D.（－17，15）正确答案：B参考解析：(3.)设4阶矩阵A＝（aij）不可逆，元素a12对应的代数余子式A12≠0，a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则A*x＝0的通解为()A.x＝k1a1＋k2a2＋k3a3，其中k1，k2，k3为任意常数B.x＝k1a1＋k2a2＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数C.x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数D.x＝k1a2＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数正确答案：C参考解析：由A不可逆知，r（A）＜4，又元素a12对应的代数余子式A12≠0，故r（A）≥3，从而r（A）＝3。由，可知r（A*）＝1。故A*x＝0的基础解系含有3个解向量。因a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，则a1，a3，a4可看做作A12对应矩阵列向量组的延长组，故a1，a3，a4线性无关。又A*A＝A*（a1，a2，a3，a4）＝｜A｜E＝0，故a1，a3，a4均为A*x＝0的解。综上，a1，a3，a4为A*x＝0的一个基础解系，故A*x＝0得通解为x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数。(4.)设A为3阶矩阵，a1，a2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征值－1的特征向量，则满足得可逆矩阵P为()A.（a1＋a3，a2，－a3）B.（a1＋a2，a2，－a3）C.（a1＋a3，－a3，a2）D.（a1＋a2，－a3，a2）正确答案：D参考解析：a1，a2是A属于特征值1的线性无关的特征向量，即Aa1＝a1，Aa2＝a2，故A（a1＋a2）＝a1＋a2，即a1＋a2也是A属于特征值1的特征向量。设k1（a1＋a2）＋k2a2＝0，即k1a1＋（k1＋k2）a2＝0，由于a1，a2线性无关，故k1＝k2＝0，即a1＋a2，a2线性无关。a3是A属于特征值－1的特征向量，即Aa3＝－a3，因此A（－a3）＝－（－a3），即－a3也是A属于特征值－1的特征向量可取P＝（a1＋a2，－a3，a2），则P是可逆矩阵，且满足。故应选D项。(5.)若，则（x）第二类间断点的个数为()A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：(6.)A.bsinaB.bcosaC.bsin（a）D.bcos（a）正确答案：B参考解析：由拉格朗日中值定理知，存在ξ介于a与（x）之间，使得sin（x）－sina＝cosξ·[（x）－a]。(7.)设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，则A，B，C恰有一个事件发生的概率为()A.3/4B.2/3C.1/2D.5/12正确答案：D参考解析：(8.)设随机变量（X，Y）服从二维正态分布N（0，0；1，4；－1/2），下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是()A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C参考解析：填空题（共5题，共5分）(9.)设z＝arctan[xy＋sin（x＋y）]，则dz|（0，π）＝正确答案：（π－1）dx－dy(10.)正确答案：y＝x－1(11.)Q表示产量，成本C（Q）＝100＋13Q，单价为p，需求量Q（p）＝800/（p＋3）－2。则工厂取得利润最大值时得产量正确答案：Q＝8(12.)设平面区域D＝{（x，y）｜x/2≤y≤1/（1＋x^2），0≤x≤1}，则D绕y周旋转所成旋转体体积为正确答案：πln2－π/3(13.)设随机变量X的概率分布为P{X＝k}＝1/2^k（k＝1，2…），Y表示X除以3的余数，则EY＝正确答案：8/7问答题（共10题，共10分）(14.)行列式＝正确答案：参考解析：(15.)正确答案：参考解析：(16.)设A为2阶矩阵，P＝（a，Aa），其中a是非零向量，且不是A的特征向量。（Ⅰ）证明P为可逆矩阵；（Ⅱ）若A2a＋Aa－6a＝0，求P^－1AP并判断A是否相似于对角阵。正确答案：参考解析：(17.)设某种元件的使用寿命T的分布函数为：，其中θ，m为参数且大于零。（Ⅰ）求概率P{T＞t}与P{T＞s＋t｜T＞s}，其中s＞0，t＞0；（Ⅱ）任取n个这个元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2，…tn，若m已知，求θ的最大似然估计值。正确答案：参考解析：（Ⅰ）（Ⅱ）由题意得，T的概率密度为似然函数当ti＞0时，令解之得θ的最大似然估计值为。(18.)已知（1＋1/n）^n－e与b/n^a为n→∞时的等价无穷小，求a，b。正确答案：参考解析：由题意有令1/n＝t，则从而a＋1＝2，－e/（2b）＝1，解之得。(19.)求（x，y）＝x^3＋8y^3－xy的极值。正确答案：参考解析：(20.)已知y＝（x）满足y″＋2y′＋5（x）＝0，且有（0）＝1，′（0）＝－1。（Ⅰ）求（x）；（Ⅱ），求。正确答案：参考解析：(21.)正确答案：参考解析：(22.)设（x）在区间[0，2]上具有一阶连续导数，且（0）＝（2）＝0，。证明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，2，）使得｜′（ξ）｜≥M；（Ⅱ）若对任意x∈（0，2），｜′（x）｜≤M，则M＝0。正确答案：参考解析：(23.)已知因（X，Y）服从区域上的均匀分布，且求：（Ⅰ）（U，V）的联合分布；（Ⅱ）ρUV。正确答案：参考解析：（Ⅰ）因（X，Y）服从区域上的均匀分布，故P{U＝0，V＝0}＝P{X＋Y≤0，X－Y≤0}＝1/4，P{U＝0，V＝1}＝P{X＋Y≤0，X－Y＞0}