小升初专题55 三角形

专题55三角形

考点聚焦

重点速记

一、三角形的特性。

角形具有稳定性．

三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有

一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）．

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

二、三角形分类。

1．按角分

判定法一：

锐角三角形：三个角都小于90°．

直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．

钝角三角形：有一个角大于90°．

判定法二：

锐角三角形：最大角小于90°．

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直角三角形：最大角等于90°．

钝角三角形：最大角大于90°．

其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．

2．按边分

不等边三角形；

等腰三角形；

等边三角形．

三、等边三角形和等腰三角形。

1．等腰三角形的定义和性质：

定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形．

判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）．

2．等边三角形定义：

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的

等腰三角形．

如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做

等边三角形：

（1）三边长度相等；

（2）三个内角度数均为60度；

（3）一个内角为60度的等腰三角形．

真题专练

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．（2分）（2023•临西县）下面三组小棒，不能围成三角形的是()（单位：厘米）

A．B．

C．D．

2．（2分）在三角形三个内角中，Ð1=Ð2+Ð3，那么这个三角形一定是()三角形．

A．钝角B．直角C．锐角D．等腰

3．（2分）（2023•东山区）在三角形中，三个内角是Ð1，Ð2，Ð3，若Ð1=Ð2-Ð3，那么

这个三角形一定是()三角形。

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A．锐角B．直角C．钝角D．任意

4．（2分）（2023•青川县）如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角()

A．79°B．80°C．89°D．90°

5．（2分）（2023•渑池县）一个三角形，三个内角度数的比是1:2:3，这个三角形是()

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形

6．（2分）（2023•长兴县）一个图形被遮住了一部分，那么这个图形不可能是()

A．三角形B．平行四边形C．梯形D．四边形

7．（2分）（2023•晋江市）一个三角形有一个角是60°，另外的两个角可能是()

A．100°和20°B．70°和40°C．70°和20°D．50°和90°

8．在创建美丽乡村活动中，要给花圃围上篱笆，下面围法中，()围法既美观又最牢固。

A．B．

C．D．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．如图，一张三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角是°，原来这张纸片的形状

是三角形。

10．（2分）（2023•湘潭县）一个三角形三个内角度数的比是1:2:3，这个三角形是三

角形，最小的角的度数是．

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11．（2分）（2023•惠山区）亮亮准备把一根长16厘米的吸管折成三段围成一个三角形（每

段都是整厘米）。如果第一次从2厘米处折，那么第二次应从厘米处折。

12．（2分）一个三角形的三个内角的度数比是1:6:5，最大的一个内角是度，按角分，

它是一个角三角形．

13．（2分）（2023•高唐县）一个等腰三角形的一个底角是m度，则顶角是。

14．（2分）（2023•淅川县）明明有5厘米和11厘米的小棒各一根，如果想围成一个三角

形，第三根小棒最长是厘米，最短是厘米。（第三根小棒的长度是整厘米数）

15．（2分）一个等腰三角形的顶角是120度，则它的一个底角度数是顶角度数的。

16．（2分）（2023•如皋市）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。

（1）Ð1=°，Ð2=°。

（2）如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是厘米。

（3）如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，Ð3+Ð4=°。

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．（2分）斜拉桥用很多钢管组成三角形，主要是为了增加桥的稳定性。

18．（2分）如图三角形被遮住了一个角，这个三角形是钝角三角形。

19．（2分）（2023•梅州）用长度分别是5cm、6cm、7cm的三根小棒能构成三角形。

20．（2分）（2023•上虞区）在一个等腰三角形中，其中两个内角的度数之比是1:2，这个

等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形。?

四．解答题（共8小题，满分60分）

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21．（6分）（2023•上饶）如图，把三角形ABC的边BC延长到点D．

（1）Ð3和Ð4拼成的是什么角？

（2）你能说明Ð1+Ð2=Ð4吗？

22．（6分）（2023•日照）仔细观察，自主探究。

三角形的一条边和另一条边的延长线形成的夹角叫做三角形的外角，如图，ÐACD就是三角

形的一个外角，同学们，你们能够用自己的方法求出ÐACD的大小吗？你有什么发现？

23．（6分）（2021•掇刀区）如图，一个三角形被损坏了，只能看到一个角是30°。已知另

外两个角其中一个是另一个的2倍。这个三角形最大的角是多少度？

24．（6分）（2019•姜堰区）认识三角形后，豆豆和婷婷拿出学具袋中的4根小棒，想用其

中的3根小棒围一个等腰三角形。

（1）如果你是豆豆，你觉得可以选哪三根小棒？

（2）为什么这样选？请说说你的理由。

25．有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1:2，这个三角形按角分类可能是什么三角

形？

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26．（6分）（2023•巴东县）推理计算。如图，已知DABC，ÐB=70°，若沿图中的虚线剪去

ÐB。请用数学语言或算式表述出Ð1+Ð2的推理过程。

27．（12分）（2023•满城区）把三角形ABC的边AC延长到D，那么Ð1+Ð2=Ð4吗？请你填

空，完成下面的推理过程。

因为三角形的内角和是180°，所以Ð1+Ð2+Ð3=°，

根据等式的性质，等式的两边都减去Ð3，可以得到Ð1+Ð2=180°-；

因为Ð3和Ð4组成了一个平角，所以Ð3+Ð4=°，

根据等式的性质，等式的两边都减去Ð3，可以得到Ð4=；

又因为180°-Ð3=180°-Ð3所以=

28．（12分）（2022•徐州）（1）请在图中选择四个点，依次连接，围成一个平行四边形。

（2）选择图中的三个点，依次连接，能画出个等腰三角形。

（3）画出其中一个等腰三角形，并画出它向右平移3格后的图形。

（4）若所画等腰三角形一个顶点的位置用数对(a,b)表示，则它平移后的位置用数对

（，)表示。

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专题55三角形

参考答案

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．【分析】三角形任意两边之和大于第三边，所以只要计算三边中较短两边的和，再与第三

边比较，如果大于第三边，那么就能围成三角形，否则就不能．

【解答】解：3+3=6>5所以A能围成三角形；

3+3=6所以B不能围成三角形；

4+4=8>4所以C能围成三角形；

3+3=6>3所以D能围成三角形；故选：B．

【点评】此题是考查三角形三边的关系，应灵活掌握和运用．

2．【分析】根据三角形的内角和是180度，如果在三角形三个内角中，Ð1=Ð2+Ð3，也就

是180¸2=90度，90¸2=45度，那么这个三角形一定是直角三角形．据此解答．

【解答】解：由分析得：在三角形三个内角中，Ð1=Ð2+Ð3，也就是180¸2=90（度)，90¸2=45

（度)，那么这个三角形一定是直角三角形．故选：B．

【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形的分类，按照角大小分为：直角三角形、锐角三

角形、钝角三角形；按照边分为：等腰三角形（含等边三角形）、不等边三角形．

3．【分析】根据三角形的内角和等于180°和三角形按角分类，解答此题即可。

【解答】解：因为Ð1=Ð2-Ð3

所以Ð1+Ð3=Ð2

所以Ð1+Ð3+Ð2=Ð2+Ð2

所以2Ð2=180°

Ð2=90°

这个三角形一定是直角三角形。故选：B。

【点评】熟练掌握三角形的内角和定理，是解答此题的关键。

4．【分析】根据三角形的内角和是180°，用180°分别减去图中已知的两个角的度数，即可求

出撕去的角的度数。

【解答】解：180°-45°-56°

=135°-56°

=79°

答：这个角79°。故选：A。

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【点评】本题考查了三角形的内角和定理的应用。

3

5．【分析】因为三角形的内角度数和是180°，三角形的最大的角的度数占内角度数和的，

6

根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可．

【解答】解：1+2+3=6，

3

最大的角：180°´=90°，所以这个三角形是直角三角形；故选：B。

6

【点评】解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三

角形的分类判定类型．

6．【分析】观察图发现：已知两个角，所以可能是三角形，也可能是四边形；上下两个边有

可能平行，所以有可能是梯形；上下两个边不平行，所以不是平行四边形；由此解答即可。

【解答】解：如图，一个图形被遮住了一部分，那么这个图形不可能是平行四边形。

故选：B。

【点评】熟练掌握平行四边形、梯形、等腰三角形以及锐角三角形的含义，是解决本题关键。

7．【分析】根据三角形内角和为180°，另外两个角的度数和一定为180°-60°=120°，找出选

项中两个度数和为120°的即可解答。

【解答】解：180°-60°=120°

100°+20°=120°

故选：A。

【点评】本题考查三角形内角和度数以及计算。

8．【分析】三角形具有稳定性，平行四边形容易变形。据此解答即可。

【解答】解：围法既美观又最牢固。故选：C。

【点评】本题考查了三角形具有稳定性和四边形易变形的特点。

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．【分析】根据三角形的内角和等于180°和三角形的分类，解答此题即可。

【解答】解：180-46-67

=134-67

=67（度)

答：撕去的这个角是67°，原来这张纸片的形状是等腰三角形。故答案为：67；等腰。

【点评】熟练掌握三角形的内角和知识和三角形的分类，是解答此题的关键。

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10．【分析】三角形的内角和为180°，进一步直接利用按比例分配求得份数最小的角，然后

求出最大的角，根据三角形的分类即可判断．

3

【解答】解，180°´=90°，

1+2+3

1

180°´=30°，

1+2+3

因为三角形中有一个角是90°，所以该三角形是直角三角形；故答案为：直角、30°．

【点评】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题．

11．【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，解答此题即可。

【解答】解：16¸2=8（厘米）

8+1=9（厘米）

答：第二次应从9厘米处折。故答案为：9。

【点评】熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。

12．【分析】因三角形的内角和等于180°，这个三角形的三个内角的度数比是1:6:5，其中最

大的角，就是三角形内角和的6，根据分数乘法的意义可求出最大角的度数，然后根据

1+6+5

最大角判断昌什么三角形即可．

6

【解答】解：180°´，

1+6+5

1

=180°´，

2

=90°；

因有一个是90°，所以这个三角形是直角三角形．故答案为：90，直．

【点评】本题考查了学生对三角形内角和，以及三角形分类知识的灵活应用．

13．【分析】三角形的内角和是180度，等腰三角形的两个底角度数相等，则顶角是180度

减去两个底角的度数。

【解答】解；三角形内角和是180度，顶角的度数是(180-2m)度。

答：一个等腰三角形的一个底角是m度，则顶角是(180-2m)度。故答案为：(180-2m)度。

【点评】本题主要考查了三角形内角和，找出题目中的数量关系，是解答此题的关键。

14．【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此

解答。

【解答】解：5+11=16（厘米）

最长：16-1=15（厘米）

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11-5=6（厘米）

最短：6+1=7（厘米）

答：第三根小棒最长是15厘米，最短是7厘米。故答案为：15，7。

【点评】本题考查了三角形的三边关系的应用。

15．【分析】根据三角形的内角和等于180°和等腰三角形的两个底角相等，解答此题即可。

【解答】解：(180-120)¸2

=60¸2

=30（度)

1

30¸120=

4

答：它的一个底角度数是顶角度数的1。故答案为：1。

44

【点评】熟练掌握三角形的内角和知识和等腰三角形的性质，是解答此题的关键。

16．【分析】（1）连接BE，根据图形对折及点E在BC的垂直平分线上，可得三角形EBC是

等边三角形，即可求解；

（2）剪开的三角形是以正方形为边长的等边三角形，所以正方形的边长是5厘米，那么得到

的三角形的周长是15厘米；据此求解即可；

（3）根据四边形的内角和及等边三角形各角度数即可求解。

【解答】解：（1）如图：连接BE

根据对折可得：BC=EC，Ð1=Ð3，

点E在BC的垂直平分线上，所以BE=EC，

所以三角形EBC是等边三角形，可得ÐECB=60°

因为Ð1=Ð3，所以Ð1=60°¸2=30°；

图4中三角形即是三角形EBC，所以Ð2=60°。

（2）因为剪开的三角形是以正方形为边长的等边三角形，所以正方形的边长是5厘米，那么

得到的三角形的周长是15厘米。

（3）如图：如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角，

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Ð3+Ð4=360°-60°-60°=240°

故答案为：30，60；15；240。

【点评】本题主要考查了图形的折叠、三角形的内角和及四边形的内角和，解题的关键是掌

握线段垂直平分线上的点到顶点的性质及图形折叠特性。

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性，即可得答案。

【解答】解：根据三角形具有稳定性可得：斜拉桥用很多钢管组成三角形，主要是为了增加

桥的稳定性；所以原题说法正确。故答案为：Ö。

【点评】此题主要考查了三角形的稳定性及生活中的应用。

18．【分析】根据三角形内角和是180°，连续减去两个已知角的度数，求出盖住的角的大小，

再根据三角形的分类，进行判断即可。

【解答】解：180°-60°-30°=90°

答：这个三角形是直角三角形，原题说法错误。故答案为：´。

【点评】本题考查三角形内角和的应用以及三角形的分类。

19．【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此

解答。

【解答】解：5+6>7，因此用长度分别是5cm、6cm、7cm的三根小棒能够围成三角形。原题

说法正确。故答案为：Ö。

【点评】本题考查了三角形的三边关系的应用。

20．【分析】等腰三角形的两个底角相等，其中两个内角的度数之比是1:2，则等腰三角形三

个内角的度数之比可能是1:1:2或1:2:2；三角形的内角和是180°，把180°分别按1:1:2或1:2:2

分配，求出三个内角的度数；最后将三角形按角分类。

【解答】解：若等腰三角形三个内角的度数之比是1:1:2。

11

180°´=180°´=45°

1+1+24

21

180°´=180°´=90°

1+1+22

所以这个等腰三角形三个内角分别是45°、45°、90°。这个等腰三角形是直角三角形。

若等腰三角形三个内角的度数之比是1:2:2。

11

180°´=180°´=36°

1+2+25

22

180°´=180°´=72°

1+2+25

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所以这个等腰三角形三个内角分别是36°、72°、72°。这个等腰三角形是锐角三角形。

即这个等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形。原题说法正确。故答案为：Ö。

【点评】此题主要考查了等腰三角形的特点、三角形的内角和、按比分配、三角形按角分类。

四．解答题（共8小题，满分60分）

21．【分析】（1）根据平角的含义，等于180°的角是平角，所以Ð3和Ð4组成平角；

（2）三角形的三个内角的和是180度，所以Ð1+Ð2+Ð3=180°，又因为Ð3和Ð4组成一个平

角，所以Ð3+Ð4=180°，Ð3没变，所以Ð4=Ð1+Ð2．据此解答即可．

【解答】解：（1）Ð3+Ð4=180°

即Ð3和Ð4拼成的是平角．

（2）证明：

因为Ð1+Ð2+Ð3=180°，（三角形的内角和定理）

Ð3+Ð4=180°，（平角的特征）

Ð3=Ð3，

所以Ð4=Ð1+Ð2．（等量代换）．

【点评】解题关键是灵活运用三角形的内角和定理和平角的特征解答．

22．【分析】根据三角形内角和定理以及平角的意义解答即可。

【解答】解：根据三角形内角和是180°，

ÐA=70°，ÐB=60°，

则ÐACB=180°-70°-60°=50°。

又因为ÐACB+ÐACD=180°，

所以ÐACD=180°-50°=130°=ÐA+ÐB。

我发现：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角度数的和。（答案不唯一）

【点评】本题主要考查三角形内角和定理的应用。

23．【分析】利用三角形内角和定理可知，另外两个角的和是(180°-30°)，利用和倍问题公式：

和¸（倍数+1)求较小角的度数，再乘2就是较大角的度数。

【解答】解：(180-30)¸(1+2)´2

=150¸3´2

=50´2

=100（度)

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答：这个三角形最大的角是100度。

【点评】本题主要考查三角形内角和的应用。

24．【分析】（1）根据等腰三角形的两腰相等，解答此题；

（2）根据三角形任意两边之和大于第三边，解答此题。

【解答】解：（1）选2厘米、6厘米、6厘米的三根小棒；

（2）因为2+6>6

所以2厘米、6厘米、6厘米的三根小棒能围成等腰三角形。

【点评】熟练掌握等腰三角形的特征，和三角形的三边关系，是解答此题的关键。

25．【分析】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1:2，则这个三角形三个角度数的比为1:2:2

或1:1:2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角形的分

类进行判断即可．

【解答】解：1+1+2=4，

2

180´=90（度)，

4

该三角形是直角三角形；

或：1+2+2=5，

2

180´=72（度)，

5

最大角为72度，是锐角，所以该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；

答：该三角形是直角三角形或锐角三角形．

【点评】解答此题用到的知识点：（1）三角形的内角和180度；（2）按比例分配知识；

（3）三角形的分类；

26．【分析】三角形的内角和是180°，在三角形ABC中，ÐB=70°，那么

ÐA+ÐC=180°-ÐB=110°，四边形的内角和是360°，则Ð2+Ð2=360°