矩阵的等价,相似 合同的关系及应用

矩阵的等价,相似合同的关系及应用摘要：本文深入探讨了矩阵的等价、相似与合同这三种重要关系，分析了它们之间的联系与区别。通过具体的例子阐述了这些关系在矩阵理论及实际应用中的作用，包括矩阵的化简、特征值问题以及二次型的标准化等方面，旨在帮助读者全面理解和掌握这三种关系及其应用。

一、引言矩阵是线性代数中的核心内容，矩阵的等价、相似与合同关系在矩阵理论中具有重要地位。它们不仅反映了矩阵之间的某种内在联系，而且在解决许多线性代数问题时发挥着关键作用。深入研究这三种关系，有助于我们更好地理解矩阵的性质和运算规律，为进一步学习线性代数及相关领域奠定坚实的基础。

二、矩阵的等价关系（一）定义设\(A\)，\(B\)是两个\(m\timesn\)矩阵，如果存在可逆矩阵\(P\)和\(Q\)，使得\(PAQ=B\)，则称矩阵\(A\)与\(B\)等价，记作\(A\congB\)。

（二）性质1.反身性：对于任意矩阵\(A\)，有\(A\congA\)。2.对称性：若\(A\congB\)，则\(B\congA\)。3.传递性：若\(A\congB\)，\(B\congC\)，则\(A\congC\)。

（三）等价标准形对于任意一个\(m\timesn\)矩阵\(A\)，总可以通过有限次初等行变换和初等列变换将其化为如下形式：\[\begin{pmatrix}E_r&0\\0&0\end{pmatrix}\]其中\(E_r\)是\(r\)阶单位矩阵，\(r\)是矩阵\(A\)的秩，即\(r(A)\)。这个形式称为矩阵\(A\)的等价标准形。

（四）等价关系的应用1.求矩阵的秩-由于矩阵等价不改变秩，所以可以通过对矩阵进行初等变换将其化为阶梯形矩阵，从而方便地求出矩阵的秩。-例如，对于矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，通过初等行变换可得：\[\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\stackrel{r_2-2r_1,r_3-3r_1}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]所以\(r(A)=1\)。2.矩阵方程的求解-对于矩阵方程\(AX=B\)（其中\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，\(B\)为\(m\timesp\)矩阵），如果\(A\cong\begin{pmatrix}E_r&0\\0&0\end{pmatrix}\)，则可以通过对增广矩阵\((A|B)\)进行初等行变换求解\(X\)。-例如，已知\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，先对\((A|B)\)进行初等行变换：\[\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\1&2&1&0&1\\1&1&3&1&0\end{pmatrix}\stackrel{r_2-r_1,r_3-r_1}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\0&1&0&-1&1\\0&0&2&0&0\end{pmatrix}\stackrel{r_1-r_2,r_3/2}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&0&1&2&-1\\0&1&0&-1&1\\0&0&1&0&0\end{pmatrix}\stackrel{r_1-r_3}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&0&0&2&-1\\0&1&0&-1&1\\0&0&1&0&0\end{pmatrix}\]得到\(X=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\\0&0\end{pmatrix}\)。

三、矩阵的相似关系（一）定义设\(A\)，\(B\)是\(n\)阶方阵，如果存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，则称矩阵\(A\)与\(B\)相似，记作\(A\simB\)。

（二）性质1.反身性：对于任意\(n\)阶方阵\(A\)，有\(A\simA\)。2.对称性：若\(A\simB\)，则\(B\simA\)。3.传递性：若\(A\simB\)，\(B\simC\)，则\(A\simC\)。4.相似矩阵具有相同的行列式、秩、迹和特征多项式。-即\(|A|=|B|\)，\(r(A)=r(B)\)，\(tr(A)=tr(B)\)，\(f_A(\lambda)=f_B(\lambda)\)，其中\(f_A(\lambda)\)表示矩阵\(A\)的特征多项式。

（三）相似对角化1.定义：如果\(n\)阶方阵\(A\)相似于一个对角矩阵\(\Lambda\)，即\(A\sim\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix}\)，则称\(A\)可相似对角化。2.可相似对角化的条件：-\(n\)阶方阵\(A\)可相似对角化的充分必要条件是\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量。-若\(A\)的特征值\(\lambda_i\)对应的线性无关的特征向量为\(\xi_i\)（\(i=1,2,\cdots,n\)），令\(P=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)\)，则\(P^{-1}AP=\Lambda\)。-例如，对于矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix}\)，求其特征值：\[|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&0&0\\0&\lambda-3&-1\\0&0&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-3)^2\]特征值为\(\lambda_1=2\)，\(\lambda_2=\lambda_3=3\)。-对于\(\lambda_1=2\)，解方程组\((2E-A)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&-1\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，得特征向量\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)。-对于\(\lambda_2=\lambda_3=3\)，解方程组\((3E-A)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，得两个线性无关的特征向量\(\xi_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\xi_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)。-令\(P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，则\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)。

（四）相似关系的应用1.计算矩阵的幂-若\(A\sim\Lambda\)，即\(P^{-1}AP=\Lambda\)，则\(A=P\LambdaP^{-1}\)，那么\(A^k=P\Lambda^kP^{-1}\)。-例如，已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)，先求其相似对角矩阵。-特征值：\(|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-2&\lambda-1\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)\)，特征值为\(\lambda_1=3\)，\(\lambda_2=-1\)。-特征向量：对于\(\lambda_1=3\)，解\((3E-A)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，得\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)；对于\(\lambda_2=-1\)，解\((-E-A)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}-2&-2\\-2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，得\(\xi_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)。-令\(P=(\xi_1,\xi_2)=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)，则\(P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)，\(\Lambda=\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}\)。-\(A^k=P\Lambda^kP^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3^k&0\\0&(-1)^k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3^k+(-1)^k&3^k-(-1)^k\\3^k-(-1)^k&3^k+(-1)^k\end{pmatrix}\)。2.求矩阵的特征值-相似矩阵具有相同的特征值，所以可以通过求与之相似的简单矩阵（如对角矩阵）的特征值来得到原矩阵的特征值。

四、矩阵的合同关系（一）定义设\(A\)，\(B\)是\(n\)阶方阵，如果存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，则称矩阵\(A\)与\(B\)合同，记作\(A\simeqB\)。

（二）性质1.反身性：对于任意\(n\)阶方阵\(A\)，有\(A\simeqA\)。2.对称性：若\(A\simeqB\)，则\(B\simeqA\)。3.传递性：若\(A\simeqB\)，\(B\simeqC\)，则\(A\simeqC\)。4.合同矩阵具有相同的正负惯性指数。

（三）合同标准形对于任意一个\(n\)阶实对称矩阵\(A\)，总可以通过合同变换将其化为如下形式：\[\begin{pmatrix}E_p&0&0\\0&-E_q&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]其中\(p+q\)等于矩阵\(A\)的秩，\(p\)是正惯性指数，\(q\)是负惯性指数。

（四）合同关系的应用1.二次型的标准化-二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)为实对称矩阵），通过合同变换\(X=CY\)（\(C\)可逆）可化为标准形\(f=Y^T(C^TAC)Y\)。-例如，对于二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+4x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_2x_3\)，其矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&2&0\\2&4&-2\\0&-2&5\end{pmatrix}\)。-求\(A\)的合同标准形：-先求\(A\)的特征值：\[|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&-2&0\\-2&\lambda-4&2\\0&2&\lambda-5\end{vmatrix}=\lambda^3-11\lambda^2+30\lambda-24\]-解得特征值\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=3\)，\(\lambda_3=7\)。-对应的特征向量经正交化、单位化后得到正交矩阵\(P\)，使得\(P^TAP=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&7\end{pmatrix}\)，这就是\(A\)的合同标准形，同时也将二次型化为标准形\(f=y_1^2+3y_2^2+7y_3^2\)。2.判断二次型的正定性-实对称矩阵\(A\)正定的充分必要条件是\(A\)合同于单位矩阵\(E\)，即存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=E\)。-若已知\(A\)合同于一个对角矩阵\(\Lambda\)，且\(\Lambda\)的对角元素全大于零，则\(A\)正定。

五、三种关系的联系与区别（一）联系1.相似矩阵和合同矩阵一定是等价矩阵。-因为若\(A\simB\)，则存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，即\(B=(P^{-1})AP\)，满足等价定义；若\(A\simeqB\)，则存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，也满足等价定义。2.