高考数学精准复习专项大招20先猜后证含答案或解析

大招20先猜后证大招总结对于“含参恒成立求参”的各种问题，大家并不陌生，处理的方法也是非常多，这一讲要说的就是其中的一种方法——先猜后证，在2017年全国Ⅰ卷（理）导数大题第一问的参考答案中（官方版），就用到了这个做法．题型及处理方法：函数在点a的某邻域内有定义，并且在a处可导，如果对于任意的，都有（或），那么．（以点a为中心点的任何开区间称为点a的邻域，记为）．例如，，，求a．注意到的定义域为，．若，则，解得．此时，只保证了在1的某领域内，所以需验证时，对于任意的，是否有．下面通过两个例题来看看具体的解题过程．典型例题例1．（2017全国Ⅱ卷理）已知函数，且．（1）求a．（2）略．解（1）由于的定义域为．等价于．令，．则．因为，．所以．即．当时，．即时，，单调递减；时，，单调递增；所以．综上，．例2．（2021届八省联考）已知函数，．（1）略．（2）若，求a．解（2）等价于，即．设，，则．因为，且，所以，即．下面证，当时，．当时，．（提示：这里的直接求导得到的导函数略丑，有点难搞，所以采用“指数找基友”尝试转化．）令，则，．（这里，熟悉放缩的同学，对的正负变化情况肯定是一目了然，下面写写过程）设，则，在上单调递增．当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；即，所以．综上，．例3．（2021·武汉模拟）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若存在正实数t，使得当时，有对恒成立，求a的值．解（1）当时，，，∴，，故曲线在点处的切线方程为：，即；（2）∵，函数的定义域是，若存在正实数t，使得时，有对恒成立，则，且，∵，，，∴令，，，，①当时，，此时存在t使得时，递增，∴在递减，在递增，∵，∴时，，不恒成立，不合题意，舍；②当时，，同理可得时，，不恒成立，不合题意，舍；③当时，，∵，∴，∴存在t，使得在单调递增，∴时，，时，，∴时，，，∴在时，单调递增，∵，∴时，，时，，即恒成立，符合题意，综上：．方法2：∵，，时，，时，所以，，得到．例4．已知函数．（1）若，证明（2）若恒成立，求a的取值范围解（1）略（2）方法1：定义域是，，可以得到，①当，，，，，在（0，1）递增，递减。，恒成立不符合题意②当，同理可得不符合题意③当时，，，，，，在单调递减，满足题意方法2：．，，由题意，所以，解得总结：已知含有参数的函数，且，（或），如果能找出的一个零点，且的某个邻域为D的真子集，那么就可以考虑使用本节所讲的方法．自我检测1．已知函数，若，求a．答案：由题知的定义域为，．因为，．所以为的一个极小值点，即，解得．而时，，．当时，，单调递减；当时，，单调递增；即．综上，．2．（自编）已知函数，若，求a．答案：由题知的定义域为，．因为，．所以为的一个极小值点，即，解得．而时，，，，即在上单调递增．即当时，，单调递减；当时，，单调递增；即．综上，．3．（自编）若，求a．答案：等价于．设，则，因为的定义域为，，且．所以为的一个极小值点，即，解得．而时，，则，当时，，即在上单调递增．（这里对处理手段比较多，比如同构放缩，但考虑到的单调性与正负性很显然，所以这里采用了更为普通的多次求导，其它方法请读者自行尝试．）当时，，单调递减；当时，，单调递增；即．综上，．4．（自编）已知函数，若，求a．答案：由题知的定义域为，．因为，．所以为的一个极小值点，即，解得或．情形一：当时，，，即在上单调递增．即当时，，单调递减；当时，，单调递增；即，符合题意．情形二：当时，，，即在上单调递增．即当时，，单调递减；当时，，单调递增；即，符合题意．综上，或．5．（自编）已知函数，若，，求a．答案：由题知，．由于时，且．所以为的一个极大值点，即，解得．当时，，．当时，，即在上单调递减．当时，，单调递增；当时，，单调递减；即．综上，．6．（2021·东湖区校级模拟）已知函数．（1）当时，若函数在上有两个零点，求b的取值范围；（2）当时，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．答案：（1）当时，，，当时，，在上单调递增，不合题意，舍去；当时，令，解得，进而在上单调递增，在上单调递减，依题意有，，，，解得，又，且，在上单调递增，进而由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，下先证恒成立，令，则，易得在（0，e）上单减，在上单增，进而，∴，∴，∴，若，得，∵，∴，即当时，取，有，即存在，使得，进而由零点存在性定理可知在上存在唯一零点．综上可得，；（2）当时，存在，使得不等式恒成立，证明如下：当时，设，，依题意，恒成立，又，进而条件转化为不等式对任意恒成立，∴是函数的最大值，也是函数的极大值，故，，又当时，，令可得，令可得，故在（0，1）上递增，在上递减，∴，即恒成立，综上，存在