上海市实验学校2024−2025学年高三下学期2月月考数学试题含答案

/上海市实验学校2024−2025学年高三下学期2月月考数学试题一、填空题（本大题共12小题）1．复数的虚部为.2．不等式的解集为.3．已知与为单位向量，且满足，则与的夹角.4．展开式中的常数项为.（用数字作答）5．已知随机变量，若，则.6．已知直线与直线的夹角为，则实数.7．已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为．8．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线C的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为．9．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论：①等级为0dB的声音的强度为；②函数在定义域上是增函数；③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10；④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000.其中所有正确结论的序号是.10．如图，14块相同的正方体垒放在桌子上，每次施法会随机让其中某块正方体消失，直到所有正方体全部消失不见．如果某次被施法的正方体的正上方仍有其他正方体，那么它正上方的正方体会竖直掉落下来，我们称发生了“坍塌”．那么在全部14次施法过程中，不发生坍塌的概率为．11．已知函数若关于x的方程只有一个实数根，则实数a的取值范围是.12．已知数列{an}满足a1＝﹣2，且Sn＝+n（其中Sn为数列{an}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝.二、单选题（本大题共4小题）13．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3 B．4C．8 D．714．已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（

）A． B． C． D．15．已知，若，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．16．已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（

）A． B． C． D．三、解答题（本大题共5小题）17．如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585，(1)求数列的前项和；(2)，数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值．19．向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型（以下简称），能够根据用户的文本提示创建最长秒的逼真视频.为调查的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了名视频从业人员进行调查，结果如下表所示.Sora的应用情况视频从业人员合计减少未减少应用没有应用合计(1)根据所给数据完成题中表格，并判断是否有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关？(2)某公司视频部现有员工人，公司拟开展培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用.（i）求员工经过培训能应用的概率；（ii）已知开展培训前，员工每人每年平均为公司创造利润万元；开展培训后，能应用的员工每人每年平均为公司创造利润万元；培训平均每人每年成本为万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？附：，其中.20．已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知点，过点且斜率不为0的一条直线，交曲线于、两点，直线、分别与直线交于、两点.①求证：直线与直线的斜率之积为常数；②求面积的取值范围.21．已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数．(1)当时求的解析式；(2)当时，判断函数的单调性并说明理由；(3)若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个“点”，求函数的所有点．

参考答案1．【答案】/【详解】，所以复数的虚部为.故答案为：.2．【答案】【详解】不等式，所以不等式的解集为.故答案为：.3．【答案】/【详解】因为与为单位向量，则，，又，，，则，又，所以与的夹角为.故答案为：.4．【答案】【详解】二项式展开式的通项为（且），令，解得，所以展开式中的常数项为.故答案为：5．【答案】0.1/【详解】因为，所以，所以根据正态分布的对称性得：所以故答案为：0.1.6．【答案】或【详解】设直线与直线的夹角为，则，可得，，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，若，则直线即为，可知，可得，，符合题意；若，则，因为，可得，即，解得或（舍去）；综上所述：或.故答案为：或.7．【答案】【详解】依题意，设圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，高为1，，设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则，，，则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为，故截面的面积为，当且仅当时，等号成立，故截面的面积的最大值为2．故答案为：2.8．【答案】/【详解】如图，设，则，由双曲线定义得，，，∴，故.在中，，在中，，∵，∴，故，即，∴曲线C的离心率．故答案为：.9．【答案】①②③【详解】对于①，由即，可得，因此等级为0dB的声音强度为，故①正确；对于②，令，则，易知和在上单调递增，由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故②正确；对于③，设，则，解得．设，同理可得．因此所求两种等级声音的强度之比为，故③正确；对于④，设，则，解得．设，同理可得．因此所求两种等级声音的强度之比为，故④错误.故答案为：①②③.10．【答案】【详解】把题设中的14个小正方体编号如下：其中1代表最上方的一个小正方体，第二层、第三层相应的标号如下图所示.与1号小正方体在同一个竖直方向小正方体从上至下记为2,6，标号为3的正方体下面的小正方体标号为7，标号为4的正方体下面的小正方体标号为8，标号为5的正方体下面的小正方体标号为9，若不发生坍塌，则则全部14次施法过程中，不发生坍塌的事件总数为设事件为：“全部14次施法过程中，不发生坍塌”，则故答案为：.11．【答案】【详解】分析题意，利用函数单调性定义显然得到函数在上单调递增，在区间上的函数对参数a分情况讨论：当时，分段函数图像如上图所示，易知在区间上函数一定与相交，故此时与分段函数其他部分不相交；故对于部分，必有，对于部分，联立,整理得，即，无解；故符合题意；当时，分段函数，则有实数根，和不成立；当时，易知，与分段函数在必有一个交点，且当时，，此时分段函数，故当时，无交点，故符合题意.综上：实数a的取值范围是故答案为：12．【答案】0【详解】∵Sn＝+n，∴Sn﹣1＝an﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减得，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣an﹣1+1，化简整理得，an﹣1＝3（an﹣1﹣1），∴＝3，即数列{an﹣1}是以﹣3为首项，3为公比的等比数列，∴an﹣1＝﹣33n﹣1＝﹣3n，∴an＝﹣3n+1.∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），∴令x＝2，则f（2）＝f（0）＝0，令x＝x﹣2，则f（4﹣x）＝f（x﹣2）＝﹣f（2﹣x），∴f（4﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），即f（x）是以4为周期的周期函数.∵a2021＝﹣32021+1＝﹣（4﹣1）2021+1＝﹣[42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020+40•（﹣1）2021]+1＝﹣[42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020]+2，其中42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020能被4整除，∴f（a2021）＝f（﹣32021+1）＝f（2）＝0.故答案为：0.13．【答案】D【详解】集合所以集合A的真子集的个数为.故选：D14．【答案】B【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知.设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值.由抛物线，得，所以的最小值为.故选：B.15．【答案】A【详解】令，得，若，则所以在上单调递增，当时，则，所以，又在上单调递增，所以，，当时，，又在上单调递增，所以，不合题意；当时，，所以，又在上单调递增，所以，所以，，综上可得，故选：A16．【答案】D【详解】解：因为是面积为的等边三角形，记边长为，所以，解得，记三角形内切圆的半径为，根据，可得：，解得，因为正方形面积为2，所以正方形边长为，记正方形外接圆半径为，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即，根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知，正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，因为正方形可在内任意旋转，可知正方形各个顶点均在该三角形的内切圆上，以三角形底边为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示：故可知，圆的方程为，故设，，因为，即，化简可得，即，解得或，①当时，点坐标可化为，此时，所以当，即，即，即时，取得最大值；②当时，点坐标可化为，此时，因为，所以当，即，即，即时，取得最大值，综上可知：取得最大值.故选：D17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，点为的中点，所以，因为平面平面ABD，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.因为，，所以是等边三角形，所以，所以，所以，即，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）取的中点，连接，则，又因为平面，则平面，因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、，、、、，所以，，.设平面的一个法向量为，则，令，得，，所以，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）根据题意，设等差数列的前三项分别为，则，解得或，又数列为递增数列，所以，，.（2）由（1）得，，则，.因为是单调递增，，又，所以有最小值.19．【答案】(1)表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关(2)（i）；（ii）人【详解】（1）依题意，列联表如下：Sora的应用情况视频从业人员合计减少未减少应用没有应用合计零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异，由列联表中数据得，.根据小概率值的的独立性检验，推断不成立，所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关；（2）（i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立.设“员工经过培训能应用”，则故员工经过培训能应用的概率是.（ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，因此，调整后视频部的年利润为（万元），令，解得，又，所以.因此，视频部最多可以调人到其他部门.20．【答案】(1)(2)①证明见解析；②【详解】（1）设动圆的半径为，由题意，又，故的轨迹为椭圆.，，故的轨迹方程为（2）①由（1）知，，设直线，，，联立消去，整理得，则，根据题意可设，，则由，可得，由，可得，所以直线与直线的斜率之积所以直线与直线的斜率之积为定值.②由①知，，所以.，，所以当且仅当或时等号成立，所以面积的取值范围是.21．【答案】(1)；(2)递减区间为，递增区间为；(3).【详解】（1）函数，求导得，则，而，则函数的图象在处的切线方程为：，即，所以的解析式为.（2）由（1）知，，而，曲线在点处的切线方程为，则，求导得，令，求导得，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，则，即恒成立，函数在上单调递增，而，则当