2022年考研数学三真题预测及全面解析

1990年全国研究生研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分，每题3分.把答案填在题中横线上.)(2)设函数f(x)有持续导函数，f(O)=0,f'(O)=b,若函数(3)曲线y=x²和直线y=x+2所围成平面图形面积为_(5)一射手对同一目的独立地进行四次射击，若至少命中一次概率为,则该射手命中率二、选择题(本题满分15分，每题3分.每题给出四个选选项前字母填在题后括号内.)(1)设函数f(x)=x·tanx·esn×,则f(x)(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数((2)设函数f(x)对任意x均满足等式f(1+x)=af(x),且有f'(0)=b,其中a,b为非零常(A)α,α₂,…,a,均不为零向量(B)α₁,α₂,…,α,中任意两个向量分量不成比例(C)α₁,α₂,…,α,中任意一种向量均不能由其他s-1个向量线性表达(D)α₁,α₂,…,α,中有一部分向量线性无关(4)设A,B为两随机事件，且BcA,则下列式子对的是()(A)P(A+B)=P(A)(C)P(B|A)=P(B)m1(5)设随机变量X和m1m1则下列式子对的是三、计算题(本题满分20分，每题5分.)(1)求函数t在区间[e,e²]上最大值.(2)计算二重积分,其中D是曲线y=4x²和y=9x²在第一象限所围成区域.(3)求级数收敛域.(4)求微分方程y'+ycosx=(lnx)esinx通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品广告，根据记录资料，销售收入R(万元)和电台广告费用x₁(万元)及报纸广告费用x₂(万元)之间关系有如下经验公式：R=15+14x₁+32x₂-8xx₂-五、(本题满分6分)设f(x)在闭区间[0,c]上持续，其导数f'(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少；六、(本题满分8分)七、(本题满分5分)八、(本题满分6分)九、(本题满分4分)从0,1,2,…,9十个数字中任意选出三个不同样数字，试求下列事件概率：A₁={三个数字中不含0和5};A₂={三个数字中不含0或5}.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表达两个部件寿命(单位：千小时),已知X和Y联合分布函数为：(2)求两个部件寿命所有超过100小时概率α.十一、(本题满分7分)某地抽样调查成果表白，考生外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上占考生总数2.3%,试求考生外语成绩在60分至84分之间概率.[附表]x表中Φ(x)是原则正态分布函数.1990年全国研究生研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分，每题3分.)(1)【答案】2【有关知识点】函数y=f(x)在点x₀持续：设函(1)有唯一解→r(A)=r(A)=n.(2)有无穷多解→r(A)=r(A)<n.若Y~B(n,p),则P{Y=k}=Cp^(1-p)"k,k=0,1,…,n.设g(x)=tanx.e*,于是g(x)定义域为令x=0,有Tg(T)=0,即g(T)=0.从而T(x+2kπ)g(x+2kπ)=(x+2kπ)g(x)=xg(x).若,则有【解析】通过变量代换t=x+1或按定义由关系式f(l+x)=af(x)将f(x)在x=1可可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为(3)【答案】(C)或【解析】本题考察线性无关概念和理论，和充足必需性条件概念.推导出(A)(B)(D)选项，但是不能由(A)(B)(D)选项中任意一种推导出向量组α₁,α₂,…,α,线性无关.例如：(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)+(0,1)-(1,1)=(0,0),该向量组线性有关.但(A)(B)(D)均成立.根据“α₁,α₂,…,α,线性有关充足必需条件是存在某α;(i=1,2,…,s)可以由α;(i=1,2,…,s)均不能由α₁,…α;-,α+,…,α,线性表出.”故选(C).【解析】由于B∈A,因此A+B=A,于是有P(A+B)=P(A).故本题选A.对于B选项，由于BcA,因此事件B发生，则事件A肯定发生，因此P(AB)=P(B),对于C选项，由于BcA,由条件概率公式,当B,A是互相独立事件对于D选项，由于BcA,因此事件B发生事件A不发生是个不也许事件，故(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率定义，有P{X=Y}=P{X=-1,Y=-1}+故本题选(C).而(B)、(D)选项是错三、计算题(本题满分20分，每题5分.)(1)【解析】在x∈[e,e²]上，,故函数I(x)在[e,e²]上单F't)=β'(t)f·[βC]-a'(t)f·[αt].,或,当时x=2,得交错级数当时x=4,得正项级数,两者所有收敛，于是原级数收敛域为[2,4].相【有关知识点】1.求收敛半径措施：如果,其中a,a+1是幂级数相3.p级数：当时p>1收敛；当时p≤1发散.(4)【解析】措施1:所给方程为一阶线性微分方程，可直接运用通解公式求解.措施2:用函数同乘方程两端，结构成全微分方程.方程两端同乘esin*,得esin*y'+yesin×cosx=(yesinx)'→(yesin×)'=Inx,再积分一次得最后，再用esinx同乘上式两端即得通解y=esinx[xln【有关知识点】一阶线性非齐次方程y'+P(x)y=Q(x)x-x+C].通解为其中C为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本，因此利润函数为π=15+14x₁+32x₂-8x₁x₂-2x²-10x²-(由多元函数极值点必需条件，有因驻点惟一，且实际问题必有最大值，故投入电台广告费用0.75万元，报纸广告费用1.25万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5万元，则应当求利润函数(和(1)中解析式相似)π=15+13x₁+31x₂-8x₁x₂-2x²L(x₁,x₂,λ)=15+13x₁+31x₂-8x₁x₂-2x²-10x²+A(x₁由→x₁=0,x₂=1.5.大.极值点.五、(本题满分6分)【解析】措施1:当时a=0,f(a+b)=f(b)=f(f(a+b)-f(a)-f(b)+f(O)=f'(ξ₂)a-f'(S)a=a[f'(5₂)-其中0<ξ<a≤b<ξ₂<a+b.又f'(x)单调减少，故f'(ξ₂)≤f'(S).从而有f(a+b)-f(a)-f(b)+f(O)≤0,即f(a+b)≤f(a)+f(b).令F(x)=f(x)+f(a)-f(a+x),x∈[0,b],由于f(O)=0,因此F(O)=0,又由于f(a+b)≤f(a)+f(b),其中0≤a≤b≤a+b≤c.六、(本题满分8分)r=(1,-2,1,0,0)',r₂=(1,-2,0,1,0)',r₃=(5,-6,0,0(3)令x₃=x₄=x₅=0,得方程组特解为α=(-2,3,0,0,0)'.因此，方程组所有解是七、(本题满分5分)八、(本题满分6分)由2≠22,知λ-2,λ-22不全为0,于是X₁,X₂线性有关，这和不同样特性值特性向量线九、(本题满分4分)【解析】样本空间含样本点总数为C³3;即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有助于事件A₁样本点数为C8;十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有助于事件A₂样本点数为2C³-C8;十个数字除去0任意选三个选择方案和十个数字除去5任意选三个选择方案再减去中间多算了一次措【有关知识点】古典型概率公式：十、(本题满分5分)X和Y边沿分