2024-2025学年高一数学下学期第六周 2.5.1 等比数列前n项和教学实录

2024-2025学年高一数学下学期第六周2.5.1等比数列前n项和教学实录科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高一数学下学期第六周2.5.1等比数列前n项和教学实录设计意图本节课旨在通过引导学生探究等比数列前n项和的公式，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，让学生在解决问题的过程中，深刻理解等比数列的性质，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标1.培养学生的逻辑推理能力，通过探究等比数列前n项和的公式，让学生学会运用归纳、演绎等逻辑方法解决问题。

2.提升学生的数学建模能力，引导学生将实际问题转化为数学模型，并运用数学知识解决实际问题。

3.增强学生的数学运算能力，通过公式推导和计算练习，提高学生对等比数列前n项和的计算能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了数列的基本概念，包括数列的定义、通项公式、数列的递推关系等。此外，他们还应该掌握了等差数列的前n项和公式，这将为学习等比数列的前n项和打下基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高一学生通常对数学有较高的兴趣，尤其是对探索规律和解决问题。他们的数学能力正在逐步提升，具备一定的抽象思维和逻辑推理能力。学习风格上，部分学生可能更倾向于通过直观图形理解概念，而另一部分学生可能更偏好通过公式推导来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习等比数列前n项和时，学生可能会遇到以下困难：一是理解等比数列的通项公式与求和公式之间的关系；二是掌握等比数列求和公式推导过程中的数学技巧；三是正确处理公比绝对值不为1的情况。这些困难可能源于对数列概念的模糊理解，或者是对数学推导过程的畏惧。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材《高中数学》下册，特别是包含等比数列前n项和的相关章节。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如等比数列的动态演示视频，以及用于辅助理解的几何图形。

3.教学工具：准备计算器、黑板或电子白板，以便进行公式推导和展示计算过程。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，设置分组讨论区，确保每个小组有足够的空间进行讨论和活动。教学过程设计**导入环节（5分钟）**

1.创设情境：教师展示一组等比数列的实例，如1,2,4,8,16...，并提问学生：“同学们，你们能看出这组数列的特点吗？”

2.提出问题：引导学生思考等比数列的通项公式，并询问他们是否知道如何求出等比数列的前n项和。

3.激发兴趣：教师简要介绍等比数列前n项和的重要性，以及它在实际问题中的应用，如金融计算、物理学中的等比衰减等。

**讲授新课（15分钟）**

1.等比数列的定义：教师讲解等比数列的定义，强调公比的概念，并展示等比数列的通项公式。

2.公式推导：通过具体的例子，引导学生推导等比数列前n项和的公式。教师板书推导过程，并解释每一步的原理。

3.特殊情况处理：讲解公比为1时等比数列前n项和的特殊情况，以及公比绝对值不为1时的处理方法。

**巩固练习（10分钟）**

1.计算练习：教师给出几个等比数列的前n项和的计算题，让学生独立完成，并请学生展示解题过程。

2.小组讨论：将学生分成小组，每组讨论一个与等比数列前n项和相关的实际问题，如计算投资复利。

**课堂提问（5分钟）**

1.提问环节：教师针对课堂内容提出问题，如“为什么等比数列前n项和的公式中会有公比的n次方这个项？”

2.学生回答：邀请学生回答问题，并给予鼓励和反馈。

**师生互动环节（5分钟）**

1.动态演示：使用多媒体软件展示等比数列前n项和的动态变化，让学生观察并总结规律。

2.互动讨论：教师引导学生讨论等比数列前n项和在生活中的应用，如人口增长、资源消耗等。

**核心素养能力的拓展要求（5分钟）**

1.创新思维：鼓励学生思考如何将等比数列前n项和的概念应用于新的领域。

2.解决问题：让学生尝试解决一个与等比数列前n项和相关的实际问题，如设计一个投资计划。

**总结与作业布置（5分钟）**

1.总结：教师对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和的重要性。

2.作业布置：布置相关的练习题，要求学生课后完成，并提交作业。

**教学过程流程环节**

1.导入环节：5分钟

2.讲授新课：15分钟

3.巩固练习：10分钟

4.课堂提问：5分钟

5.师生互动环节：5分钟

6.核心素养能力的拓展要求：5分钟

7.总结与作业布置：5分钟

**总用时：45分钟**教学资源拓展1.拓展资源：

-等比数列的性质：介绍等比数列的收敛性、发散性，以及公比与数列项的关系。

-等比数列在几何中的应用：探讨等比数列在几何学中的角色，如等比中项、相似三角形中的比例关系等。

-等比数列在经济学中的应用：分析等比数列在经济学中的运用，如复利计算、人口增长模型等。

-等比数列在物理学中的应用：探讨等比数列在物理学中的体现，如波动理论、天体运动等。

2.拓展建议：

-阅读相关数学书籍：推荐学生阅读《数学归纳法及其应用》、《数列与函数》等书籍，加深对等比数列的理解。

-参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克（IMO）等，以提升解题技巧和数学思维能力。

-实践项目：引导学生参与实践项目，如设计一个基于等比数列的应用程序，或者分析现实生活中的等比数列现象。

-小组研究：组织学生进行小组研究，探讨等比数列在不同学科中的应用，如物理学中的波函数、生物学中的种群增长等。

-制作教学视频：鼓励学生制作关于等比数列的教学视频，通过视频讲解等比数列的前n项和的推导过程，提高教学资源的传播效果。

-参与在线课程：推荐学生参加在线数学课程，如Coursera、edX等平台上的相关课程，以获取更广泛的知识和教学资源。

-实验设计：设计简单的实验，如利用物理仪器测量物体的衰减情况，让学生通过实验验证等比数列的应用。

-案例分析：分析实际案例，如股票市场的指数变化、科学研究的增长曲线等，让学生理解等比数列在实际问题中的重要性。

-数学论坛参与：鼓励学生在数学论坛上交流学习心得，与其他学生分享等比数列的学习经验和方法。典型例题讲解例题1：已知等比数列的前三项分别为2,6,18，求该数列的公比和前10项和。

解答：

1.设等比数列的公比为q，则有：

6=2q

18=6q

2.解得q=3。

3.利用等比数列前n项和公式，求前10项和：

S10=a1*(1-q^n)/(1-q)

S10=2*(1-3^10)/(1-3)

S10=2*(1-59049)/(-2)

S10=2*(59049-1)/2

S10=59048

例题2：已知等比数列的前n项和为S_n=15n-10，求该数列的首项和公比。

解答：

1.设等比数列的首项为a，公比为q，则有：

S_n=a*(1-q^n)/(1-q)

15n-10=a*(1-q^n)/(1-q)

2.当n=1时，S_1=a=15-10=5。

3.当n=2时，S_2=15*2-10=20，代入公式得：

20=5*(1-q^2)/(1-q)

4.解得q=2或q=-1/2。

5.当q=2时，首项a=5；当q=-1/2时，首项a=10。

例题3：已知等比数列的公比为-2，且第6项为-32，求该数列的首项。

解答：

1.设等比数列的首项为a，则有：

a*(-2)^5=-32

2.解得a=-2。

例题4：已知等比数列的前3项和为21，且第3项是第1项的4倍，求该数列的首项和公比。

解答：

1.设等比数列的首项为a，公比为q，则有：

a+aq+aq^2=21

aq^2=4a

2.解得q=2或q=-2。

3.当q=2时，首项a=3；当q=-2时，首项a=9。

例题5：已知等比数列的前5项和为S_5=31，且公比的绝对值为1/2，求该数列的首项。

解答：

1.设等比数列的首项为a，公比为q，则有：

S_5=a*(1-q^5)/(1-q)

31=a*(1-(1/2)^5)/(1-1/2)

2.解得a=32。课堂小结，当堂检测**课堂小结**

1.本节课我们学习了等比数列前n项和的公式及其推导过程。首先，我们明确了等比数列的定义和通项公式，这是理解和求解等比数列前n项和的基础。

2.通过具体实例，我们推导出了等比数列前n项和的公式，并讨论了公比为1和公比绝对值不为1时的情况。

3.我们通过计算练习巩固了所学知识，并学会了如何应用等比数列前n项和的公式解决实际问题。

4.在课堂讨论中，我们探讨了等比数列前n项和在各个领域的应用，如金融、物理学等，加深了对数学知识的理解。

**当堂检测**

1.检测题目一：已知等比数列的前三项分别为3,6,12，求该数列的前5项和。

答案：S_5=3*(1-3^5)/(1-3)=3*(1-243)/(-2)=364。

2.检测题目二：若等比数列的前4项和为56，且第4项是第1项的16倍，求该数列的首项。

答案：设首项为a，公比为q，则有：

a+aq+aq^2+aq^3=56

aq^3=16a

解得q=2，a=2。

3.检测题目三：已知等比数列的公比为-1/2，且第5项为32，求该数列的前10项和。

答案：S_10=a*(1-(-1/2)^10)/(1-(-1/2))=a*(1-1/1024)/(3/2)=a*(1023/1024)*(2/3)。

4.检测题目四：若等比数列的前3项和为27，且第3项是第1项的3倍，求该数列的公比。

答案：设首项为a，公比为q，则有：

a+aq+aq^2=27

aq^2=3a

解得q=3或q=1/3。

5.检测题目五：已知等比数列的前5项和为125，且公比的绝对值为1/3，求该数列的首项。

答案：S_5=a*(1-(1/3)^5)/(1-1/3)=a*(1-1/243)/(2/3)=a*(242/243)*(3/2)。内容逻辑关系①等比数列的定义

-等比数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数。

-关键词：第二项、前一项、比、常数。

②等比数列的通项公式

-通项公式：a_n=a_1*q^(n-1)。

-关键词：第n项、首项、公比、指数。

③等比数列前n项和公式

-公式：S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)。

-关键词