2024江西省赣州市高三年级下册年3月摸底考数学试题及答案

赣州市2024年高三年级摸底考试

数学试卷

2024年3月

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分,考试时长120分钟

第I卷(选择题共58分)

.8S40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

题共小题，每小题分，共

I.已知集合从・{di-4.r>。},8M{d1(里2(2・入»贝()

ft

A.[O,2)B.(-oo,2)C.[0,4]D.(Y>,4]

2.已知i为虚数单位.之二2bia,bR,则|a+加上)

j■+(w)(

A.IB.&C.2D.4

3.在中.4fi-x/7.AC-2.C-120,,则sinA=()

A业B.叵cMD.通

14141414

4.在棱长为1的正方体中,E为棱人。的中点，过居且平行于平面ABE

的平面截正方体

所得截面面积为()

A*C.y/6D.2x/6

5.在平行四边形八8C。中，八8:3.4。=4,46出。=-6,配=3丽，则丽丽=()

A.I6B.I4C.12D.10

6.若一组样本数据第，心，….4的方差为2,£(-1)乜=-2,)，,二内+(-1)%=],2「..8)，则样本数据

1*1

yi,”,…，”的方差为()

A.lB.2C,2.5D.2.75

e3

7.已知。=-,b——,c=In3)

e-1c.则(

\.a<b<c3.b<a<c

C.h<c<ac<h<a

D.

8.在边长为4的正方体A4CO-A4GA中，点E是BCP

的中点，点是侧面内的动点(含四条

边），且tan/APO-dtanNEPB,则P的轨迹长度为（）

it„2n4n、8兀

A.-B.C.——D・—

9999

、3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

二多选题：本题共小题，每小题分，共“

求.荃部选对的得6分，部分选对的得3分.有选错的得。分.

9.已知等比阚｛愉前项而为S“,%=18品=26.则（）

A.a>0S>0

"B.

C.数列｛同｝为单输数列D.数列脸|｝为单调数列

10.已知函数（）=+；sin2x+:sin3x,则（）

frsinr'J

A.2jtg（）的一个周期B.（）的图象关于涿点对称

fXfX

C/0）的因象过点。,0）D.（）为Rh的单调ii数

fx

II.曲线C是平面内与两个定点月（0，1），尸,（0，-1）的在离的积等于的衣的曲迹，则（）

A.曲线。关于坐标轴对称B.AGP*、周长的最小值为2+#

c.。到y轴距离的最大值为也D.〃到原点距高的最小值为色

22

第n卷（非选择题共92分）

、3515分.

三填空题：本题共r小题，每小题分，共

12.求值：M4sin

1212_________.

l3,G-+>+l+-!-j展开式中的常数项为.

14.已知P是抛物线£:/=），上异于顶点的点.E在P处的切线/分别交・轴、>'轴于点S,T过P作/的垂

、VS2

线分别交X轴,轴于点M,N.分别记APMS与APN7的面积为Si.Sa,则三r的最小值为.

、577分.解答应写出义字说明、证明过程或演算步骤.

四解答题：本题共小题，共

15.（13分1

如图，在四棱锥PAEC。中,底面从AC。为直角梯形，NABCn/BC7）=90,附1平面

ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,JV/为例棱的中占

PC…

M

（I）求点。到平面PBC的距离.

（2）求二面角M-A。-3的正切值.

16.（15分）

某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试.专业

技能测状通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测玳通过的概率均为该应聘者应聘乙

公司，三项专业技能测试通过的概率依次为工.其中技能测试是否通过相互独立.

（I）若〃，=|•求该应聘者应聘乙公司三项专业技能浏试恰好通过两项的概率；

（2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家.应聘者以专业技能测试通过

项目数的数学期望为决策依据,若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求，〃的取值范围.

17.（15分）

己知椭圆C：t+A->>1，2^夕|•他B1C（一）所在H会的斜室为

"b'13b0）过点|（3）的右焦点与点,

Q2,2

（I）求椭圆C的方程；、

一/

⑵若过。的直线/与椭圆交于A8（）上线讯依分别交椭圆。于点M,N,直线MN

Cp3,0

的斜率是否为定值）若是.求出该定值,硝推，请说明理由.

18.（17分）

已知函数（/）.v-e.-i-lav

（I）求f励单调区间.

⑵已如〃|>0.若函数e>=/（入）一叫工-1）由唯一的零点.谖明，l<Xo<2

o

10（17分I

、…、，-n、J的何个正整数k都有

设数列A:仍,6,…,”（N...2）.如果对小干”（211nBiVataa>

Nn

“Det刻二记。版数列有“晒旷组成的集合，（）的元素个数记为ca倒他国朔列八的一个

DA

（I）对数列A：-l』,一2,2,-3,3,写出（）的所有元素；

DA

赣州市2024年高三年级摸底考试

数学（理科）参考答案

三填空题（共

12.旦13.63014.1

2

、77分）

四解答题（共।

15.解：⑴由用_L平面ABCO.可得丫二校”加7）=S—•PA

3"BCD

令点。到平面尸BC的距离为d,则乜松°咏=

可得:工改"=;工皿・%

由V=KliDPM、—Vz»apHCD

S„PA

则＜/=

~工PBC-

由NABC=90.8C=4,CO=3,可得：S«lfiCCD=6

6IK'D2

由密平面ABC。,/ABC-90,可得BC1PB,则S.左=：P88C=8"

则”=与=述，即点到平面P3C的距离为辿

8先2。2

（2）设。为AC的中点，过。作O//J.AO交A。于“，连结。面，””

••〃是尸C的中点,OMIIr^,：.OM1ABCD

平面

OM1A。,」.AD1平面MOH.,AD±M//,

:./MHO为二面角M-AD-B的一个平面角

又Stiu=-AD-OH=Is4Jw.=-x-!-CD«C=3

A4OD227乂22

_„\jn6

且人。一寸仃，可得z=而

则tan/朋〃。■需■平

即二面角A。—B的正切值为之

3

说明：也可以利用向量法！

16.解：（1）记',该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项、'为事件A

5.94

由题设P(A)=ZXC；XHX

oJ9

（2）分别记“该应聘者应聘甲.乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为J4

由题设知：己

所以殳=3x1=2

n的所有可能取值为（）1,2,3

ps0sxx1/M

^)63()-18•

6*炉(1-醐+内/(1-力*x"

bJo3o31o

c、52八,511210-3m

Pfn=2)sXx(lm)+Xx/"+X，

o36363lo

八52IO/〃5m

n/=3)x-x—x/n»---=——

P；tn'63189

故”的分布列为

n0i23

]-m7-6m10—3/?i5m

p

IF1818~9~

八1-WJ,7-66-10-3m、5w2m+3

从而fii=0x——+lx———+2x——--+3x—=---

18181892

2m+3

a>比，>2.

由2

()<W<1,in

0<w<1,

解得I

2

17.解：（1）由题息可设弱圆的半焦距为J且椭圆C的右焦点为）

I4.

-T-+・1,

a23bi

由题意得:a'=b-+c\

-2-0.

--------=—2

2-c

解得e=11=3力2=2

所以。的方程为：—+^-=1

32

⑵设/的方程为x=m("2)+23J(22)(33)(4).则直线血的方程为

Ax,yx,y,Mx,y,Nx,y4

、7.设

L

由可得[26-3f+3对2可2aL3)yj+12)，/=0

工+工

32

结合T+§­=1.可得%x-Q)*+(.V)-3)37|3,+¥]'=0

可得>'i')'i~—.解得yj=2-Xi

2X|

X-Z.V-Jy

代入x=--J+2,解得x3=-^-.^r+3=T—+2

»yiz-xi.ti

-2

Z1

同理可得y=5——»^=--+2

4，一七X2

-2

24--4

2I

故k、,N]]一

X2-2Xi-2

力（2-占）-3（2-占）

内一小

先[2-(〃N+2〃?+2吊J(++)]

my

2M(片f)7

"'(y-力),故直线MN的斜率是定值,且定值为2

18.解:⑴­,./(A)q一瓜“户⑴cer-i-1

?.f(x)=e*-«+—>0

X2

,当x>0时，'()=ei-1为增函数

fxx

又；，()=o

./•

.・当X£(0.1)时,/,(A-)<0./(.r)单调递减；

当xw(l,田)时,()>()

fX0,7x

，.心)的我区间为(0,1)f区间为。，湾调递墙

(2)-,­()=/(.r)-m(x-1)-e.।-lavm(m>0)

g*1

8xe,"i------m(x>0jn>0)

:.•()cx

由⑴可知g'CO在单调递增.且()=-<.

10

Igm

又81mem-----------m>cm”i10

(+)=1+H：-(+)>

，存在惟一前使得g'(r)=0

.当xw(Qj)时g*〃)v0,g(x)单调递减;当xw〃,+oo)时g'〃)>0,g(")单调递增；

g*)mmgt“I-In/-〃"+”】

=()=

若方程R卜=e*-|-lnx-〃Lr+"1=0xnx=t>l

有唯一的实数，则°

*'(，)=€'_*_；_〃]=0,

|g(/)=e/1-Inr-mt+/?»=0

消去加可得(2—)e'」-lnr+l-1(X/>1)

令=i-lnr+l--(f>l),

M妆44I—')c''—卜0

在上为减函数

且/】(1)=1>0,人(2)=l-ln2<0

.-.g/z(r)=0B?/€(l,2),gpI<A<><2

19.解：⑴由题设知当〃=3时.4>%,%>%.故"=3是数列人”一[“。时刻”

同理当〃=5时,都有。=123,4),即也是数列4的一个“。时刻”

5

综上，O(A)={3,5}

(2)由card(Q,A)=4a=5a=6

,易知或

।1

①当〃=5时.4,3,2,1必g1从左往右排列,6可以是ai2,3(£5,6)中任-个.共有5种情况

If

②当6=6时，若()中的四个元素是由裳合中的阮素4.3,2.1次5.3.2.1"5.4.2.1"5.43r2”

DA

I.若由引起，即4,3,2,1从左往右排列，贝J5必须排在4的后面，共4种；

2.若由引起，即5,3,2,1从左往右排列，则4必须排在3的后面，共3种

3.若由引起，即从左往右排列，则3必须排在2的后面，共2种；

4.若由"SI引起，即543,1从左往右排列，则2必须排在|的后面，共1种

综上，符合card(/),A)=4

的数列八有15种

另解：

因为数列人：面.02,…，gw{l.2,3,4,5,6},由鼠息可知()中的四个元亲为

r25

DA2,3,4彳,5<,6<中的臼个共有种

情况：

①当。(A)={3,4,5,6}时,数列A*5,6,4,3,2,1；共有1种情况；

②当/)(川={2,4,5,6}时.数列A=fH