2025版高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.3圆的切线的性质及判定定理练习含解析新人教A版选修4-1

PAGE1-三圆的切线的性质及判定定理课时过关·实力提升基础巩固1下列说法:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径的端点,且垂直于此直径的直线是圆的切线.其中正确的是()A.①② B.②③ C.③④ D.①④解析与圆有公共点的直线,可能是切线,也可能与圆相交,则①不正确;②不符合切线判定定理的条件,缺少过半径外端的条件;很明显③④正确.答案C2如图,PA为☉O的切线,A为切点,已知PA=4,OA=3,则cos∠APO的值为()A.34 B.C.45 D.解析由PA为☉O的切线,知OA⊥PA.在Rt△OAP中,由勾股定理,得OP=OA2+故cos∠APO=PAOP答案C3如图,已知CB为☉O的直径,P是CB的延长线上一点,且OB=BP,∠AOC=120°,则PA与☉O的位置关系是()A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定解析如图,连接AB.∵∠AOC=120°,∴∠AOB=60°.又OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴OB=AB.又OB=BP,∴AB=BP,∴∠P=∠BAP.又∠OBA=60°,∴∠P=30°.又∠AOB=60°,∴∠OAP=90°.∴OA⊥AP,则PA与☉O相切.答案B4如图,已知AB与☉O切于点B,AO=6cm,AB=4cm,则☉O的半径r等于()A.45cm B.25cm C.213cm D.13cm解析如图,连接OB,则OB=r且OB⊥AB,故OB=r=OA2-AB答案B5如图,已知在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,则弦AB的长为cm.

解析如图,连接OA,OC,OB,则OC⊥AC.又OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.∴AC=CB.由题意知,OA=5cm,OC=3cm,∴AC=OA2-∴AB=2AC=8(cm).答案86已知在Rt△ABC中,AC⊥CB,AB=12,AC=6,以C为圆心,作与AB相切的圆C,则☉C的半径r=.

解析如图,设切点为D,连接CD,则CD⊥AB,CD=r.∵AC⊥CB,∴CD2=AD·BD.又AB=12,AC=6,AC2=AD·AB,∴AD=AC2AB∴BD=AB-AD=12-3=9.∴CD2=3×9=27,∴CD=33.答案337如图,DB,DC是☉O的两条切线,A是圆上一点,已知∠D=46°,则∠A=.

解析如图,连接OB,OC,则OB⊥BD,OC⊥CD,故∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°,则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°,所以∠A=12∠BOC=12×134°=答案67°8如图,已知圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过点C作圆的切线l,过点A作直线l的垂线AD,点D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为.

解析如图,连接OC,连接BE交OC于点F,则OC⊥l,BE⊥AD.又AD⊥l,所以AD∥OC,OC⊥BE.又直径AB=8,则OB=OC=4.又BC=4,故△OBC是等边三角形.则F是OC的中点.所以AE=2OF=OC=4.答案49如图,BE是☉O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为点C,连接OD,且∠AOD=∠APC.求证:AP是☉O的切线.证明连接OP,如图.∵PD⊥BE,∴∠OCD=90°.∴∠ODC+∠COD=90°.∵OD=OP,∴∠ODC=∠OPC.∵∠AOD=∠APC,∴∠OPC+∠APC=90°.∴∠APO=90°,即AP⊥PO.∴AP是☉O的切线.10如图,已知AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F,AD=3cm,BE=7cm,求☉O的半径r.解如图,连接OC.∵MN切半圆于点C,∴OC⊥MN.∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴AD∥OC∥BE.∵OA=OB,∴CD=CE.∴OC=12(AD+BE)=12×(3+7)=∴☉O的半径为5cm.实力提升1如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,D是AB上一点,且AD=2DB,以D为圆心,DB为半径的圆与AC相切,则sinA等于()A.33 B.C.12 D.解析如图,设AC与圆相切于E点,连接DE,则DE⊥AC,DE=DB,则AD=2ED,故在Rt△ADE中,sinA=12.故选C答案C2如图,已知PB与☉O相切于点B,OP交☉O于点A,BC⊥OP于点C,OA=3,OP=4,则AC等于()A.34 B.C.35解析如图,连接OB,则OB⊥PB,OB=OA=3.又BC⊥OP,∴在Rt△OBP中,有OB2=OC·OP.∴OC=OB∴AC=OA-OC=3-94答案A3如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AD=2,BC=6,若以AB为直径的☉O与CD相切于点E,则DE等于()A.3 B.23 C.4 D.8解析如图,连接OE,过点D作DF∥AB.在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,以AB为直径的☉O与DC相切于点E,故OE⊥CD,OE是梯形ABCD的中位线,OE=12(BC+AD即OE=2+62=4,AB=∵AD∥BC,AB∥DF,∴四边形ABFD是平行四边形,BF=AD=2,CF=BC-BF=6-2=4,DF=AB=8,CD=DF2-C∴DE=23.故选B.答案B4已知△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.如图,若AB为直径,则要使得EF是☉O的切线,还需添加的条件是(必需写出三种状况):①或②或③.

答案答案不唯一.如∠CAF=∠B,AB⊥EF,∠BAC+∠CAF=90°(∠BAC与∠CAF互余),∠C=∠FAB,∠EAB=∠FAB等.★5如图,已知PA与圆O相切于点A,半径OC⊥OP,AC交PO于点B,OC=1,OP=2,则PB=.

解析如图,连接OA,则OA⊥PA.在△OAP中,∠PAO=90°,OP=2,OA=1,则PA=3,∠P=30°,∠POA=60°.故∠AOC=∠AOP+∠BOC=60°+90°=150°.又OA=OC,则∠BAO=15°.所以∠PBA=∠BAO+∠AOP=15°+60°=75°.在△PAB中,则∠PAB=180°-∠P-∠ABP=180°-30°-75°=75°.所以∠PBA=∠PAB,故PA=PB,所以PB=3.答案36如图,D是☉O的直径AB的延长线上一点,PD是☉O的切线,P是切点,∠D=30°.求证:PA=PD.分析欲证PA=PD,只要证明∠A=∠D=30°即可.证明如图,连接OP.∵PD是☉O的切线,P为切点.∴PO⊥PD.∵∠D=30°,∴∠POD=60°.又OA=OP,∴∠A=∠APO.∴∠A=30°.∴∠A=∠D.∴PA=PD.★7如图,☉O内切于△ABC的边于点D,E,F,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.(1)求证:圆心O在AD上;(2)求证:CD=CG;(3)若AH∶AF=3∶4,CG=10,求HF的长.(1)证明由题意知AE=AF,CF=CD,BD=BE,而AB=AC,∴CD=CF=BE=BD.∴D为BC的中点,∴AD是∠BAC的平分线,∴圆心O在AD上.(2)证明如图,连接DF.∵O在AD上,∴DH为直径,∴∠DFH=90°.∵CF=CD,∠CFD=∠FDC,∴∠G=90°-∠FDC=90°-∠CFD=∠C