2024届广东省三校联考高三上学期12月联考数学试题和答案

试题PAGE1试题绝密★启用前试卷类型：A深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考数学试题2023.12注意事项：1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．5．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，集合，则A．B．C．D．2.若复数满足，则在复平面上所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在梯形中，设，，若，则A．B．C．D．4．已知函数，则的最大值为A．B．C．D．5．若，则A． B． C． D．6．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为A． B． C． D．7．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与其准线交于点，若，则A．B．C．D．8．已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：学生甲乙丙丁戊成绩则下列结论正确的为A．这位同学成绩的中位数是B．这位同学成绩的平均数是C．这位同学成绩的第百分位数是D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变10.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递减D．的图象与的图象关于对称11．已知圆，点在圆上，过可作的两条切线，记切点分别为，，则下列结论正确的为A．当，时，点可是上任意一点B．当，时，可能等于C．若存在使得△为等边三角形，则的最小值为D．若存在使得△的面积为，则可能为12.已知点在棱长为的正方体的表面上运动，且四面体的体积恒为，则下列结论正确的为A．的轨迹长度为B．四面体的体积最大值为C．二面角的取值范围为D．当△的周长最小时，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．设等差数列的前项和为，若，，则公差．14．某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为．15．已知奇函数及其导函数的定义域均为，若恒成立，则．16.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，点在的左支上运动且不与顶点重合，记为△的内心，，若，则的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（10分）已知为数列的前项和，且满足（）.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和．18．（12分）已知△的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求证：；(2)若△的面积为，且，求．19．（12分）如图，在三棱锥中，△为等腰直角三角形，，△为等边三角形.(1)证明：；(2)若直线与平面所成的角为，点在棱上，且，求二面角的大小.20．（12分）已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，，，且每场比赛的胜负均相互独立.(1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；(2)若主办方在决赛的前两场中共投资（千万元），则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？21．（12分）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且．22．（12分）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设△的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，．(=1\*romani)设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，；(=2\*romanii)若，当最大时，求四边形的面积．

深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考数学答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案DCABDACC二、多选题（每小题5分，共20分）题号9101112答案BCADACBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.214.3615.116.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，18―22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）解：(1)∵，∴当时，，………………2分两式相减得，即()，………3分当时，，符合上式，………………4分∴的通项公式为()．…………………5分(2)∵，………7分∴，…………………9分∴．…………………10分18．（12分）解：(1)（方法一）由余弦定理，得，又∵，∴，………………1分∴，………………2分∵，……………3分∴，…………………4分∴，……………5分又∵，，∴．……………6分（方法二）由正弦定理，得，………1分∴，……………2分∵，，为△的内角，∴，∴，………3分∴，………4分即，………………………5分又∵，，∴．……………6分（方法一）由(1)可知，……………………7分∵，∴，即，………………8分∴，…………9分∵，∴，，………………10分记△的面积为，∴，………………11分∴．……………………12分（方法二）由正弦定理，得，即，……7分∵，∴，且，∴，……………8分又∵，∴，∴，∴，∴，……9分∴，…………………10分记△的面积为，∴，………………11分∴．……………………12分19．（12分）解：(1)证明：如图，取的中点，连接，，……………1分∵，∴，………………2分∵△为等边三角形，∴，…………3分又∵，平面，∴平面，……4分又∵平面，∴.…………………5分(2)（解法一）由(1)不难知道，在平面内，若过作直线的垂线交于点，则该垂线亦为平面的垂线，故直线在平面内的射影为直线，∴为直线与平面所成的角，即，……………6分不妨设，∵，为的中点，∴，∵△为等边三角形，∴，在△中，由正弦定理,得，∴，∴，即，由(1)知，，且，…………7分以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，，，，则有，，………8分易知为平面的一个法向量，………………9分设为平面的一个法向量，则即∴则平面的一个法向量为，…10分，…………11分由图可知，二面角为锐角，∴二面角的余弦值为，∴二面角的大小为.……………12分（解法二）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，由(1)不难知道，在平面内，若过作直线的垂线交于点，则该垂线亦为平面的垂线，故直线在平面内的射影为直线，∴为直线与平面所成的角，即，……………6分不放设，∵，为的中点，∴，∵△为等边三角形，∴，在△中，由正弦定理得，∴，∴，即.结合(1)可知，二面角为直二面角，…………7分∴平面，又平面，∴,又，平面，∴平面，又平面，∴，∴为二面角的平面角.………………8分∵，，∴，，，……9分取的中点，连接，则，，∴，…………………10分∴，…………………11分∴二面角的余弦值为，∴二面角的大小为.……………12分20．（12分）解：(1)记“甲队获得冠军”为事件，“决赛进行三场比赛”为事件，由题可知，…………………2分，……………………4分∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为.…………6分(2)设主办方在决赛前两场中共投资（千万元），其中，若需进行第三场比赛，则还可投资（千万元），记随机变量为决赛的总盈利，则可以取，，…………7分∴，，………………9分∴随机变量的分布列为∴的数学期望，………10分令，则，…………11分∴当，即时，取得最大值，∴主办方在决赛的前两场的投资额应为千万元，即万元.……12分21．（12分）解：(1)，……………………1分若，由，则时，，单调递增；时，，单调递减；…………………2分时，令，得或，若，则或时，，单调递增；时，，单调递减；……………3分若，则在上恒成立，在上单调递增；……4分若，则或时，，单调递增；时，，单调递减．……………5分综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.…………………6分(2)由(1)知，时，在，上单调递增；在上单调递减，则的极小值点为，…………………7分由极大值，且当时，，存在唯一的零点，满足，…………8分化简得，，∴，即，∴，………………9分设，，，…………………10分当时，，单调递增，时，，单调递减，…………………11分从而当时，有最小值，综上所述，存在唯一的零点，且．…………………12分22．（12分）解：(1)由题意得，………1分易知，………………2分由椭圆定义可知，动点在以，为焦点，且长轴长为的椭圆上，又不能在直线上，∴的方程为：．…………3分(2)(=1\*romani)（法一）设，，，易知直线的方程为，联立，得，∴，………………4分∴，，即，…………5分同理可得，，…………6分∴，……………7分欲使，则，即，∴，∴存在唯一常数，使得当时，．…………8分（法二）设，，，易知的斜率不为零，否则与重合，欲使，则将在轴上，又为的中点，则轴，这与过矛盾，故，同理有，…………………4分则，可得，…………5分易知，，且，，∴，即