切线、公切线问题分类专项训练解析版

切线、公切线问题分类专项训练解析版一、目录二、分类专项训练（1）求在某点处的切线1．函数在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，求在处的切线，则为切点，斜率，所以，即.故选：A.2．曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，所以，所以曲线在点处的切线斜率为，由点斜式可得，化简可得.即曲线在处的切线方程为.故选：D.3．已知，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题可得，则，故切点为，切线在该点处的斜率为，故曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，所以，得，所以，，，，故所求切线方程为，即.故选：A.5．若函数的导函数是偶函数，则在点处的切线方程为.【答案】【详解】函数，则为偶函数，则，所以，，于是，，所以在点处的切线为：，即.故答案为：.6．已知函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【详解】已知函数，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即得.故答案为：（2）求过某点的切线1．过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【详解】设切点为，而切线也过点，由斜率公式得，因为，所以，由导数的几何意义得，故成立，化简得，得到，即，显然是方程的根，则方程可化为，解得或，而原方程最多有三个根，则不可能是原方程的根，即点的横坐标不可能是.故选：B2．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设，由，得，曲线在点处的切线方程为，把代入切线方程，得，化简得，同理可得曲线在点处的切线方程为，都满足直线，直线的方程为.故选：A3．已知曲线经过点，则过点的曲线C的切线方程是【答案】【详解】因为曲线经过点，所以，解得，则曲线方程为，，设切点为，切线斜率为，由导数的几何意义得，则切线方程为，又切线经过点，则，解得，则切线方程为，即.故答案为：.4．已知(1)当时，过原点作函数的切线l，求切线l的方程；(2)讨论函数的导函数的单调性.【答案】(1)；(2)答案见解析【详解】（1）当时，，，设切点为，切线方程为，因为切线过原点，所以，即，解得；所以，因此；即切线方程为；（2）易知，令，则，①当时，，则在R上递减；②当时，令，可得；同理的解是，所以在区间上单调递增，在上单调递减；③当时令，即；同理的解是，所以在区间上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在R上递减；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；当时，在区间上单调递减，在上单调递增．5．已知函数，其中.(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；(2)讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1），因为，，所以的图象在处的切线方程为，将代入得，解得；（2），当时，，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，，所以在上单调递增.当时，令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减.当时，令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.6．已知函数.(1)当时，求曲线过点的切线方程;(2)当时，，求a的取值范围.【答案】(1)或；(2)【详解】（1）当时，函数，求导得，而，当为切点时，，切线方程为；当不为切点时，设切点为，，则，整理得，令，求导得，当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，，即，因此，，切点为，切线方程为，所以曲线过点的切线方程为，或.（2）函数，求导得，且，当时，，则当时，恒成立，函数在R上单调递增，，因此；当时，令，求导得，由，得，若，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意；若，恒成立，函数在上单调递增，恒成立，因此，所以实数a的取值范围是7．已知函数.(1)当时，求经过点且与曲线相切的切线方程；(2)若存在实数，使得，则称为函数的不动点.已知函数有3个不动点，求的取值范围.【答案】(1)(2).【详解】（1）当时，，则，设切点为，，所以切线斜率，解得，即，所以切线方程为，即为所求切线方程.（2）由题意得，方程有个不同实数根，令，则函数有3个零点，，当时，，在R上单调递增，所以只有1个零点，不符合题意：当时，令，得，则，随着的变化情况如下表，单调递增极大值单调递减极小值单调递增由函数有3个零点，根据上表可得，解得，综上可得，的取值范围.（3）已知切线求参数1．已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以.因为的图象在处的切线过原点，则，即，即.设，因为在上均单调递增，且函数值为正，所以在上单调递增，且，，所以.故选：.2．若曲线只有一条过原点的切线，则的值为．【答案】或【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,∴切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，∴,解得或,∴或,故答案为：或3．已知函数(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；(2)若在处有极值，求a与b的值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数求得切线斜率，由函数解析式求得切点，根据切线方程，建立方程组，可得答案；（2）由函数解析式求导，根据极值与导数的关系，结合函数解析式，建立方程组，可得答案.【详解】（1）因为，所以，所以，，因为切线方程为，所以，解得，所以.（2）函数在处有极值且或恒成立，此时函数无极值点，此时1是极值点，满足题意，所以.4．已知函数在处的切线方程为.(1)求实数的值；(2)已知，函数，若，求证：.【答案】(1)1(2)证明见解析【详解】（1）当时，，显然不是的切线，不合题意；当时，由题意，即，解得.（2），则，因为，则得；得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由，当且仅当，即，所以，设，则得；得，在上单调递增，在上单调递减，，所以，所以.5．已知函数.(1)若，证明：；(2)若存在过点的直线与曲线相切，求实数a的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）当时，，，则，，令，.则，所以函数在上单调递增，又，所以当时，，即，所以函数在上单调递减；当时，，即，所以函数在上单调递增，所以当时，，所以.（2）设过点的直线与曲线相切于点，，则，则切线方程为，又该切线经过点，所以，即，整理得，即，即，即，显然当时，不合题意；则，令，，则，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；所以函数在时取得最大值，且当时，，当时，，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.（4）切线的条数问题1．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，所以切线方程为，因为直线过点，则，化简得，又因为切线有且仅有1条，即，解得或2，故选：A2．若过点可以作曲线的三条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，设切点为，则，整理得，由题意知关于的方程有三个不同的解.设，，由得或，又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，.又易知在上单调递减，在上单调递增，开口向上，所以当趋向于负无穷或正无穷时，都趋向于正无穷.而当趋向于负无穷时，趋向于正无穷，故也就趋向于正无穷；当趋向于正无穷时，趋向于正无穷且增长速率远远超过，故且趋向于零，又，，函数的大致图象如图所示.

因为的图象与直线有三个交点，所以，即.故选：D.3．若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得，则函数的图象在点处的切线方程为.由切线过点，得.令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点.，当或时，，函数在上单调递减；当时，，则函数在上单调递增；当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，且当时，恒有.又，，如图，作出函数的大致图象，由形可知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，所以实数的取值范围是.故选：B.4．（多选）已知函数.若曲线存在两条过点的切线，则实数的可能取值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】BCD【详解】当时，，，，当时，，，，由题意得，过点的两条切线与曲线的切点横坐标分别在区间和内，当切点横坐标在区间内时，设切点为，则切线斜率，∴切线方程为，∵切线过点，∴，∴，∵，∴，故.当切点横坐标在区间内时，设切点为，则切线斜率，∴切线方程为，∵切线过点，∴，∴，∵，∴，故，综上得，.∵，∴符合题意的选项为B、C、D.故选：BCD.5．若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是．【答案】【详解】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：，因切线经过点，则，故有两个不同的实数根.不妨设，则当时，，单调递增；当时，，单调递减.故，则，即，所以实数的取值范围为.故答案为：.6．从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为．【答案】【详解】切点设为，其中有三个不同的解即有三个不同的解设，该函数有三个不同零点,，令，则或，令，则或，令，则，所以：函数在区间单调递减，在区间上单调递增，所以函数在和处取得极值，要想函数有三个不同零点，则，即所以：故答案为：7．曲线过坐标原点的两条切线的方程为．【答案】，【详解】先求当时，曲线过原点的切线方程，设切点坐标为，则由，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以，解得，代入，得，所以切线斜率为，切线方程为．因为为偶函数，所以时切线与的切线关于轴对称，可求得当时的切线方程为．综上可知，两条切线方程为．故答案为：．8．已知函数，点在第四象限内，过作图象的切线，有且只有两条，则的取值范围为.【答案】【详解】设切点为，，由题意可知，，，则切线方程为，因为切线过点，则，即方程有两个解.令，或，由可得，所以，函数的增区间为、，减区间为，因为方程有两个解，所以，或，当时，则有，即，合乎题意；当时，则，可得，由可得，所以，，则，综上，，即的取值范围是.故答案为：.9．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是.【答案】【详解】设公切线为是与的切点，由，得，设是与的切点，由，得，所以的方程为，因为，整理得，同理，因为，整理得，依题意两条直线重合，可得，消去，得，由题意此方程有三个不等实根，设，即直线与曲线有三个不同的交点，因为，令，则，当或时，；当时，，所以有极小值为，有极大值为，因为，，，所以，当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，故的图象简单表示为下图:所以当，即时，直线与曲线有三个交点，故答案为：（5）公切线问题1．若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【详解】设直线与曲线、曲线相切的切点分别为，求导得，，则，且，由，两边取对数整理得：，代入，可得，令，求导得，则当时，，当，，故函数在上单调递减，在上单调递增，，所以斜率的最小值为.故选：C2．（多选）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】解：设由两曲线与分别求导得，所以，故在处切线为：，整理得：，在处切线为，整理得：，所以，解得，构造函数，，令，解得：，故在递增，在递减，故，∵正实数，∴的取值范围是，故选：ABC3．若直线是曲线与曲线的公切线，则．【答案】【详解】直线与曲线联立，得，因为直线是曲线的切线，所以，解得，设与曲线相切于，由得曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即，因为直线是曲线与曲线的公切线，所以，解得，即.故答案为：.4．设函数，若曲线在点处的切线与抛物线也相切，则的值为．【答案】【详解】由题意得，则，，所以曲线在点处的切线方程为，即，与抛物线方程联立得，由，得，即，令，则，其中，当时，，递增，当时，，递减，则，且，则.故答案为：.5．若圆与曲线的公切线经过，求．【答案】【详解】由题知，公切线斜率存在，设公切线方程为，则到公切线的距离等于半径，即，解得，所以公切线方程为，对于，设切点为，所以，则可得，解得.故答案为：6．若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线.(1)当时，求函数与在公共点处的切线方程；(2)求的最小值：【答案】(1)(2)1【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，因，则得，故切点为且，所以与在公共点处的切线方程为（2）设为与的一个公共点，因，则由②得，即，将其代入①中得，，即，令，则，则当时，在区间单调递增；当时，在单调递减，故，又因，故，当且仅当时取“”，故的最小值为.（6）切线垂直、平行问题1．曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（）A． B．0 C．1 D．【答案】A【详解】由，不妨设，两切线的斜率分别为，当时，则有，此时，显然，因此不成立，不符合题意；当时，则有，此时，显然，因此不成立，不符合题意；当，则有，此时，变形得．故选：A2．若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设切点坐标为，函数，所以，因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为故选：B3．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∴，∵曲线在点处的切线与直线垂直，∴，即，故.故选：D.4．（多选）已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.则（

）A．当时，切线的方程为 B．当时，的面积为C．点的坐标为 D．面积的最小值为【答案】BCD【详解】由已知得，，过点的切线方程为，当时，，则，故正确；当时，，则，以为切点的切线方程为，即，故错误；此时，的面积，故正确；因为，，，所以，，所以，令，所以，令，即，解得，当时，，所以函数在内单调递减，当时，，所以函数在内单调递增，所以当时，函数有最小值，最小值为，故正确.故选：.5．已知函数在处的切线与直线垂直.(1)求a的值；(2)求的单调区间和极值.【答案】(1)1；(2)答案见解析.【详解】（1）由题意知，所以，又函数在点处的切线与直线垂