第16讲 基本图形位置关系（解析版）-1

第16讲基本图形位置关系目录题型归纳 1题型01平面的概念及其表示 2题型02点（线）确定的平面数量问题 4题型03空间中的线共点问题 6题型04由平面的基本性质作截面图形 10题型05异面直线的概念及辨析 15题型06异面直线的判定 18题型07异面直线所成的角的概念及辨析 21题型08求异面直线所成的角 24题型09由异面直线所成的角求其他量 29题型10判断图形中的线面关系 33题型11面面关系有关命题的判断 36分层练习 40夯实基础 40能力提升 49知识点01、用集合语言表示空间中点、直线和平面的位置关系位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上C∉AB点M在平面AC内M∈平面AC点A1不在平面AC内A1∉平面AC直线AB与直线BC交于点BAB∩BC=B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC知识点02、平面的基本事实基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A，B，C∈α①确定平面的依据；②判定点、线共面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈αB∈α⇒AB⊂①确定直线在平面内的依据；②判定点在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈αP∈β⇒α∩β=l且①判定两平面相交的依据；②判定点在直线上知识点03平面基本事实的推论文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面直线l，点A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b=P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α知识点04如何研究共面、共线问题1.点、线共面问题的证明(1)点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论.(2)解决此类问题通常有两种方法：①纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；②辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.2.点共线问题(1)点共线问题是指证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(2)解决此类问题常用以下两种方法：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.3.线共点问题线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，主要的证明依据也是基本事实4.证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常利用基本事实3证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.知识点05空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有知识点06基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言a∥bb∥c⇒作用揭示了空间平行线的传递性知识点07等角定理文字语言如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.特别地，如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向一边相同，另一边相反，那么这两个角互补符号语言OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB与∠A'O'B'两边的方向相同⇒∠AOB=∠A'O'B'；OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB与∠A'O'B'的一边方向相同，另一边方向相反⇒∠AOB+∠A'O'B'=180°图形语言作用判定两个角相等或互补知识点08异面直线1.异面直线的判定定理文字语言过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线符号语言若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线图形语言2.异面直线所成的角如图，a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角.记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°，若θ是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b.知识点09基本事实4等角定理在空间图形中的运用1.空间中两直线平行的证明方法(1)利用定义：证明两条直线共面且无公共点.(2)利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)证明.(3)利用基本事实4，即找到第三条直线c，使a∥c，b∥c，从而得到a∥b.2.空间中角相等的证明方法(1)利用等角定理证明；(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.利用等角定理证明两角相等的步骤：①证明两个角的两边分别对应平行；②证明对应边的方向相同.知识点10空间中异面直线的判定及所成角的求解1.判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交；(2)过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线；(3)反证法.2.求异面直线所成角的一般步骤(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形的中位线定理、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角或其补角.(2)证明：证明作出的角或其补角就是要求的角.(3)计算：求角度，常利用三角形的边角关系，通过解三角形求解.(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.知识点11、直线与平面的三种位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=Aa∥α图形表示知识点12、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行a⊄αb⊂αa∥b性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行a∥αl⊂β知识点13、直线与平面垂直1.如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α.直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足.2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理判定定理性质定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言符号语言⇒a⊥α a⊥αb⊥α⇒常用结论—过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知识点14、两种距离1.点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.2.直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离.知识点15、直线与平面所成的角1.射影(1)概念：如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内的射影，线段OA就是斜线段PA在平面α内的射影.(2)常用结论：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.2.直线与平面所成的角(1)概念：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.(2)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角.(3)取值范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.知识点16、如何证明直线与平面平行1.证明直线与平面平行的步骤（1）找：在平面内找到（或作出）一条已知直线平行的直线（2）证：证明已知直线平行于找到（或作出）的直线（3）结论：由直线与平面平行的判定定理得出结论2.直线与平面平行的判定定理和性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去.有如下示意图：知识点17、如何判定直线与平面垂直1.判定直线与平面垂直的常用方法(1)利用直线与平面垂直的定义，即证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线，从而得到直线a⊥平面α(一般不易验证任意性).(2)利用直线与平面垂直的判定定理，即如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直，简记为“线线垂直⇒线面垂直”(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c=M⇒a⊥α).(3)利用平行线垂直平面的传递性质，即如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).2.利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使已知直线和这两条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交直线；(3)根据判定定理得出结论.知识点18、如何探究直线与平面所成的角1.求直线与平面所成角的大小的步骤(1)作角：①作垂线：过斜线上一点(不是斜足)作平面的垂线；②作射影：连接垂足和斜足；③确定平面角：斜线与它在平面上的射影所成的角即为所求，即将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的角).(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角，关键是证垂直.(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算.知识点19、两个平面的位置关系位置关系公共点符号表示图形表示两平面平行没有公共点α∥β两平面相交有一条公共直线α∩β=a知识点20、两个平面平行1.两个平面平行的判定定理与性质定理文字语言符号语言图形语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行⇒α∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行⇒a∥b2.相关结论(1)已知两个平面平行，则一个平面内的任一直线都平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.知识点21、两个平行平面间的距离1.公垂线、公垂线段：与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.2.两个平行平面间的距离(1)定义：把两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离.(2)性质：两个平行平面间的距离等于其中一个平面上的任意一点到另一个平面的距离.知识点22、二面角1.二面角半平面平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面二面角相关概念一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面画法记法二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q2.二面角的平面角定义一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角图示符号OA⊂α，OB⊂β，α∩β=l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角α-l-β的平面角规定二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角范围二面角θ的大小范围是0°≤θ≤180°知识点23、平面与平面垂直1.定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直.2.画法：3.平面与平面垂直的判定定理和性质定理判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥αl⊂β⇒性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言知识点24、两个平面平行的判定1.两个平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点.(2)利用判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.(3)转化为线线平行：若平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.在立体几何中，线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，解题时由线线平行可推出线面平行，由线面平行可推出面面平行.知识点25、如何求二面角的大小求二面角的大小的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.1.作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面相交，其交线所成的角即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角(或其补角).如图③，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.图① 图② 图③知识点26、垂直关系的相互转化1.空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是独立的，而是相互关联的.它们之间的关系如下：2.平行关系与垂直关系之间的相互转化题型01平面的概念及其表示【例1】（20-21高一下·浙江·期末）“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】平面的概念及其表示【分析】根据点线面关系的表示方法直接表示即可.【详解】点P在直线m上可表示为，m在平面内.故选：B.【变式1】（22-23高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知识点】平面的概念及其表示【分析】根据平面的有关概念进行分析，从而确定正确答案.【详解】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确.在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误.直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误.所以正确的个数为个.故选：B【变式2】（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】平面的概念及其表示【分析】根据点、线、面的位置关系，及其符号表示逐一判断即可.【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误；线面关系用“”或“”表示，故BD错误；根据图形有，C正确.故选：C【变式3】（21-22高一下·上海浦东新·期末）若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作.【答案】，，【知识点】平面的概念及其表示【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案.【详解】点在直线上，在平面内，则，，故､､之间的关系可记作，，.故答案为：，，题型02点（线）确定的平面数量问题【例2】（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（

）A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个【答案】D【知识点】点（线）确定的平面数量问题【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案.【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面；当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面；当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点.故选：D.【变式1】（22-23高一下·山东烟台·期末）下列几何元素可以确定唯一平面的是（

）A．三个点 B．圆心和圆上两点C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线【答案】C【知识点】点（线）确定的平面数量问题【分析】根据平面的确定方法求解.【详解】对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误；对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误；对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确；对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误，故选:C.【变式2】（20-21高一上·陕西渭南·期末）三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面的个数是．【答案】1个或3个【知识点】点（线）确定的平面数量问题、平面的基本性质及辨析【分析】根据平面的性质和公理即可求解.【详解】三条直线两两相交，若三条直线交于同一点，则这三条直线确定的平面的个数是1个或3个，若三条直线两两相交于三个不同的点，则这三条直线确定1个平面．综上，这三条直线所确定的平面的个数为1个或3个．故答案为：1个或3个.【变式3】（20-21高一下·上海浦东新·期末）空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是【答案】3【知识点】点（线）确定的平面数量问题【分析】根据直线平行的性质即可得到结论．【详解】解：若三条直线在同一平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，若三条直线不在同一平面内，则此时三条直线能确定三个平面，故三条两两平行的直线可以确定平面的个数为1个或3个，故答案为：3题型03空间中的线共点问题【例3】（20-21高一下·山东聊城·期中）在三棱锥的边上分别取E、F、G、H四点，如果，则点P（

）A．一定在直线上 B．一定在直线上C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上【答案】A【知识点】空间中的线共点问题【分析】根据点、线、面的位置关系，可得答案.【详解】由，则平面，由，则平面，同理可得平面，由平面平面，则.故选：A.【变式1】（22-23高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（

）A．直线与平行 B．直线，，相交于一点C．直线与异面 D．直线，，相交于一点【答案】B【知识点】空间中的线共点问题【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可．【详解】因为，，且，所以，所以且，因为，分别为，的中点，所以且，所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰，所以，交于一点，设交点为，则，，又因为平面，且平面，所以平面，且平面，又平面平面，所以，所以点是直线，，的公共点，故直线、、相交于一点．

故选：B【变式2】（22-23高一下·山西大同·期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：

(1)，，，四点共面；(2)与的交点在直线上．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面．（2）推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上．【详解】（1）：：：，，，分别为，的中点，，，，，，四点共面．（2）、不是、的中点，，且，与必相交，设交点为，平面，平面，平面，且平面，平面平面，，与的交点在直线上【变式3】（22-23高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.

【答案】证明过程见解析【知识点】空间中的线共点问题、空间中的点（线）共面问题【分析】（1）设两平行直线确定的平面为，从而得到，，直线，即平面，证明出结论；（2）作出辅助线，得到，且，得到四边形为梯形，与交于一点，再证明点在直线上，证明出结论.【详解】（1）证明：设直线与，分别交于点，如图1，

因为，所以确定一个平面，记为平面，因为点直线，点直线，所以，，所以直线，即平面，所以过，，有且只有一个平面；（2）在空间四边形中，连接，因为分别为的中点，则，且，又由，则，且，故，且，故四边形为梯形，与交于一点，设与交于点，如图2，

由于平面，点在平面内，同理点在平面内，又因为平面平面，所以点在直线上，故直线相交于一点题型04由平面的基本性质作截面图形【例4】（22-23高一下·重庆渝中·期中）正方体的棱长为2，P为中点，过A，P，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状【分析】取中点，连接，得到截面为四边形，再根据梯形的面积公式即可求解.【详解】

如图，截面为四边形，取中点，连接，则，且.因为,且，所以四边形是平行四边形，则，，所以，且，又所以截面为等腰梯形，且上底长为，下底长为，腰长为，所以截面的面积为.故选：C【变式1】（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形【分析】连接，取的中点，连接，然后利用平面的性质可得过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形，从而可求出截面的面积.【详解】连接，取的中点，连接，因为是的中点，所以∥，，因为∥，，所以∥，，所以过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形，连接交于，连接交于，连接，因为，所以，所以梯形为等腰梯形，所以，所以梯形的面积为，故选：B

【变式2】（23-24高一下·广东东莞·期中）在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为．【答案】18【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状【分析】取的中点，连接，则梯形为过三点的截面，然后求解其面积即可.【详解】取的中点，连接，因为为的中点，所以‖，，因为‖，，所以‖，，所以四点共面，即过三点的截面为梯形，因为正方体的棱长为4，所以，所以等腰梯形的高为，所以梯形的面积为，故答案为：18【变式3】（21-22高一下·新疆塔城·期末）如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点．(1)画出过点，，的平面与平面的交线；(2)设平面，求的长．【答案】(1)作图见解析(2)【知识点】图形的性质、由平面的基本性质作截面图形【分析】（1）通过平面，将延长后必与相交，设交点为，连接，即为过点，，的平面与平面的交线.（2）由可知，进而可通过勾股定理求得的长.【详解】（1）如下图所示，∵平面，与不平行，∴与必相交．设交点为，连接．∵平面，平面，∴过点，，的平面与平面的交线为.（2）∵，∴，∴．∴.题型05异面直线的概念及辨析【例5】（23-24高一下·河南安阳·期中）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直【答案】B【知识点】异面直线的概念及辨析【分析】将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案.【详解】由题意可将展开图还原为如图的正方体，故.故选：B【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期中）如果两条直线和没有公共点，那么这两条直线是（

）A．平行 B．平行或是异面直线C．是异面直线 D．共面【答案】B【知识点】异面直线的概念及辨析【分析】由空间中直线的位置关系即可得解.【详解】如果两条直线和没有公共点，那么这两条直线是同一平面内的平行直线或是异面直线.故选：B.【变式2】（23-24高一下·北京·期中）已知三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则b与c（

）A．一定异面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交【答案】C【知识点】异面直线的概念及辨析、平行公理【分析】根据空间中线线的位置关系以及平行公理，即可进行判断并且得到答案.【详解】由题意，三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则与可能相交，也可能异面，不可能平行.若与平行，又a与b平行，根据基本事实4，可得与平行，这与与异面矛盾，故b与c不可能平行.故选：C【变式3】（21-22高一上·浙江·期末）已知空间三条直线a，b，c．若，则（

）A．b与c平行 B．b与c异面C．b与c相交 D．b与c平行、异面、相交都有可能【答案】D【知识点】异面直线的概念及辨析【分析】利用正方体模型进行分析判断【详解】解：如图在正方体中，，此时与相交；当时，∥；当时，与异面，所以由，可得b与c平行、异面、相交都有可能，故选：D题型06异面直线的判定【例6】（20-21高一上·陕西渭南·期末）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（

）

A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交【答案】A【知识点】异面直线的判定【分析】由异面直线的定义判断即可.【详解】体对角线与面对角线不在同一个平面内，且不平行，故体对角线与面对角线的位置关系一定是异面.故选：A.【变式1】（21-22高一下·广西钦州·期末）如图，长方体的12条棱中与异面的共有（

）A．4条 B．5条 C．6条 D．7条【答案】C【知识点】异面直线的判定【分析】根据异面直线的定义判断即可【详解】由题意，长方体的12条棱中与异面的有共6条故选：C【变式2】（21-22高一下·四川成都·期末）如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（

）A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定【答案】C【知识点】异面直线的判定、平面的基本性质及辨析【分析】取的中点，可得，进而可得平面，平面，平面，即得.【详解】取的中点，连接，则，又，∴，则确定平面，又平面，平面，，平面，∴直线FQ与PB是异面直线.故选：C.【变式3】（23-24高一下·北京顺义·期中）从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为．【答案】4【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析【分析】先依次选定第一条、第二条面对角线结合正方体结构特征进行分析即可求解.【详解】如图，在面中选定一条面对角线，由正方体结构特征剩余五个面内均只剩一条面对角线与异面，但当继续选定第二条面对角线时，面与面中与异面的直线均与面对角线相交，故不符合，所以最终只剩最后两个面的对角线可以与和两两异面，故k的最大值为4.故答案为：4.题型07异面直线所成的角的概念及辨析【例7】（23-24高一下·江苏南京·期末）异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数.【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的角平分线上，的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于，的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于，所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为.故选：A【变式1】（21-22高一下·河南开封·期中）在正方体的所有面对角线中，所在直线与直线互为异面直线且所成角为的面对角线的条数为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析【分析】作图，直接观察可得.【详解】如图，易知为等边三角形，所以，又，所以异面直线与的夹角为，符合题设.同理，面对角线，，也满足题意，所以满足条件的面对角线共4条，故选：B．【变式2】（20-21高一下·上海徐汇·期末）空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有种．【答案】1【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析【分析】根据空间中，直线的位置关系，分析即可得答案.【详解】空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，只有1种情况：甲烷模型，各个夹角为，且满足异面，故答案为：1【变式3】（22-23高一下·上海杨浦·期末）若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有条.【答案】【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析【分析】在空间取一点，经过点分别作，，分析直线满足它的射影在、所成角的平分线上时的情况可得出答案.【详解】在空间取一点，经过点分别作，，设直线、确定平面，

当直线满足它的射影在、所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角，设直线与、所成角为，因为直线、所成角为，得、所成锐角为，①当直线的射影在、所成锐角的平分线上时，则与、所成角的范围是，这种情况下，过点有条直线与、所成角都是；②当直线的射影在、所成钝角的平分线上时，与、所成角的范围是，这种情况下，过点有且仅有条直线（即时）与、所成角都是.综上所述，过点且与、所成角都是的直线有条.故答案为：.题型08求异面直线所成的角【例8】（23-24高一下·福建福州·期末）在正三棱柱中，，，分别是中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求异面直线所成的角【分析】设，取的中点，的中点，的中点,可得异面直线与所成角为或其补角，利用余弦定理即可求解.【详解】设，取的中点，的中点，的中点,易知,,所以异面直线与所成角为或其补角.由正三棱柱的几何特征可得,，.,,，，,在中，由余弦定理可得,所以直线与所成角的余弦值为.故选:A.【变式1】（21-22高一上·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（

）A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】C【知识点】求异面直线所成的角【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解.【详解】连接,因为且，所以四边形为平行四边形，所以，即或其补角是异面直线与所成的角.在正方体中，即是等边三角形，所以.故选：C【变式2】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为．【答案】【知识点】求异面直线所成的角【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得.【详解】在四面体中，取的中点，连接，由M、N分别为，的中点，得，则是异面直线AC与BD所成的角或其补角，显然，而，有，于是，所以异面直线AC与BD所成的角是.故答案为：【变式3】（20-21高一下·江苏扬州·期中）如图，在直三棱柱中，侧棱与底面所有直线均垂直，底面△ABC是边长为4的正三角形，侧棱长为3，D，E分别为棱和的中点.（1）试判断直线AD和BE的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线AB和CE所成角的余弦值.【答案】（1）直线AD和BE为相交直线，理由见解析；（2）.【知识点】求异面直线所成的角【分析】（1）连接．利用直三棱柱的性质、三角形中位线定理及其梯形点定义即可判断出位置关系．（2）由，可得（或其补角）为异面直线和所成角，利用余弦定理即可得出．【详解】连接DE.在△A1B1C1中，D，E分别为棱和的中点，所以DEA1B1，且DEA1B1，又在直三棱柱中，ABA1B1，且ABA1B1，所以DEAB，且DEAB，所以四边形ABED为梯形，所以直线AD和BE为相交直线.（2）因为DEAB，所以(或其补角)为异面直线AB和CE所成角.因为△ABC是边长为4的正三角形，则DEAB，在△CC1E中，，，则，同理，在△CDE中，，，DE，解得，所以异面直线AB和CE所成角的余弦值为.题型09由异面直线所成的角求其他量【例9】（21-22高一下·山东淄博·期末）在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【知识点】由异面直线所成的角求其他量【分析】连接，可得或，求解三角形即可求出.【详解】如图，连接，在中，因为为中点，所以，，在中，因为为中点，所以，，因为与所成的角为，所以或，当时，为等边三角形，所以，当，由余弦定理可得，即，所以的长为1或.故选：C.【变式1】（21-22高一下·安徽六安·期中）在空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，且与所成的角为60°，则的长为（

）A．1或 B．或 C．1或 D．或【答案】C【知识点】由异面直线所成的角求其他量【分析】连接EF，FG，EG，根据异面直线所成角的意义，在中分情况计算作答.【详解】连接EF，FG，EG，如图，依题意，，且，因与所成的角为60°，则或，当时，是正三角形，，当时，，所以的长为1或.故选：C【变式2】（23-24高一下·江西·期末）在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于.【答案】1或【知识点】由异面直线所成的角求其他量【分析】设G为CD中点，分别连接EG，FG，构造新的根据余弦定理可得到EF的长.【详解】设G为CD中点，分别连接EG，FG，则EG是的中位线，可得，

同理可得，因为AD与BC所成的角为60°所以等于60°或120°，当在中根据余弦定理得，当同理可得故答案为：1或【变式3】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.

【答案】或【知识点】由异面直线所成的角求其他量【分析】过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接，根据圆柱的性质得到且，从而得到，与所成的角就是或其补角，再分和两种情况讨论，分别计算可得．【详解】如图，过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接，垂直于上下底面，，，

则四边形是平行四边形，，与所成的角就是或其补角．当时，是等边三角形，，在中，；当时，在中，，在中，．综上，或.题型10判断图形中的线面关系【例10】（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，下列几何关系表达正确的是（

）

A．，，m，n共面B．，，m，n共面C．，，m，n异面D．，，m，n异面【答案】D【知识点】异面直线的概念及辨析、判断图形中的线面关系【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号即可判断.【详解】因是直线，是点，故它们与平面的关系应该是，而且从虚线看，m，n异面，故A,B，C均错误；故答案为D.故选：D.【变式1】（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，则下列结论正确的是（

）A．点平面 B．直线平面C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线【答案】D【知识点】异面直线的概念及辨析、判断图形中的线面关系【分析】根据给定图形，利用点、线、面的位置关系判断作答.【详解】在长方体中，直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确；点平面，点平面，即直线平面，B不正确；直线平面，则与平面无公共点，直线平面，所以直线与直线没有公共点，C不正确；直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面，则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行，因此直线与直线是异面直线，D正确.故选：D【变式2】（20-21高一下·北京·期末）过平面外一点，能做（

）条直线与平面平行.A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】D【知识点】判断图形中的线面关系【分析】根据线面平行的定义判断可得；【详解】解：过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，这些直线在与这个平面平行的平面内故选：D【变式3】（22-23高一下·上海嘉定·期末）若，且，则（填数学符号）【答案】【知识点】判断图形中的线面关系、平面的基本性质及辨析【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案.【详解】由且，即.故答案为：题型11面面关系有关命题的判断【例11】（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，且，，则D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分【答案】D【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断【分析】对于A，与相交、平行或异面；对于B，或；对于C，由于直线未必相交，故无法判定与平行；对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分．【详解】直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，对于A，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；对于B，若，，则或，故B错误；对于C，若，，且，，由于直线未必相交，所以与不一定平行，故C错误；对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分，故D正确故选：D．【变式1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，对于命题：①若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交；②若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交．则下列结论中正确的是（

）．A．①为真命题②为真命题 B．①为真命题②为假命题C．①为假命题②为假命题 D．①为假命题②为真命题【答案】B【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断【分析】借助平行公理可以判断命题①，结合条件作图，结合面面平行性质定理可以判断命题②.【详解】对于命题①假若既不与相交，也不与相交，由于，都在内，故，平行，同理，平行，根据平行公理得到，平行，与已知，为异面直线矛盾，所以必与或相交，命题①正确如图所示，，，是异面直线，上下两个平面，是分别通过，中的一条而与另一条平行的平面，直线与这两个平面都相交，交点，都不在直线，上.在直线上任取一点不同于，的点，由于，异面，所以，则直线与点确定一个平面，由面面平行性质定理可得该平面与平面的交线与直线平行，而直线，为异面直线，所以这平面与直线相交，设交点为，连接的直线与直线必然相交（否则，这条线必在平面内)，由于点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与，，都相交，命题②错误，故选：B.【变式2】（20-21高一下·广东梅州·期中）设m､n是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则下面四个命题中正确的是；①若m⊥n，m⊥α，nα，则nα；②若mα，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则mα；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；【答案】①④【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断【分析】利用线线，线面，面面的位置关系判断选项.【详解】①若m⊥n，m⊥α，nα，则nα，故①正确；②若mα，α⊥β，则m⊥β，或，或与相交，但不垂直，故②不正确；③若m⊥β，α⊥β，则mα或，故③不正确；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故④正确.故答案为：①④【变式3】（22-23高一下·北京房山·期末）已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是.（填入条件的序号即可）①；②；③；④.【答案】①③（或②④）【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系对选项一一分析即可得出答案.【详解】选①②，若，，则可能，不正确；选①③，若，，则，正确；选①④，若，，则可能，不正确；选②③，若，，则可能，不正确；选②④，若，，则，正确；选③④，若，，则可能，不正确；故答案为：①③（或②④）【夯实基础】一、单选题1．（23-24高一下·广东广州·期末）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，【答案】C【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系可判断每个选项的正误．【详解】对于A：，，或与相交或与异面，故A错误；对于B：由，，，可能，可能，还可能异面不垂直，也可能相交不垂直，故B错误；对于C：由，，则，又，则，故C正确；对于D：，或，故D错误.故选：C.2．（23-24高一下·贵州·期中）若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（

）A．内存在与平行的直线 B．内所有直线都与异面C．与有公共交点 D．内所有直线都与相交【答案】C【分析】利用线面的位置关系直接判断得解.【详解】由直线不平行于平面，且直线，得直线与平面相交，则与有公共交点，C正确；平面内不存在直线与平行，否则，与已知矛盾，因此内所有直线都与异面或相交，ABD错误.故选：C3．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知直线、及平面，直线平面，则“直线直线”是“直线平面”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】结合图先判断“直线直线”能否推出“直线平面”，再判断“直线平面”能否推出“直线直线”，结合充分条件和必要条件定义判断结论.【详解】如图：直线平面，直线平面，所以直线直线，但是直线平面，所以直线直线不能推出直线平面，所以“直线直线”不是“直线平面”的充分条件，

如图直线平面，直线平面，过直线作平面，平面平面，因为直线平面，直线平面，所以直线直线，又直线平面，直线平面，所以直线直线，又直线直线，所以直线直线，即直线平面可推出直线直线，“直线直线”是“直线平面”的必要条件，

所以“直线直线”是“直线平面”的必要不充分条件.故选：B.4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】本题考查空间内线线、线面和面面位置关系的判定及性质，根据判定定理和性质定理依次判断即可.【详解】对于A选项，若，，则或，A错；对于B选项，若，，，，则或､相交，B错；对于C选项，若，，，则或､相交，C错；对于D选项，若，，则，因为，则，D对.故选：D.二、多选题5．（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（

）A． B．C．直线与异面 D．直线与异面【答案】AD【分析】根据题意，画出该正方体的直观图，结合正方体的结构特征依次分析选项，综合可得答案.【详解】根据题意，画出该正方体的直观图，对于A，易得，A正确；对于B，与异面，B错误；对于C，直线与相交，C错误；对于D，直线与异面，D正确.故选：AD.6．（21-22高一下·山东青岛·期中）如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（

）A．相交 B．C． D．以上都不是【答案】BC【分析】利用线面平行的判定定理和直线与平面的位置关系即可得出结果.【详解】由题意知，直线直线，且平面，当不在平面内时，平面内存在直线，则，符合线面平行的判定定理，所以；当在平面内时，也符合条件，所以与的位置关系为或在平面内.故选：BC.三、填空题7．（22-23高一下·云南楚雄·期中）如图，在正方体中，M，N分别为，CD的中点，则异面直线MN和所成角的余弦值为．

【答案】【分析】取E为AB的中点，由，得到∠NME为直线MN和所成的角求解．【详解】解：如图所示：

取E为AB的中点，连结NE，ME，易知，所以∠NME为直线MN和所成的角．设正方体的棱长为2，则，，，所以，所以是直角三角形，所以．故答案为：8．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为.

【答案】/【分析】如图，作，则，进而，得，即可求解.【详解】作交于，连接，则.而，所以，则.由，得，所以，又，，所以，故.故答案为：

四、解答题9．（23-24高一下·云南大理·期中）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点.(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：四点共面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论；（2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面.【详解】（1）因为分别为的中点，则，，又因为，，则，，所以四边形是平行四边形.（2）因为，，为中点，则，，可知四边形为平行四边形，则，，由（1）知：，，可得，，所以四边形为平行四边形，则，即，所以四点共面.10．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.

(1)求证：点在直线上；(2)求证：与是异面直线.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上.（2）利用反证法可证明与是异面直线.【详解】（1）平面平面，由于平面，平面，所以，也即点在直线上.（2）假设与不是异面直线.则与是共面直线，又在直线外，则过与直线有唯一平面，所以可得平面，这与在平面外矛盾，故与是异面直线.【能力提升】一、单选题1．（23-24高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解.【详解】如图，取的中点，连接，易知，，且，，故，且是异面直线与所成角或其补角，所以或，所以异面直线与所成角为或其补角，当时，；当时，，所以直线与所成角的大小为或

故选：C

2．（22-23高一下·陕西西安·期中）若表示直线，表示平面，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则或与异面【答案】D【分析】举反例否定A，B，C，利用线面平行的性质定理判断D即可.【详解】对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，，则或与相交或与异面，故B错误；对于C，若，，则或，故C错误;对于D，若，，结合线面平行的性质定理得或与异面，故D正确.故选：D.3．（23-24高一下·浙江温州·期中）设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则下列命题中正确的是（

）A．在内一定存在直线与直线相交B．在内一定存在直线与直线异面C．一定存在过直线的平面与平行D．存在无数过直线的平面与垂直【答案】B【分析】根据直线与平面的位置关系，逐项用特例排除选项即可判断ACD，根据异面直线定义判断B.【详解】选项A，当直线平行于平面时，在内不存在与相交的直线，所以A错误；选项B，与平面平行或相交，在内一定存在直线与直线异面，所以B正确；选项C，当直