江苏省南京师范大学附属实验学校2024-2025学年高二下学期3月份月反馈数学试题（原卷版+解析版）

南京师范大学附属实验学校2024-2025学年度第二学期高二年级3月份月反馈数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上）1.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A.81种 B.64种 C.24种 D.6种2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）A. B. C. D.3.（）A.14 B.16 C.18 D.244.在平行六面体中，，记向量，，，则向量（）A B.C. D.5.若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（）A.2 B. C. D.106已知向量，，，若，，共面，则（）A.4 B.2 C.3 D.17.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.6008.如图，直三棱柱中，，点P为侧面上任意一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上）9.下列结论正确的是（）A B.C.若，则 D.10.已知空间向量，则（

）A. B.可以为空间的一组基底C. D.11.已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（）A. B.C. D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)12.已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于___________13.有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有_________种．14.如图：长方体中，,，为上一点，且，为的中点，为上动点，当时，_________．四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲不在排头，也不在排尾；（2）甲、乙、丙三人必须在一起.16.（1）已知，求n．（2）．17.已知向量.（1）求；（2）求；（3）求向量的夹角．18.如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面和夹角的余弦值.19.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．（1）证明：⊥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．

南京师范大学附属实验学校2024-2025学年度第二学期高二年级3月份月反馈数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上）1.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A.81种 B.64种 C.24种 D.6种【答案】A【解析】【分析】4名学生每人有3种报名方法，结合分步计数原理计数即可得出结果.

【详解】每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有种.

故选：A.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】点关于平面的对称点的坐标横纵坐标不变，竖坐标变为相反数.【详解】点关于平面的对称点坐标为，故选:C.3.（）A.14 B.16 C.18 D.24【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解.【详解】由排列数和组合数的公式，可得.故选：C.4.在平行六面体中，，记向量，，，则向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先得到是的中点，利用空间向量基本定理求出答案.【详解】因平行六面体钟，，所以是的中点，故.故选：C5.若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（）A.2 B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得.【详解】由直线l的方向向量，平面的一个法向量，，得，则，解得，所以实数.故选：A6.已知向量，，，若，，共面，则（）A.4 B.2 C.3 D.1【答案】D【解析】【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解.【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，即，即，解得.故选：D7.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.600【答案】C【解析】【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.【详解】将区域标号，如下图所示：因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法.故选：C.8.如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解；【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，其中，，，，，，，当，且或时，取最大值4，当，且时，取最小值2，所以的取值范围为．故选：C二、多选题（（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上）9.下列结论正确的是（）A. B.C.若，则 D.【答案】AD【解析】【分析】根据排列数与组合数的计算公式以及性质即可逐一求解.【详解】对于A，，故A正确，对于B，，故，故B错误，对于C，则或，解得或，故C错误，对于D，,故D正确，故选：AD10.已知空间向量，则（

）A. B.可以为空间的一组基底C. D.【答案】AC【解析】【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误.【详解】对于A，，故A项正确；对于B，设，即，解得，，即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误；对于C，，所以，故C项正确；对于D，，故D错误.故选：AC.11.已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据判断选项A，D；根据判断选项B；根据判断选项C.【详解】因为，所以，所以，A正确，D错误；因为，且，所以，B正确；因为，所以或者错误.故选：AB三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)12.已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于___________.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直关系，与垂直，则，可求得，得到向量，进而求模长即可．【详解】解：，，，，1，，，，，与垂直，，，解得，，，，．故答案为：.13.有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎选法有_________种．【答案】48【解析】【分析】根据分步乘法原理，先选一对双胞胎，再从剩下的三对双胞胎中选出两对，从这两对中各选一个人即可.【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择，然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择，根据乘法原理，总共有种选法.故答案为：.14.如图：长方体中，,，为上一点，且，为的中点，为上动点，当时，_________．【答案】【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法解出的值即可.【详解】长方体中以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，为上一点，且，为的中点，为上动点，所以，设，所以，又因为，所以，解得，所以，即,所以.故答案为：2.四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲不在排头，也不在排尾；（2）甲、乙、丙三人必须在一起.【答案】（1）72（2）36【解析】【分析】（1）排列问题对特殊元素要优先处理；（2）利用捆绑法处理．【小问1详解】若甲不在排头，也不在排尾，先从3个位置选一个安排甲，再对剩下的4人全排列，即排列的方法有：=72种；【小问2详解】甲、乙、丙三人必须在一起，先对甲乙丙三人全排列，再与剩下两人全排列，即排列的方法有：=36种．16.（1）已知，求n．（2）．【答案】（1）6；（2）252【解析】【分析】（1）利用组合数性质以及组合数公式和排列数公式，将化简并展开，解方程即可求得答案.（2）法一：利用组合数性质求解；法二：直接计算，求和.【详解】（1）由得，即，即，解得，或，又由知，即，故.（2）法一：.法二：原式.17.已知向量.（1）求；（2）求；（3）求向量的夹角．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；（2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解；（3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解.【小问1详解】∵，，.【小问2详解】，，则.【小问3详解】，，，则，所以向量的夹角为.18.如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面和夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）记为中点，连接，易知是平行四边形，则，利用线面平行的判定即可证结论；（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】记为中点，连接，又为棱的中点，，所以，且，即是平行四边形，所以，面，面，则面.【小问2详解】由平面，平面，所以，又，所以建立如图所示空间直角坐标系，由，，得，则，显然面的一个法向量为，且，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面和夹角的余弦值为.19.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为中点．（1）证明：⊥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设中点为O，证明平面，从而得，结合，即可证明结论；（2）建