2025年大学统计学期末考试：抽样调查方法实验设计与试题解析

2025年大学统计学期末考试：抽样调查方法实验设计与试题解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、概率与随机变量要求：本部分考查学生对概率与随机变量的理解，包括概率的基本概念、随机变量的分布类型及其性质，要求学生能够正确运用概率论的知识解决实际问题。1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求以下各事件的概率：（1）P{X=1}（2）P{X>2}（3）P{1<X≤3}（4）P{X≤5|X>1}（5）P{X=0|P{X>1}=0.6}（6）求X的分布函数F(x)。2.已知随机变量X的密度函数为：f(x)={kx^2,x∈[0,1]{0,x∉[0,1]}（1）求常数k。（2）求X的分布函数F(x)。（3）求P{X≤1/2}。（4）求X的期望E(X)。3.随机变量X~N(μ,σ^2)，求以下各事件的概率：（1）P{X≤μ+σ}（2）P{μ-σ<X<μ+2σ}（3）P{μ-2σ<X<μ}（4）求X的分布函数F(x)。（5）求X的期望E(X)。（6）求X的方差Var(X)。二、参数估计要求：本部分考查学生对参数估计的理解，包括最大似然估计和矩估计，要求学生能够运用这两种方法对参数进行估计。1.设总体X的密度函数为：f(x;θ)={θx^θ-1,x>0{0,x≤0}（1）求参数θ的最大似然估计量θ̂。（2）求参数θ的矩估计量θ̂。（3）求参数θ的矩估计量θ̂的方差。2.设总体X的分布函数为：F(x;θ)={0,x≤0{1-e^(-θx),x>0}（1）求参数θ的最大似然估计量θ̂。（2）求参数θ的矩估计量θ̂。（3）求参数θ的矩估计量θ̂的方差。3.设总体X服从参数为λ的指数分布，已知样本容量为n=10，样本数据如下：1.2,2.3,1.5,1.8,2.0,2.1,2.2,1.9,2.0,1.7（1）求参数λ的最大似然估计量λ̂。（2）求参数λ的矩估计量λ̂。（3）求参数λ的矩估计量λ̂的方差。三、假设检验要求：本部分考查学生对假设检验的理解，包括正态总体和独立样本的假设检验，要求学生能够运用这些方法进行假设检验。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，已知样本容量为n=15，样本均值x̄=10，样本方差s^2=4，显著性水平α=0.05。（1）假设μ=9，求拒绝域。（2）根据样本数据，检验假设H0：μ=9。（3）根据样本数据，检验假设H0：μ≤9。2.设两个独立样本X和Y分别来自正态分布N(μ1,σ1^2)和N(μ2,σ2^2)，已知样本容量分别为n1=10和n2=12，样本均值分别为x̄1=20和x̄2=22，样本方差分别为s1^2=9和s2^2=16，显著性水平α=0.01。（1）假设H0：μ1=μ2，求拒绝域。（2）根据样本数据，检验假设H0：μ1=μ2。（3）根据样本数据，检验假设H0：μ1≤μ2。四、回归分析要求：本部分考查学生对回归分析的理解，包括线性回归、非线性回归和回归诊断，要求学生能够运用这些方法分析数据，并解释回归结果。1.设有如下线性回归模型：y=β0+β1x1+β2x2+ε其中，x1和x2是自变量，y是因变量，ε是误差项。已知样本数据如下：|x1|x2|y||----|----|---||1|2|3||2|3|5||3|4|7||4|5|9||5|6|11|（1）求线性回归方程的系数β0、β1和β2。（2）求回归方程的残差平方和SSE。（3）求回归方程的R²值。（4）求回归方程的预测标准误差。2.设有如下非线性回归模型：y=β0+β1x1^2+ε其中，x1是自变量，y是因变量，ε是误差项。已知样本数据如下：|x1|y||----|---||1|2||2|4||3|8||4|16||5|32|（1）求非线性回归方程的系数β0和β1。（2）求非线性回归方程的残差平方和SSE。（3）求非线性回归方程的R²值。（4）求非线性回归方程的预测标准误差。五、方差分析要求：本部分考查学生对方差分析的理解，包括单因素方差分析和双因素方差分析，要求学生能够运用这些方法分析数据，并解释方差分析结果。1.设有三个独立的样本，分别来自正态分布N(μ1,σ^2)、N(μ2,σ^2)和N(μ3,σ^2)，样本容量分别为n1=10、n2=10和n3=10，样本均值分别为x̄1=20、x̄2=22和x̄3=18，样本方差分别为s1^2=9、s2^2=16和s3^2=25。（1）进行单因素方差分析，检验三个总体均值是否相等。（2）求单因素方差分析中的F统计量。（3）求单因素方差分析中的p值。2.设有两个因素A和B，每个因素有三个水平，样本数据如下：|A|B|y||---|---|---||1|1|2||1|2|4||1|3|6||2|1|3||2|2|5||2|3|7||3|1|1||3|2|3||3|3|5|（1）进行双因素方差分析，检验因素A、因素B以及A与B的交互作用对y的影响。（2）求双因素方差分析中的F统计量。（3）求双因素方差分析中的p值。六、时间序列分析要求：本部分考查学生对时间序列分析的理解，包括自回归模型、移动平均模型和季节性分解，要求学生能够运用这些方法分析时间序列数据，并预测未来值。1.设有一个时间序列数据如下：|年份|降水量||------|--------||2010|150||2011|130||2012|160||2013|120||2014|140||2015|170||2016|110||2017|180||2018|160||2019|130|（1）建立自回归模型AR(1)，求模型参数。（2）使用AR(1)模型预测2020年的降水量。（3）计算AR(1)模型的预测误差。2.设有一个时间序列数据如下：|年份|气温||------|------||2010|15||2011|16||2012|14||2013|15||2014|17||2015|16||2016|14||2017|15||2018|16||2019|15|（1）建立移动平均模型MA(2)，求模型参数。（2）使用MA(2)模型预测2020年的气温。（3）计算MA(2)模型的预测误差。3.设有一个时间序列数据如下：|季度|销售额||------|--------||1|100||2|120||3|110||4|130||1|140||2|150||3|130||4|160|（1）对时间序列数据进行季节性分解。（2）求季节性因子。（3）预测下一个季度的销售额。本次试卷答案如下：一、概率与随机变量1.（1）P{X=1}=e^(-λ)*λ^1/1!=λ/e（2）P{X>2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-e^(-λ)-λ/e（3）P{1<X≤3}=P{X=2}+P{X=3}=λ^2/e^2+λ^3/e^3（4）P{X≤5|X>1}=(P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5})/(P{X>1})=(λ^2/e^2+λ^3/e^3+λ^4/e^4+λ^5/e^5)/(1-e^(-λ))（5）P{X=0|P{X>1}=0.6}=(P{X=0})/(P{X>1})=e^(-λ)/(1-e^(-λ))=0.6（6）F(x)=P{X≤x}=e^(-λ)*(1-e^(-λx))2.（1）k=1/e^2（2）F(x)={0,x≤0{1-e^(-kx^2),x>0}（3）P{X≤1/2}=1-e^(-k(1/2)^2)=1-e^(-1/4k)（4）E(X)=∫x*f(x)dx=∫x*kx^2dx=k*∫x^3dx=k*[x^4/4]=k/43.（1）P{X≤μ+σ}=Φ((μ+σ-μ)/σ)=Φ(1)（2）P{μ-σ<X<μ+2σ}=Φ((μ+2σ-μ)/σ)-Φ((μ-σ-μ)/σ)=Φ(2)-Φ(-1)（3）P{μ-2σ<X<μ}=Φ((μ-2σ-μ)/σ)-Φ((μ-σ-μ)/σ)=Φ(-2)-Φ(-1)（4）F(x)=Φ((x-μ)/σ)（5）E(X)=μ（6）Var(X)=σ^2二、参数估计1.（1）θ̂=x̄（2）θ̂=(1/n)*Σx_i（3）Var(θ̂)=σ^2/n2.（1）θ̂=x̄（2）θ̂=(1/n)*Σx_i（3）Var(θ̂)=σ^2/n3.（1）λ̂=1/Σx_i/n（2）λ̂=1/Σx_i/n（3）Var(λ̂)=σ^2/n^2三、假设检验1.（1）拒绝域：|z|>z_α/2，其中z=(x̄-μ)/(s/√n)，z_α/2是标准正态分布的临界值。（2）检验统计量：z=(10-9)/(2/√15)=0.79（3）检验统计量：z=(10-9)/(2/√15)=0.792.（1）拒绝域：|t|>t_α/2,ν，其中t=(x̄1-x̄2)/√(s1^2/n1+s2^2/n2)，t_α/2,ν是t分布的临界值。（2）检验统计量：t=(20-22)/√(9/10+16/12)=-1.63（3）检验统计量：t=(20-22)/√(9/10+16/12)=-1.63四、回归分析1.（1）β0=1,β1=1,β2=1（2）SSE=Σ(y_i-ŷ_i)^2=(3-3)^2+(5-4)^2+(7-5)^2+(9-6)^2+(11-7)^2=8（3）R²=1-SSE/SST=1-8/20=0.6（4）预测标准误差=√(SSE/n-(β1^2+β2^2)*Var(x1)*Var(x2))=√(8/5-1^2*1^2*1^2)=1.092.（1）β0=1,β1=1（2）SSE=Σ(y_i-ŷ_i)^2=(2-2)^2+(4-4)^2+(8-8)^2+(16-16)^2+(32-32)^2=0（3）R²=1-SSE/SST=1-0/20=1（4）预测标准误差=√(SSE/n-(β1^2+β2^2)*Var(x1)*Var(x2))=√(0/5-1^2*1^2*1^2)=0五、方差分析1.（1）进行单因素方差分析，检验三个总体均值是否相等。（2）F统计量=(SStotal-SSbetween)/SSbetween/(n-1)=(9+16+25-9)/9/8=3.75（3）p值=P{F>3.75}，根据F分布表查得p值。2.（1）进行双因素方差分析，检验因素A、因素B以及A与B的交互作用对y的影响。（2）F统计量=(SStotal-SSbetweenA-SSbetweenB-SSinteraction)/(SSbetweenA+SSbetweenB+SSinteraction)/(k-1)=(9+16+25-9-1