2024年山东省泰安市中考数学模拟试卷附答案解析

2024年山东省泰安市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求.）

1.I-5|的倒数是（）

11

A.-B.一/C.5D.-5

5，

2.计算（/）2・〃3的结果是（）

A.“8B.c.«10D.ail

3.某种零件模型如图，该几何体（空心圆柱）的俯视图是（）

0

4.如图，Z\A8c的外角NAC。的平分线CP与内角NA8C的平分线期交于点P,若NBPC

=40°,则NC4P=（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

5.某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中

位数分别是（）

6.某工程需要在规定日照内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单

独做，则超过规定FI期3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规

定日期完成，求规定日期.如果设规定日期为X天，下面所列方程中错误的是（）

2x23

A.一+----=1B.-=——

xx+3XX+3

11-21X

C.（一+—）乂2+x息=1D.-+——=1

xx+3x+3xx+3

7.如图，函数尸--2什1和），-a是常数，且aWO）在同一平面直角坐标系的图

围是（）

A.2VZ?W3B.3V/运4C.2W3V3D.3W〃V4

9.如图，点/为8c的内心，连接A/并延长，交△/WC的外接圆于点。，点E为弦AC

的中点，连接CO,EhIC,当A/=2CQ,1C=6,/O=5时，/£的长为（）

A.5B.4.5C.4D.3.5

10.一元二次方程一#+〃+12=-*+15根的情况是（）

A.有一个正根，一个负根B.有两个正根，且有一根大于9小于12

C.有两个正根，且都小于12D.有两个正根，且有一根大于12

11.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，^ABC

经过平移后得到△4打。1,若AC上一点尸（1.2,1.4）平移后对应点为P,点Pi绕原

点顺时针旋转180°,对应点为尸2,则点P2的坐标为（）

B.(-2.8,-3.6)

C.(3.8,2.6)D.(-3.8,-2.6)

12.如图，NAO8=30°，点M、N分别在边04、OB上,且0M=3,0N=5,点P、Q

分别在边08、04上，则MP+PQ+QN的最小值是（)

C.V34-2D.V35-2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上.）

13.地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为14X1（）18立方千米，地球的体积约是

太阳体积的倍数是（用科学记数法表示，保留2位有效数字）

14.△ABC中，N8AC=90°,AB=3,AC=4,点。是8C的中点，将△A8。沿AQ翻折

得到△AED连CE,则线段CE的长等于

15.如图，将半径为2,圆心角为120°的扇形。人8绕点人逆时针旋转60°,点0,8的

对应点分别为O',B,连接8次，则图中阴影部分的面积是

16.观察下列图形规律，当图形中的“O”的个数和“.”个数差为2022时，〃的值为

17.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔48的高度，他

从古塔底部点B处前行30/H到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20加到达

最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为3（T,已知斜坡的斜面坡度i=1：73,

且点4,B,C,D,E在同一平面内，小明同学测得古塔48的高度是.

18.如图，在正方形/WCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交。后于

点、P.^AE=AP=\,04=花.下列结论：

①石B；②点B到直线AE的距离为加；③EB±ED；④S"PD+S△人PB=1+布；

⑤S正方影4867）=4+e•

其中正确结论的序号是.

三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）

19.（10分）（1）若单项式W34与单项式一亲,3〃厂即是一多项式中的同类项，求叭〃

的值；

X1-1

（2）先化简，再求值：（----+----）4-,其中4=或一1.

x+1x-1xz2-l

20.（9分）如图，反比例函数），=?的图象与一次函数），=履+〃的图象交于4,B两点，点

A的坐标为（2,6）,点B的坐标为（小I）.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）点E为），轴上一个动点，若SMEB=5,求点£的坐标.

21.（11分）某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分

100分）.为了解学生充党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测

试成绩，进行统计、分析，过程如下：

收集数据：

七年级：8688959010095959993100

八年级：100989889879895909089

整理数据：

成绩工（分）85<xW9090VxW9595VE00

年级

七年级343

八年级5ab

分析数据：

统计量平均数中位数众数

年级

七年级94.195d

八年级93.4C98

应用数据：

（1）填空：a=，b=,c=,d=；

（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；

（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七

年级2名.现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员.请用画树状图

或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率.

22.(11分)某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电脑

12台，8种平板电脑3台；也可以用9000元购进A种平板电脑6台，8种平板电脑6台.

(1)求A、8两种平板电脑的进价分别为多少元？

(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进•批两种规格的平板

电脑，已知A型平板电脑售价为7()0元/台，5型平板电脑售价为130()元/台.根据销售

经验，八型平板电脑不少于8型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍.假

设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

23.(12分)正方形A8CD中，。为48边上任一点，AE_LOP于E,点尸在OP的延长线

上，且DE=EF,连接AF、BF,NBA”的平分线交D”于G,连接GC.

(1)求证：AAEG是等腰直角三角形；

(2)求证：AG+CG=x/2DG：

(3)若4B=2,P为AB的中点，求85的长.

24.（12分）如图，抛物线），=〃M+3〃L.2〃?+1的图象经过点C,交x轴于点A（xi,0）,B

（必0）（点A在点8左侧），且mi=5,连接8C,。是AC上方的抛物线一点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接8CCD,SWE：S^CE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点

。的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）第二象限内抛物线上是否存在一点。尸垂直人。于点凡使得△OC尸中有一个

锐角等于NBAC的两倍？若存在，求点。的横坐标，若不存在，请说明理由.

图1图2

25.（13分）如图，四边形4BCZ）中，AB=AD=CD,以AB为直径的。。经过点C,连接

AC、。。交于点E.

（1）证明：0Q〃8C；

（2）若tanNA8C=2,证明：DA与。0相切；

（3）在（2）条件下，连接4。交于点P,连接ER若BC=1，求取的长.

2024年山东省泰安市中考数学模拟试卷

分，共48分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求.）

1.|-5|的倒数是（）

A.-B.—F

55

V|-51=5,5的倒数是"

・•・|-5|的倒数是看.

故选：A.

2.计算（/）2・〃3的结果是（）

A..8B.j

解：原式=。3'2・43=0«）+3=49；故选从

3.某种零件模型如图，该几何体（空心圆柱）

解：由上向下看空心圆柱，看到的是一个圆环，中间的圆要画成实线.

故选：D.

4.如图，ZUBC的外角NAC。的平分线CP与内角NABC的平:分线8P交于点P,若NBPC

=40°,则NCAP=（）

解：延长8A,作PN上BD,PFA.BA,PM±AC,

设NPCZ)=x°,

TCP平分NACO,

/.ZACP=ZPCD=x°,PM=PN,

尸平分N48C,

:・NABP=NPBC,PF=PN,

:,PF=PM,

•••NBPC=40°,

：•4ABP=4PBC=/PCD-4BPC=(x-40)°,

/.ZBAC=ZACD-ZABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,

：.ZCAF=\00°,

在RtAPM和RtAPMA中，

(PA=PA

[PM=PF'

/.RtAPM^RtAPMA(HL),

AZMP=ZMC=50°.

故选：C.

5.某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中

A.15.5,15.5B.15.5,15C.15,15.5D.15,15

解：根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：

13X2+14X6+15X8+16X3+17X2+18X1

=15（岁）,

2+6+8+3+2+1

该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22（人）,

则笫11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁,

故选：D.

6.某工程需要在规定FI用内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成：如果乙工程队单

独做，则超过规定□期3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规

定日期完成，求规定日期.如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（）

2x23

A.一+——=1B.

xx+3xx+3

11x-21x

C.（-+—）X2+*=lD.-4----=1

xx+3x+3xx+3

解：设规定口期为x天,

11

由题意可得，（一+—）X2+=4=l,

Xx+3x+3

2x223

整理得一+=1»或一=1-rTZK或-=

xx+3x%+3Xx+3

则4、B、C选项均正确，错误的为选项D

故选：D.

7.如图，函数产ad-2什1和尸依是常数，且。工0）在同一平面直角坐标系的图

该开口向下，故选项错误：

B、由一次函数），=依的图象可得：a＞0,此时二次函数y=ad-2x+l的图象应该开

□向上，对称轴工=一言＞0,故选项正确；

C、由一次函数y=a1a的图象可得：心0,此时二次函数y=ad-2]+1的图象应该开

口向上，对称轴x=-0X）,和x轴的正半轴相交，故选项错误：

JCX

。、由一次函数a的图象可得：。＞0,此时二次函数），=--2%+1的图象应该开

□向上，故选项错误.

故选：B.

3—CL1

8.已知方程--4=4,且关于x的不等式aVxW人只有4个整数解，那么〃的取值范

a-4"Q

围是（）

A.2VgB.3Vb<4C.2WbV3D.3^b<4

解：分式方程去分母得：3-a-『+4a=-l,即f-34-4=0,

分解因式得：（a-4）（〃+1）=0,

解得：a=-1或a=4,

经检验〃=4是增根，分式方程的解为。=-1,

当4=-1H寸，由a<x^b只有4个整数解，得到3刈<4.

故选：D.

9.如图，点/为△A8C的内心，连接A/并延长，交△ABC的外接圆十点。，点E为弦AC

的中点，连接CQ,£/.1C,当A/=2CO,/C=6,/0=5时，的长为（）

A.5B.4.5C.4D.3.5

解：延长〃，到M,使DM=/D,连接CM.

2/是△ABC的内心,

；・N/AC=N/AB,NICA=NICB,

•・・NO/C=N/AC+N/C4,ZDCI=ZBCD+ZICB,

：.4DIC=/DCI,

\DI=DC=DM.

・・・N/CM=90°,

CM=>JlM2-IC2=8,

VA/=2CD=10,

,：AE=EC,

・・・/E是△ACM的中位线,

/./E=|cA/=4,

故选：C.

10.一元二次方程-#+2x+12=一菱+15根的情况是（）

A.有一个正根,一个负根

B.有两个正根,且有一根大于9小于12

C.有两个正根,且都小于12

D.有两个正根,且有一根大于12

解:

由题意函数y=—32+〃+12,与y交于点（0,12）与x轴交于（-4,0）（12,0）

函数）=一*+15,与〉:交于点（0,15）与x轴交于（12,0）

因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0,且有一根

大于12

故选：D.

11.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，具中每个小正方形的边长均为1，AA8C

经过平移后得到△AIBI。，若4c上一点P（1.2,1.4）平移后对应点为点Pi绕原

点顺时针旋转180°,对应点为尸2,则点P2的坐标为（)

B.(-2.8,-3.6)

C.(3.8,2.6)D.(-3.8,-2.6)

解：由题意将点P向下平移5个单位，冉向左平移4个单位得到Pi,

VP(1.2,1.4),

/.Pl(-2.8,-3.6),

〈Pl与P2关于原点对称,

・•・巴(2.8,3.6),

故选：A.

12.如图，NAOB=30°,点M、N分别在边Q4、OB上,且OM=3,ON=5,点P、Q

分别在边08、OA±,则MP+PQ+QN的最小值是（）

C.V34-2D.V35-2

解：作M关于的对称点M',作N关于OA的末称点N',如图所示:

连接M'N',即为MP+PQ+QN的最小值.

根据轴对称的定义可知：NN'OQ=ZMf08=30°,ZONN'=60°,

•••△ONN'为等边三角形，AOMM'为等边三角形，

AZN(OM'=90°,OM'=OM=3,ON'=ON=5,

在Rt^M'ON'中，

M'N'=VS2+32=A/34.

故选：A.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上.)

13.地球的体积约为10%立方千米，太阳的体积约为1.4X1()18立方千米，地球的体积约是

太阳体积的倍数是7.1X10丁(用科学记数法表示，保留2位有效数字)

解：・・•地球的体积约为10葭立方千米，太阳的体积约为1.4X1018立方千米，

；・地球的体积约是太花体积的倍数是：IO.。(1.4XK)18)^7.1X10'7.

故答案是:7.1X10'7.

14.AABC中,NB4C=90°,AB=3,AC=4,点。是BC的中点，将△A8D沿4。翻折

7

得到△AED.连CE,则线段CE的长等于一.

一51

解：如图连接BE■交AD于O,作于H.

在RtZ\4BC中，VAC=4,AB=3,

:・BC=V324-42=5,

,:CD=DB,

：,AD=DC=DB=^,

11

■:—BC・AH=

22

•.•A3H--1g2-,

•：AE=AB,DE=DB=DC,

.二A。垂直平分线段△8C*是直角二角形,

11

＜一・AD・BO=g・BD・AH,

22

12

：.OB=W，

24

:,BE=20B=g,

在RNCE中，EC='JBC2-BE2=

7

故答案为：

o

15.如图，将半径为2,圆心角为120°的扇形OA8绕点A逆时针旋转60°,点O,8的

对应点分别为O',B，连接6夕，则图中阴影部分的面积是，8-竽

解：连接。0',B0',

•・•将半径为2,圆心角为120°的扇形OA8绕点A逆时针旋转60°,

：.ZOAOf=60°,

是等边三角形，

AZAOOr=60°,OO'=OA,

・••当o'中oo上，

•••/4OB=120°,

••・NO'08=60°,

8是等边三角形，

AZAO'8=120’，

VZAO'B'=120°,

：.ZB'O'4=120°，

：,/O'B'B=ZO'RB'=30°,

2

*,•图中阴影部分的面积=S△距OB~S用形。OB=x2X2V3------QTH—=2^3—

LOOUO

故答案为2V5一条

16.观察下列图形规律，当图形中的“O”的个数和“.”个数差为2022时，n的值为不

存在.

解：・・・〃=1时，”的个数是3=3X1；

〃=2时，”的个数是6=3X2；

〃=3时，"v的个数是9=3X3；

〃=4时，"V的个数是12=3X4；

・•・第〃个图形中“的个数是3〃；

又・・・〃=1时，“O”的个数是l=ix（；+D；

〃=2时，“O”的个数是3=2x（空）,

〃=3时，“O”的个数是6=3X（T）,

〃=4时，“O”的个数是］（）=4x（；+l）

・・・・・・,

・•・第〃个“。”的个数是吗工，

由图形中的“O”的个数和个数差为2022,

・・・3TI-D=2022①，-3n=2022②,

/2

解①得：无解,

初e纪5+V162015-V16201

解②得：％=----2----，n2----2-----

故答案为：不存在.

17.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他

从古塔底部点B处前行38??到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达

最佳测量点。处，在点。处测得塔顶A的仰角为30°,已知斜坡的斜面坡度i=l：x/3,

且点A,B,C,D,E在同一平面内，小明同学测得古塔A6的高度是(20+105〃〕.

#

二

3-O0#

-..

E一

C3

解：过。作。r_L8C7"，DHLAB于H,

:,DH=BF,BH=DF,

•・•斜坡的斜面坡度/•=1：V3,

设DF=xin,CF=y/3xm,

ACD=VDF2+CF2=2x=20(/〃)，

/•x=10,

；・BH=DF=10m,CF=1OA/3/77,

：.DH=BF=(1075+30)m,

VZADH=300,

・・・八"=坐。”=坐x(1OV3+30)-(10+10V3)次,

：.AB=AH+BH=(20+10V3)m,

答：古塔AB的高度是(20+106)m,

故答案为：(20+106)m.

18.如图，在正方形ABC。外取一点E,连接AE、BE、DE.过点4作4E的垂线交。石于

点、P.若AE=A尸=1,PB=V5.下列结论：

①△AP。空△AE8；②点B到直线AE的距离为心；③EB工ED；®SMPD+SMPB=\+\f6；

⑤S正方形八&7)=4+份・

：.ZEAB=ZPAD,

5^'：AE=AP,Ali=AD,

•・,在△APO和△AE8中,

AE=AP

Z.EAB=4PAD,

AB=AD

:.XAPD9MAEB(SAS)；

故此选项成立：

©V△APO名△AE6,

ZAPD=NAEB,

VZAEB=ZAEP+ZBEP,ZAPD=ZAEP+ZPAE,

：.^BEP=ZPAE=W,

：.EBLED；

故此选项成立；

②过B作BFA.AE,交AE的延长线于A,

\'AE=APtNE4P=9D°,

：,ZAEP=ZAPE=45a,

又•：③中EBLED,BF1AF,

：・/FEB=/FBE=45',

又•・•BE=y/BP2-PE2=V5^2=V3,

:,BF=EF=坐，

故此选项不正确；

④如图，连接8。，在RtZXAEP中，

•：AE=AP=\f

：,EP=V2,

又,：PB=场,

BE=V3,

,/△APD9XAEB,

：.PD=BE=V3,

SdABP+S^ADP=S^ABD-S&BDP=正方形ABCD-|XDPXBE=1x（4+遍）x百x

V3=1+f.

故此选项不正确.

@'：EF=BF=^,AE=\,

・••在/中，AB2=(AE+EF)2+B产=4+乃，

:・S正方形八8。=4屏=4+返，

故此选项正确.

故答案为：①③⑤.

AD

P

三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）

19.（10分）（1）若单项式.即R4与单项式一分3y3〃厂即是一多项式中的同类项，求叽〃

的值；

X11

（2）先化简，再求值：（=+[■）+心，其中-

x+1x-1xz-l

解：⑴由题意可得卜1一〃二3①

13m-8n=14@

②-①X3,可得：-5/2=5,

解得：〃=-1,

把〃=-I代入①，可得：（-I）=3,

解得：〃?=2,

・•」〃的值为2,〃的值为-1；

(2)原式=[r（x+i）（x-i）

(x+l)(x-l)

x2-x+x+l

・(

=(X+l)(X-l)x+l)(x-1)

当户企-1时，

原式=(V2-1)2+l=2-272+1+1=4-2V2.

20.（9分）如图，反比例函数），=?的图象与一次函数），=h+〃的图象交于A,3两点，点

A的坐标为（2,6）,点8的坐标为（〃，1）.

（1）求反比例函数与次函数的表达式：

（2）点E为y轴上一个动点，若SMEB=5,求点E的坐标.

解：（1）把点A（2,6）代入），=£,得加=12,

则尸T,

17

把点B（〃，1）代入y=彳~,得/?=12,

人

则点B的坐标为（12,1）.

由直线丁=丘+6过点A（2,6）,点3（12,1）得｛;U；[6]

解得次=-2,

b=7

则所求一次函数的表达式为），=-%+7.

（2）如图，直线48与），轴的交点为P,设点E的坐标为（0,,连接AE,BE,

则点P的坐标为（0,7）.

：.PE=\m-l\.

*：S&EB=S.BEP-SMEP=5,

1

r.-x|w-7|X（z12-2）=5.

2

/.|m-7|=l.

i=6,m2=8•

・••点E的坐标为＜0,6）或（0,8）.

21.UI分）某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分

100分）.为了解学生走党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测

试成绩，进行统计、分析，过程如下：

收集数据：

七年级：8688959010095959993100

八年级：100989889879895909089

整理数据：

成绩%（分）85VxW90904W9595<x<100

年级

七年级343

八年级5ab

分析数据：

统计量平均数中位数众数

年级

七年级94.195d

八年级93.4C98

应用数据：

（1）填空：a=I,b=4,c=92.5,d=95；

（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；

（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七

年级2名.现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员.请用画树状图

或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率.

解：（1）a=\,b=4,

八年级成绩按由小到大排列为:87,89,89,90,90,95,98,98,98,100,

所以八年级成绩的中位数c="史=92.5,

七年级成绩中95出现的次数最多，则d=95：

故答案为I,4,92.5,95；

4

（2）200x^=80,

估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人;

(3)画树状图为:

开始

八八七七八八七七八八七七八八八七八八八七

共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结昊数为8,

所以抽到同年级学生的概率=4=|.

22.(II分)某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电脑

12台，8种平板电脑3台：也可以用9000元购进A种平板电脑6台，8种平板电脑6台.

(1)求A、3两种平板电脑的进价分别为多少元？

(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购讲一批两种热格的平板

电脑，已知人型平板电脑售价为700元/台，8型平板电脑售价为1300元/台.根据销售

经验，4型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过8型平板电脑的2.8倍.假

设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

解：(1)设A、8两种平板电脑的进价分别为4元、y元.由题意得，

[12%+3y=9000解汨仔=500

(6x+6y=9000，解付(y=1000'

答：A、8两种平板电脑的进价分别为500元、1000元；

(2)设商店准备购进8种平板电脑.台,则购进A种平板电脑陋产台

30000-1000a

2a<

由题意,得500

30000-1000(?

<2.8a

500

解得I2.5W〃W15,

Ta为整数，.・・。=13或14或15.

30000-1000a

设总利润为卬，则：w=(700-500)x+(1300-1000)〃=-100«+12000,

500

:-100V0,・・・w随a的增大而减小,

30000-1000X13

・•・为使利润最大，该商城应购进B种平板电脑13台那种平板电脑---------------------=34

500

台.

23.(12分)正方形4BCD中，P为AB边上任一点，A£_LOP于E,点尸在DP的延长线

上，且O£=EF,连接AF、BF,NB4/的平分线交D/于G,连接GC.

(1)求证：4AEG是等腰直角三角形：

(2)求证：AG+CG=\[2DG；

(3)若45=2,。为八4的中点，求8『的长.

(1)证明：如图I,•:DE=EF,AEA,DP,

：.AF=AD,

/.NAFD=ZADF,

VZADF+ZDAE=ZPAE+ZDAE=9QQ,

/.ZAFD=ZPAE,

TAG平分NZMF,

AZMG=ZGAP.

VZ4FD+ZME=90°,

/.ZAFD+ZB4E+ZMP=90°

・・・2NG4P+2N%E=90°,

即NG4E=45°,

・•・△AGE为等腰直角三角形：

(2)证明：如图2,作C〃_LOP,交DP于H点,

：.ZDHC=90°.

VAE1DP,

：.ZAED=90°,

/.ZAED=ZDHC.

VZADE+ZCDH=W,NCDH+NDCH=900,

NADE=/DCH.

•・•在AAOE和△OC”中,

(/.AED=乙DHC

l^ADE=ADCHr

(AD=DC

/.AADE^ADCH(AAS),

:.CH=DE,DH=AE=EG.

:・EH+EG=EH+HD,

即GH=ED,

：.GH=CH.

:,CG=V2GH.

VAG=立EG,

・・・AG=V2DH,

：,CG+AG=叵GH+yfiHD.

：,CG+AG=V2(GH+HD),

即CG+AG=&DG：

(3)如图3,延长。F,与C8交于点K,

TP是A8的中点，

：.AP=BP=l.

•・•四边形48co是正方形，

：,AD=AB=BC=CD,ZDAB=ZABC=^ABK=W.

•・•在△4。尸和△8KP中

(/.DAB=乙KBP

<AP=BP,

LAPD=乙BPK

:•△ADPMWKP(ASA),

:・AD=KB=BC=2.

在R【Z\AOP中由勾股定理，得

PD=低

：.y/5AE=PA*ADf

・“_2店八〜,4行

••AE-—~,DE——,

•,•£G=等,DF=噜,

.”2/5

在RtZXKCO中，由勾段定理，得

KD=2y/5,

・,・心=等

:.KF=FG,

•:KB=BC,

:,FB〃CG,BF=CG,

:.BF=^y[2CH=导DE=

B

图3

24.（12分）如图，抛物线），=〃M+3〃L.2〃?+1的图象经过点C,交x轴于点A（xi,0）,B

（必0）（点A在点8左侧），且4-箱=5,连接8C,。是AC上方的抛物线一点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接8C,CD,SgCE：S^CE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点

。的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）第二象限内抛物线上是否存在一点。尸垂直人。于点F,使得△QC尸中有一个

锐角等于NBAC的两倍？若存在，求点。的横坐标，若不存在，请说明理由.

Axl»X2是方程nv?+3mx-2in+1=0的两根,

-2m+l

/.Xl+X2=-3,

XI*.V2=?n

X2-xi=5,

(x2-Xi)?=25.

即：(x2+%i)2-4xiF=25,

,\9-4x~2m+1=25.

m

解得：〃?=-1.

・•・抛物线的解析式为产一"—|x+2.

4

(2)S^DCE:S,WCE存在最大值此时点。的坐标为(-2,3),理由:

1?

令)，=0,贝|「一)无2-24+2=(),

解得：x=-4或I,

(-4,0),B(1,0),

令x=0,则y=2,

AC(0,2).

设直线AC的解析式为)，=h+儿

.(—4k+8=0

F=2，

解得：卜=4，

业=2

，直线AC的解析式为尸1A+2.

过点。作轴于点“，交AC于点M,过点B作BN_Lx轴于点8,交直线4c于点

:•丛EDMs^EBN,

•DEDM

''BE~BN'

1Q1

设。(a,--^ai2—5«+2),则M(。，一。+2),

222

io11

DM=(—5Q?—5«+2)-(-a+2)=-5a2—2a.

2222

当x=1时，y=x1+2=2»

5

:・N(I,-).

2

:.BN=&.

•・•等高的三角形的面积比等于底的比，

,ccDEDM

•・S&DCE:dAfiCE=而=瓯.

12

-a-2a44

222+

Q铲-

55

/.SADCE:SA8CE=2

4

・••当〃=-2时-，SADCE：S/4C£有最大值为3此时点0(-2,3)；

(3)第二象限内抛物线上存在一点D,Z)尸垂直AC于点F,使得△OCF中有一个锐角

等于N84C的两倍，点。的横坐标为-2或一雪，理由：

VA(-4,0),B(1,0),C(0,2),

・・・OA=4,OB=\,0c=2,

・・・AC=>]0A24-0C2=26BC=>/OB2+OC2=V5.AB=OA+OB=5.

,：AC1+BC1=25=AB2,

•••△A3C为直角三角形，ZACB=9(r.

取人8的中点P,连接OP,

则P(/,0),

：.0P=j.

：,PA=PB=PC=^,

:.NBAC=NPCA.

*：NCPB=ZBAC+ZPCA,

:・/CPB=2NBAC.

过点。作Z)R_L)，轴于点/?,延长交4c于点G,如图，

y

①当NQCF=2NZMC时,

1313

设0z-2--2-

〃

«-nI-八-

x22则DR=-m22

1q

：.CR=OR-0C=-^m2-如.

叩轴，轴，

：.DR//AB,

・・・NG=N8AC.

•：ZDCF=ZG+ZCDG