2024年山东省济南市长清区十校联盟中考数学模拟试卷附答案解析

2024年山东省济南市长清区十校联盟中考数学模拟试卷

一.选择题（40分）

1.（4分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）

2.（4分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区

覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（）

A.45X108B.4.5X109C.4.5X108D.4.5X1O10

3.（4分）数学中处处存在着美，从三国时期的赵爽弦图，到19世纪的莱洛三角形，再到近代的科克曲线

和谢尔宾斯基三角形，这种特殊的数学之美，令人沉述.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称

莱洛三角形

4.（4分）实数小方在数轴上对应点的位置如图所示，下列结沦正确的是（）

-3-2-10123

A.ub>0B.a+b>0C.\a\<\b\D.a+\<b+\

5.（4分）如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得N2=58°,则N1的度数为

A.22°B.32°C.42°D.62°

6.（4分）小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动

三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（）

122

A.-B.-D.

339

7.（4分）一次函数），=or+〃与反比例函数,，=芋（〃，〃为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可

8.（4分）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹

簧测力计的示数尸拉力（N）与石块下降的高度大（cw）之间的关系如图所示.（温馨提示：当石块位于

水面上方时，尸拉力=G电力，当石块入水后，F拄力=C型力-F浮力.）则以下说法正确的是（）

A.当石块下降时，此时石块在水里

B.当6WxW10时，F拉力（N）与x（切?）之间的函数表达式为“拉力=竟+学

o4

C.石块下降高度8c机时，此时石块所受浮力是1N

22

D.当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底可cm

9.（4分）如图，在△ABC中，NA6C=90°,ZC=30°,以点A为圆心，以A4的长为半径作弧交A3

于点。，连接B。，再分别以点8,。为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P,两弧交于点

P，作射线AP交6c于点E,连接DE,则下列结论中不正确的是（)

A

A.BE=DEB.D£垂直T分线段AC

C.S'EDC=—D.BD1=BC*BE

S^ABC3

10.（4分）已知抛物线P：），=7+4a”3（a>0）,将抛物线尸绕原点旋转180°得到抛物线P',当iWx

W3时，在抛物线P'上任取一点M,设点M的纵坐标为/,若fW3,则a的取值范围是（）

13133

A.0<a<^B.0<a<^C.~^a<-D.a>

二.填空题

11.（4分）因式分解：〃尸+2〃?+1=.

12.（4分）关于工的一元二次方程/-4x+c=0没有实数根，则c的值可以是（写出一

个即可）.

13,（4分）代数式丁三与代数式三的值相等，则工=_______.

2x-lx

14.（4分）一个小球在如图所示的矩形地砖上任意滚动，并随机停留在某块地病上.每块地成的大小、质

地完全相同，其中在矩形43co中，5c=4,CQ=2,以4。为直径的半圆。与3c相切于点E,连接

BD,则那么该小球停留在阴影区域的概率是.（结果保留TT）

15.（4分）澄波湖公园有一条笔直的健身跑道，每天有很多市民在此晨练，成为济阳区一道舰丽的风景.每

天早晨小红与父亲匀速跑步，已知父女俩起点、终点均相同，起点与终点间的距离为600处约定先到

终点的原地休息等待另一个人.已知小红先出发20s,如图两人之间的距离），（〃?）与父亲出发的时间x

（5）的函数关系如图所示，父女两人之间的距离为80〃?时，父亲出发的时间x为s.

地而B

21.（8分）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽

取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间/（单位：分钟）进行调查.将调查数据进行整

理后分为五组:A组“0V/W45"；8组“45VK60”；C组“60VW75”；。组“75<，W90"；E组一

>90现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次调查的样本容量是，请补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是°,本次调查数据的中位数落在

组内；

（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多

少人？

22.（8分）如图，。。是△ABC的外接圆，4。是OO的直径，尸是AO延长线上一点，连接C。，。凡

且NOC尸=NC4O.

（1）求证：是。。的切线；

（2）若4。=10,COSB=3求。的长.

c

F

23.w（10分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能

够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后

用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：

（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？

（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克

20元，节后每T•克16元全部售出，那么该商场节前购进多少「克A粽子获得利润最大？最大利润是多

少？

24.（10分）如图1,木匠陈师傅现有一块五边形人木板，它是矩形人8CO木板用去△CE/7后的余

料，AD=4,AB=5,DE=\,”是BC边上一点.陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条

边在A。上.

［初步探究］

（1）当8尸=2时.

①若截取的矩形有一边是DE,则截取的矩形面积的最大值是：

②若截取的矩形有一边是RF,则截取的矩形面积的最大值是:

［问题解决］

（2）如图2,陈师傅还有另一块余料，ZBAF=ZAFE=90°,AB=EF=\,CO=3,A尸=8,CD//AF,

且C。和AF之间的距离为4,若以4/所在直线为x轴，AF中点为原点构建宜角坐标系，则曲线OE

是反比例函数）=［图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNG”材料，其中一条边在AF

73

上，所截矩形MNG”材料面积是求GN的长.

6

25.（12分）已知抛物线产-，+云+C与x轴交于4,B两点，与），轴交于点C（0,4）,其对称轴为x=

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1,点D是线段0C上的一动点，连接AD,BD,将△AB。沿直线AD翻折，得到AAB'。，

当点8恰好落在抛物线的对称轴上时，求点。的坐标；

（3）如图2,动点P在直线AC上方的抛物线上，过点尸作直线AC的垂线，分别交直线AC,线段4c

于点七，”，过点“作"G_Lx地，垂足为G,求FG+V2”的最大值.

图1图2

26.（12分）（1）问题发现：如图1,矩形4EFG与矩形A8C。相似，且矩形AEFG的两边分别在矩形ABC。

的边A3和A。上BC：AB=1：百，连接C立线段。/与06的数量关系为：

（2）拓展探究：如图2,将矩形AEFG绕点A逆时针旋转，其它条件不变.在旋转的过程中，（1）中

的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理.

（3）解决问题；当矩形A4CO的边从。=48时，点？为直线C。上异于。，C的一点，以AK为边作

正方形AEFG,点，为正方形AEFG的中心，连接QH,若A/）=4,DE=2,直接写出。H的长.

2024年山东省济南市长清区十校联盟中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一,选择题（40分）

1.（4分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）

【解答】解：4、的主视图是圆，故A符合题意:

B、的主视图是矩形，故8不符合题意；

C、的主视图是三角形，故C不符合题意；

。、的主视图是正方形，故。不符合题意；

故选：A.

2.（4分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区

覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（）

A.45XIO8B.4.5XIO9C.4.5X108D.4.5X1O10

【解答】解：4500000000=4.5X109.

故选：B.

3.（4分）数学中处处存在若美，从三国时期的赵爽弦图，到19世纪的莱洛三角形，再到近代的科克曲线

和谢尔宾斯基三角形，这种特殊的数学之美，令人沉述.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称

莱洛三角形

谢尔宾斯基三角形

【解答】解：4该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意;

B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

c.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意;

D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：C.

4.（4分）实数小人在数轴上对应点的位置如图所示，下列结沦正确的是（）

।g1।।2।।।»

-3-2-10123

A.ub>（）B.u+b>0C.|u|<|/?|D.«+!</?+1

【解答】解：A选项，・・ZV0,b>0,

，出Y0,故该选项不符合题意；

B选项，Vfl<0,b>0,|。|>|加，

•\a+b<0,故该选项不符合题意：

C选项，间>|臼，故该选项不符合题意；

。选项，Va<b,

At/+!</?+1,故该选项符合题意；

故选：D.

5.（4分）如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得N2=58°,则N1的度数为

（）

A.22°B.32°C.42°D.62°

【解答】解：•・•矩形直尺对边平行，

・・・N3=/2=58°,

AZ1=90°-58°=32°.

故选：B.

2

AB

6.（4分）小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动

三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（）

1212

A.-B.-C.一D.-

3399

【解答】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、8、C,

画树状图如下:

小冰BC

/T\

小雪ABC

共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有I种,

・・・小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为点

故选：C.

7.（4分）一次函数），=〃计〃与反比例函数（小人为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可

【解答】解：4、一次函数）=如+〃的图象经过第一、二、三象限,则。>0,b>0,所以而>0,则反

比例v=?应该位于第一、三象限，故本选项不可能;

则反比例产号应

B、一次函数的图象经过第一、二、四象限,则aVO,b>0,所以而<0,

该位于第二、四象限，故本选项不可能;

则反比例产学应

C、一次函数>=加+〃的图象经过笫一、三、四象限,则〃>0,b<0,所以abVO,

该位于第二、四象限，故本选项不可能;

D、一次函数尸ai+0的图象经过第一、二、四象限，则〃<0,b>0,所以他<0,则反比例尸皆应

该位于第二、四象限，故本选项有可能；

故选：D.

8.（4分）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹

簧测力计的示数尸拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示.（温馨提示：当石块位于

水面上方时，尸拉力一G甫力，当石块入水后，F枚力一C尊力-F字力.）则以下说法正确的是（）

01246810121416^/cm

A.当石块下降3c〃?时，此时石块在水里

3

-X+245

B.当6WxW10时，尸拉力（N）与％（cm）之间的函数表达式为广拉力=8

C.石块下降高度85?时，此时石块所受浮力是1N

22

D.当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底二cm

【解答】解：A、由图得，当石块下降3s?时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意;

B、设尸=履+江代入（6,4）（10,2.5）,得尸=一3+竽，故B不符合题意：

33

得

尸4-

25=13下143-

C、将x=8代入/=4,4故。不符合题意;

■8A

D、将尸=3代入户=一奈什易得产多16-学=等故。符合题意；

故选：D.

9.（4分）如图，在△ABC中，乙48c=90°,ZC=30°,以点4为圆心，以48的长为半径作弧交A8

1

于点D，连接8D,再分别以点8,。为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P,两弧交于点

尸，作射线4。交8c于点E,连接。E,则下列结论中不正确的是（)

A

B

A.BE=DEB.DE垂直平分线段AC

「S^EDC6

c.----------=—D.B0=BC・BE

S—BC3

【解答】解：由题意可得NABC=90°,NC=30°,AB=ADfAP为的垂宜平分线,

[BE=DE,

・・・NB4E=ND4E=30°,

•••△AEC是等腰三角形,

'：AB=AD,AC=2AB,

.••点力为4c的中点,

•••。后垂直平分线段4C,

故选项A,8正确，不符合题意;

在AABC和△EQC中,

ZC=ZC,ZABC=ZEDC=90°,

/.△ABC^AEDC,

ABACBC

EDEC~DC

BCV3八1八

*/—=c।os30°=—,DC=-xACt

AC22

BC

•••____.V5,

DC

.S^ABC2

•♦=(V3)=3,

S^EDC

.S-EDC_1

S4ABe3

故选项C错误，符合题意;

在△AB。中,

*：AB=AD,N84Z)=60°,

/\ABD是等边三角形,

・・・/ABO=NAQ8=60°,

:・/DBE=/BDE=30°,

在48七。和△BQC中，NDBC=NEBD=30°,NBDE=NC=30°,

:•△BEDsABDC,

•_B_E_B_D

•■=_，

BDBC

:.B0=BC・BE,

故选项。正确，不符合题意.

故选：C.

1（）.（4分）已知抛物线P：,，=/+4ar-3（<z>0）,将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P',当1Wx

W3时，在抛物线P'上任取一点M,设点M的纵坐标为，，若fW3,则。的取值范围是（）

13133

--c-<aV-a>-

A.4B.44-4D.-4

【解答】解：设抛物线P'上任意一点（x,y）,

则点（■y）原点旋转180°后对应的点为（・x,-y）,

-）'=f-4。%-3,

，抛物线P'的解析式为>'=-?+4«A-+3,

*/y=-/+40¥+3=-（x-2a）2+4a2+3,

当x=2a时，），有最大值4廿+3,

①当2.V1时，即a.1=1时j有最大值，

，2+4aW3,

：-a<I，

此时a<I；

②当2心3时，即a*,x=3时y有最大值,

-6+12aW3，

,,<z—4,

此时a不存在；

1O

③当1W2〃W3时，即-WaW*x=2o时），有最大值，

2,

，4J+3W3

•••4=0,

此时a不存在；

综.上所述：OVa0上,

故选：A.

二.填空题

11.（4分）因式分解：〃尸+2〃?+1=（〃?+1）2.

【解答】解：原式=病+2m+『=（m+1）2,

故答案为：（/n+l）2.

12.（4分）关于x的一元二次方程f-4x+c=0没有实数根，则c的值可以是5（答案不唯一）（写

出一个即可）.

【解答】解：因为关于x的一元二次方程/-4%+c=0没白实数根，

所以A=（-4）2-4c<0,

解得c>4.

故答案为：5（答案不唯一）.

53

13.（4分）代数式丁一;与代数式一的值相等，则.丫=3.

2x-lx

53

【解答】解：由题意得，T--=-

2X-1X

去分母得，5x=3（2A--I）,

解得x=3,

经检验x=3是原方程的解，

所以原方程的解为工=3,

故答案为：3.

14.（4分）一个小球在如图所示的矩形地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上.每块地砖的大小、质

地完全相同，其中在矩形人8CO中，BC=4,CD=2,以人。为直径的半圆。与相切于点E,连接

BD,则那么该小球停留在阴影区域的概率是（结果保留n）

8

BEC

2

【解答】解：根据题意得：S,彤部分=S厢形ODE==71,

)°O曹Ow：

71TC

所以该小球停留在阴影区域的概率是丁二=一，

4X28

TC

故答案为：

8

15.(4分)澄波湖公园有一条笔直的健身跑道，每天有很多市民在此晨练，成为济阳区一道舰丽的风景.每

天早晨小红与父亲匀速跑步，已知父女俩起点、终点均相同，起点与终点间的距离为600/n,约定先到

终点的原地休息等待另一个人.已知小红先出发20s,如图两人之间的距离)，(〃?)与父亲出发的时间x

(5)的函数关系如图所示，父女两人之间的距离为80〃?时，父亲出发的时间工为120或240s.

【解答】解：由函数图象可得：

小红的速度为40・20=2(,武)，父亲的速度为600+200=3(〃?/5),

40

父亲追上小红所需时间为=40(s),

，A的坐标为(40,0),

当父亲出发的时间x=200s时，两人之间的距离y=2OOX3-(200+20)X2=160(W,

坐标是(200,160),

小红到达终点所需时间为等=300(s),300-20=280,

的坐标为(280,0),

设所在直线解析式为

把力(40,0),B(200,160)代入解析式得；

f40m+n=0

(200m+n=160'

解得产=1,

In=-40

•••44所在直线解析式为)，=x-40,

当)，=80时，x-40=80,

解得x=120；

设8c所在直线的解析式为)，=心:+力，把8(200,160),C(280,0)代入得:

200/c+b=160

280k+b=0

解时:羔

・・・8C所在直线的解析式为y=-2A+560,

当)=80时，・2%+560=80,

解得x=240,

・••父女两人之间的距离为80〃?时，父亲出发的时间x为1205或240.V,

故答案为：12()或240.

16.(4分)如图，正方形ABCO中，4B=4,点石是对角线即上一点，连接AE,过点七作E/JLAE,交

BC于点F,连接4F,交BD千点M,将△EFM沿石/翻折，得到连接AN,交所于点G,若

点?是8c边的中点，则线段4N的长是¥.

-3-

AD

MYG

解：如图，过点E作〃K_L4。于”，交BC于K,

MXG

FKC

•・•四边形ABC。是正方形,

：.AD//BC,AB=BC=AD=4,

二点尸是AB的中点,

:・BF=^BC=2,

在RtAABF中，AF=>JAB2+BF2=V42+22=275,

\*AD//BC,

：.2AMDs丛FMB,

AMAD4

•••一——乙o9

FMBF2

：.AM=2FM,

•：AM+FM=AF,

A2FM+FM=2V5,

・g/2后

,.FM=

，：BD是正方形ABCD的对角线，

AZABD=ZADB=45<>,

•:EH上AD,

・•・△/)/?，是等腰直角三角形，

:・DH=DE,

VZADC=ZBCD=ZDHK=90°,

・•・四边形CZ)”K是矩形，

：.HK=CD=AD,

:,HK-EH=AD-DH,即EK=AH,

*：EF.LAE,

AZAEH+ZFEK=90°,

•・・NAEH+/E4〃=90°,

：./FEK=/EAH,

*：ZEKF=ZAHE=90°,

:.△EFK@4AEH(ASA),

:・AE=EF,

•••△AE尸是等腰直角三角形，

，NEFM=45°,

•・•将△EFM沿E/翻折，得到△EFM

2年

:.FN=FM=*,/EFN=NEFM=45°,

:・4AFN=4EFM+4EFN=4、°+45°=90°,

，4N=7AF2+FN?=J(26)2+(竽)2=1^?.

10-

故答案为:

3

三,解答题

17.(6分)计算：V4-2sin45°-(71-3)°+|-V2|.

【解答】解：V4-2sin45°-(zr-3)°4-|-V2|

=2-2x芋—1+x/2

=2—V2—1+A/2

=1.

（4（x-1）<7x+2

⑻“分）解不等式组x+2〈里’并写出它的整数解•

4(%-1)<7x4-2©

【解答】解:x+8

x+2<②

3

解不等式①得“2-2,

解不等式②得工<1,

所以不等式组的解集为：-2WxV|,

所以不等式组的所有整数解为：-2,-1,0.

19.（6分）如图，平行四边形ABCO中,E,尸是直线AC上两点，且AE=CF.

求证：DF=BE.

【解答】证明•・•四边形A4c。是平行四边形,

：,AB=CD,AB//CD

：.ZACD=ZCAB.

在与△AEB中,

AB=CD

Z.ACD=乙CAB,

CF=AE

：,/\CFD^AAEB(SAS),

:・DF=BE.

20.（8分）“荡秋千”一直以来都是人们喜闻乐见的休闲方式之一，某天，小明和小亮两人玩荡秋千，如

图为侧面几何图，静止时秋千位于铅垂线/小上，荡秋千的起始位置为C,终点为点C距离地面为

1.08米，秋千位于C时，安全链AC与铅垂线A8夹角为37°,安全链4c=2.4〃?.

（1）求点A到地面的距离AB为多少？

（2）当小明用力将小亮从C推出后可达到最高点。处，此时N00=100°,求点。到地面的距离为

多少？(结果精确到0.01/H,参考数据sin37020.6,cos37020.8,sin27020.47)

【解答】解：（I）过点。作CE_L4B,垂足为E,

在RtZkACE中，ZCAE=31Q,人C=2.4〃7,

••・AE=4C・cos37°^2.4X0.8=1.92(〃?)，

•・,点、。距离地面为1.08米，

：,AB=AE+EB=1.92+1.08=3(m),

/.点A到地面的距离AB约为3/zn

(2)过点D作DFA.AB,垂足为F,

.*.ZDM=90°,

由题意得：AD=AC=2Am,

VZCAD=100°,ZCAB=3V,

AZDAF=ZCAD=ZCAE=63°，

产=90°-ZDAF=2T,

在RtAAD尸中,AF=AD-sin27°-2.4X0.47=1.128（m）,

：,FB=AB-AF=3-1.128^1.87（〃?），

工点。到地面的距离约为1.87w.

21.（8分）为了解学生完成书面年业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽

取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间，（单位：分钟）进行调查.将调查数据进行整

理后分为五组：A组“0V忘45”；5组“45VEW60”；。组“60V/W75”；。组“75VW90"；上组“F

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次调查的样本容量是50,请补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中,A组对应的圆心角的度数是36°，本次调查数据的中位数落在2组内:

（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多

少人？

【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：13+26%=50：

4组的人数为；50513202=10（人），

补全条形统计图如下：

人勉

⑵A组对应的圆心角的度数是：360°x磊=36°；

本次调查数据的中位数落在C组，

故答案为：36；C；

(3)2000x=1920(人)，

vJV/

答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人.

22.(8分)如图，。0是△ABC的外接圆，A。是。。的直径，尸是延长线上一点，连接CO,CF,

(I)求证：c厂是OO的切线；

□

(2)若40=10,cos3=S求FQ的长.

【解答】(1)证明：连接OC,

・・・NACQ=90°,

AZADC+ZCAD=90°,

又VOC=OD,

・•・ZADC=ZOCD,

又♦:/DCF=/CAD.

••・NQO*NOCO=90",

即OCA.FC,

工产C是OO的切线；

（2）解：ZB=ZADC,cosB=

cosZADC=V，

在RtZXACO中，

3rn

VcosZADC=j=AD=\0,

3

/.CD=AD*cosZADC=lOx1=6,

J

：.AC=y/ADz-CD2=8,

•CD__3

••~~~=一,

AC4

■:NFCD=NFAC,/F=NF,

/.△FCD^AMC,

CDFCFD3

''AC~FA~FC~4

设FQ=3.r,贝lj产C=4x,人/=3x+10,

又•：FU=FD・FA,

即（4.r）2=31（3X+10）,

解得尸斗（取正值），

/•FD=3x=-j-.

23.（10分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测4粽子能

够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进4粽子的数量比节后

用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：

（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？

（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克

20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克人粽子获得利润最大？最大利润是多

少？

【解答】解：(1)设该商场节后每千克4粽子的进价为x元，

〜一,240240

根据题思，得-----4=---

XX+2

解得工=10或%=-12(舍去)，

经检验，x=10是原分式方程的根，且符合题意，

答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；

(2)设该商场节前购进/〃T•克人粽了，总利润为w元，

根据题意，得12m+10(400-m)W4600,

解得〃忘300,

w=(20-12)m+(16-10)(400-w)=26+2400,

V2>0,

随着加增大而增大，

当〃7=30()时，卬取得最大值，最大利润为2X300+2400=3000(元)，

答：该商场节前购进300千克人粽子获得利润最大，最大利润是3000元.

24.(10分)如图1,木匠陈师傅现有一块五边形人木板，它是矩形人ACO木板用去△CE/7后的余

料，40=4,48=5,DE=\,尸是8c边上一点.陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条

边在上.

［初步探究］

(1)当8尸=2时.

①若截取的矩形有一边是。E，则截取的矩形面积的最大值是4；

②若截取的矩形有一边是则截取的矩形面积的最大值是10;

［问题解决］

(2)如图2,陈师傅还有另一块余料，^BAF=ZAFE=9Q°,AB=EF=\,CD=3,A尸=8,CD//AF,

且C。和AF之间的距离为4,若以A/所在直线为工轴，AF中点为原点构建宜角坐标系，则曲线OE

是反比例函数)=［图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNG”材料，其中一条边在AF

73

上，所截矩形MNG”材料面积是”.求GN的长.

6

【解答】解：(1)①当DE为阴形一条边，A。为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大,

•・・AO=4,DE=\,

，S=4X1=4,

・•・截取的矩形面积的最大值4；

故答案为:4：

②当A尸为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，

;AB=5,BF=2,

.*.5=5X2=10,

・••截取的矩形面积的最大值10；

故答案为：10：

(2)・・"=8,

人(-4.0),F(4,0),

'：AB=EF=\,

：.B(-4,1),E(4,1),

点在函数)=［图象上，

•3=4,

・•・反比例函数的解析式为

••.CD和4户之间的距离为4,CD//AF,

:・D(1,4),

VCD=3,

AC(-2,4),

设直线BC的解析式为)，=心一4

.(-4kr+b=1

••［一2/+6=4'

3

3

7

2

4上

-‘

‘3

1

t

3

3

4

2

^

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7

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2

.

长为二

N的

•••G

2

3

2

=

轴为x