2024年陕西省西安市雁塔区重点中学中考数学一模试卷(含解析)

2024年陕西省西安市雁塔区重点中学中考数学一模试卷

一.选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是正确的）

1.（3分）抛物线y=W-2的顶点坐标是（）

A.（-2,0）B.（2,0）C.（0,2）D.（0,-2）

2.（3分）如图，在RlZXABC中，ZC=90°,BC=3AC,则lan8=（）

A

A.-B.3C.D.3^^

31010

3.（3分）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的

弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（3分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与3之间的距

离为12。〃，双翼的边缘4C=3D=64a*且与闸机侧立面夹角NPC4=N4OQ=30°.当双翼收起时，可

以通过闸机的物体的最大宽度为（）

图1图2

A.76(7〃B.(64&+12)cm

C.(64^/3+12)cmD.64c〃?

5.（3分）在△ABC中，ZC=90°,NA=60°,8c=4,若。。与A8相离，则半径为，•满足（）

B

C.0<r<2D.()<r<2^2

6.（3分）如图，在一张RI/XA8C'纸片中，/4C8=90°,BC=5,AC=12,。。是它的内切圆.小明用剪

刀沿着O。的切线。月剪下一块三角形人。巴则△AQE的周长为（）

A.19B.17C.22D.20

7.（3分）扇子最早称“婆”，在我国已有两千多年历史.“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放,

去时菊花正黄.”这则谜语说的就是扇子.如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC夹角为135。，

A8的长为30（7〃，贴纸部分的宽6。为20cm,则扇面面积为（）

A.-------TTcm^B.300ncw2C.6（X）Trc/?rD.30Kc/n2

2

8.13分）若二次函数），=/+2任+3〃?-1的图象只经过第一、二、三象限，则加满足的条件一定是（）

A./??>—B.m<2

3

C.m<-2或〃?2-」■D.-^//z<2

33

二.填空题（共6小题，每小题3分，计18分）

9.（3分）在△48。中，若|sinA-/+（隼-cosB）2=0,则NC的度数是.

10.（3分）在RlZ\48C中，若两直角边长为60〃、8以外则它的外接圆的面积为.

11.（3分）如图，抛物线），=aH+bx+c的一部分经过点A（-1,0）,且其对称轴是直线x=2,则一元二次

方程a^+bx+c=0的根是.

12.（3分）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶

点为圆心，边长为半径的三段圆弧.若该等边三角形的边长为3,则这个“莱洛三角形”的周长是.

13.（3分）已知抛物线G：丁二浮・4x・1,抛物线C2是由抛物线Ci向右平移3个单位得到的，那我们可

以得到抛物线G和抛物线C2一定关于某条直线对称，则这条直线为.

14.（3分）如图，0M的半径为4,圆心M的坐标为（6,8），点P是OM上的任意一点，且PA、

PB与x轴分别交于4、B两点.若点4、点B关于原点0对称，则当AB取最大值时，点A的坐标

为____________•

三.解答题（共11小题，计78分.解答题应写出过程）

15.（8分）计算：

（I）2cos60°+|1-2sin45°|+（1）°,

12）Vl-2tan600+1^^-tan60°•

16.（5分）如图，点P是。。外一点.请利用尺规过点P作。。的一条切线PE.（保留作图痕迹，不要求

写作法和证明）

・。

P

17.（6分）如图，正六边形A3CD痔内接于OO.

（1）若。是位上的动点，连接8P,FP,求/分少的度数;

（2）已知△A。尸的面积为非，求。。的面积.

18.（6分）如图，在8c中，N4C3=90。，CD,C〃分别是A4边上的中线和高，BC=6,cos/ACO

4

,，求A8,C”的长.

5

19.（6分）如图，A8是。。的直径，弦CQ_LA8于点E,点P在。。上，Z1=ZC,

(1)求证：CB//PD-,

,求O。的直径.

D

20.（6分）如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点£处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和

平面镜测量小树到山脚下的距成（即。E的长度），小华站在点8处，让同伴移动平面镜至点C处，此时

小华在平面镜内可以看到点£且测得BC=3米，CO=28米.ZCZ）F=127°.已知小华的眼睛到地面的

距离A8=1.5米，请根据以上数据，求。七的长度.（参考数据：sin370企,tan37°

54

21.（7分）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽48=20加，当水位上升3〃?时，水面宽CO=10〃z.按

如图所示建立平面百角坐标系.

（1）求此抛物线的函数表达式；

12）有一条船以6幼湖的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36灯〃时，桥下水位正好在48处，之后水

位每小时上涨0.3加，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2加时，将禁止船只通行.如果该船的速度不

变，那么它能否安全通过此桥？

22.（8分）如图所示，要在底边，BC=16（）5,高AO=12（km的铁皮余料上，截取一个矩形EFG”,

使点，在AE上，点G在AC上，点反尸在BC上，AD交HG于点M.

（1）设矩形EFG”的长"G=），，跷HE=x,确定y与x的函数关系式；

（2）设矩形EFG”的面积为S,当x为何值时，矩形EFG”的面积S最大？并求出最大值.

23.（8分）如图，点。在NAP8的平分线上，。。与PA相切于点C.

（1）求证：直线P8与。0相切；

[2）P。的延长线与。。交于点£若。。的半径为3,PC=4.求弦C£的长.

24.（8分）已知抛物线y=aN+A-4经过点A（-2,0）,B（4,0）,与），轴的交点为C.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴/的左侧，过点P分别作/,x轴的垂线，垂足分别为

N,连接MN.若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标.

25.（10分）问题发现

（1）在△ABC中，AB=2,ZC=60°,则△A8C面积的最大值为；

（2）如图1,在四边形A8CO中，AB=AD=6fN8CD=/8AO=90°,AC=8,求8C+CD的值.

问题解决

（3）有一个直径为60。"的圆形配件OO,如图2所示.现需在该配件上切割出一个四边形孔洞。人8C,

要求NO=N/3=6（）。，OA=OC,并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小.试问，是否存在符合

要求的面积最小的四边形。48C?若存在，请求出四边形O八面积的最小值及此时。4的长；若不存在,

请说明理由.

图I

2024年陕西省西安市雁塔区重点中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是正确的）

I.【分析】利用二次函数的图象和性质，即可得出顶点坐标.

【解答】解：・・・尸/-2,

二抛物线的顶点坐标为（0,-2）,

故选：O.

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质.

2.【分析】根据正切函数的定义求解.

【解答］解：在Rt△人8c中，ZC=90°,BC=3AC,

故选：A.

【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义.

3.【分析】①根据确定一个圆的条件即可判断.②根据垂径定理即可判断.③根据圆周角定理即可判断.④

根据三角形外心的性质即可判断.

【解答】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆；

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确.

③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中；

④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确,

・•・正确的有②④，共2个.

故选：B.

【点评】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识.

4.【分析】过A作AELCP于E,过8作BF±DQ于F,则可得AE和BF的长，依据端点A与8之间的距

离为IOC/H,即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度.

【解答】解：如图所示，过A作4E_LCP于E,过B作BFLDQ于F,

贝jRtZXACE中，4E=£AC=,X64=32(cm)

同理可得，BF=32cm,

又二点A与8之间的距离为12c相,

.••通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运

算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多.

5.【分析】根据三角形的面积公式得到。。=2,于是得到结论.

【解答］解：过。作CO_LAB于

在RtZ\4BC中，ZC=90°,NA=30°,8C=4,

16=鼻=2,

•；OC与A8相离,

・••半径r满足0VY2,

故选：C.

【点评】本题考杳了直线与圆的位置关系，常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当

时，直线与圆相交；当火="时，直线与圆相切；当氏<4时，直线与圆相离.

6.【分析】设△ABC的内切圆切三边于点片H,G,连接OF,OH,OG,得四边形OHCG是正方形，由切

线长定理可知：AF=AG,根据DE是。0的切线，可得M£>=MF,EM=EG,根据勾股定理可得AB=5,

再求出内切圆的半径=£(AC+BC-AB)=2,进而可得△A。七的周长.

【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点凡H,G,连接OF,OH,OG,

，四边形。"CG是正方形，

由切线长定理可知：AF=AG,

••,QE是O。的切线，

:,MD=DF,EM=EG,

VZ4CT=90°,BC=5,AC=\2,

•*^5=VAC2+BC2=13>

•・,OO是△八BC的内切圆，

J内切圆的半径=£(AC+BC-AB)=2,

：.CG=2,

：,AG=AC-CG=\2-2=10,

J△4QE^}^=AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=2AG=20.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质.

7.【分析】根据扇形的面积公式，利用扇面的面积=§中形mc-S团形以/进行计算.

【解答］解：VA«=30cvn,BD=20cm,

：.AD=10cm,

VZB4C=135°,

，扇面的面枳=S中形BAC-S丽形DAE

135兀><3。2_135兀XI02

360360

=3OOn(cm2).

故选：B.

【点评】此题主要考查了扇环的面积求法.一般情况下是让大扇形的面积减去小扇形的面积求阴影部分，

即扇环面积.

8.【分析】利用二次函数的性质，抛物线与工轴有2个交点，与)，轴的交点不在负半轴上，即△>(),且3机

-120,然后解不等式组即可.

【解答]解：•.•抛物线,，=*+2，后什3加-1经过第一、二、三象限，

:、A=(2A/5)2-4(3/n-1)>0且3m-120,

解得

O

故选：O.

【点评】本题考杳了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解

题的关键.

二.填空题(共6小题，每小题3分，计18分)

9.【分析】先利用非负数的性质得到siM-[=0,零--8SB=0,即siM=《，COSB='，则根据特殊角

2222

的三角函数值得到NA、N3的度数，然后根据三角形内角和定理计算出NC的度数.

【解答】解：・・・|sinA■寺+(率・cosB)2=0,

：,sinA--=0,亚-cos8=0,

22

1Jo

即sin/l=—,cosB=——,

22

・・.NA=30°,NB=45°,

AZC=1800-ZA-ZB=105°.

故答案为：105°.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键.也考查了非负数

的性质.

10.【分析】先根据勾股定理求出A3的长，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半可得出外接圆的半

径，进而得出其面积.

【解答】解：・・・4C=6c〃?，BC=8c〃i,

2

^+g2=10(cm),

二外接圆的半径=5cm,

♦♦S外推WI=25TC(c/fi~).

故答案为：25TTC/H2.

【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与外心，勾股定理，经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的

外接圆.

11.【分析】直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y=av2+云+c与x轴的一个交点是A(-1,

0),得出另一个与工轴的交点，进而得出答案.

【解答】解：•.•抛物线什c与x轴的一个交点是4(-1,0),对称轴为直线工=2,

・•・抛物线产a/+bx+c与x轴的另一个交点是(5,0),

，一元二次方程於2+正+°=0的解是:X\=~hX2=5.

故答案为：X\=-1,X2=5.

【点评】此题主要考查了抛物线与X轴的交点，正确得出抛物线与X轴的交点坐标是解题关健.

12.【分析】弧长的计算公式：/=/吝(弧长为/,圆心角度数为小圆的半径为r),由此即可求解•.

loU

【解答】解：如图，△A6C是零边三角形，

：.AB=BC=AC=3,NA8C=/AC8=NZMC=60°,

J标的长=菽的长=菽的长=注=口，

60lo1U

二这个“莱洛三角形”的周长是3m

【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是掌握弧长的计算公式.

13.【分析】根据抛物线C)：,，=2彦-4.计1=2(x-1)2-3,得出抛物线对称轴，再利用Q是由抛物线C,

向右平移3个单位得到，得出抛物线C2的对称轴即可.

【解答】解：:抛物线G：y=2x2-4x-1=2(x-1)2・3,

J抛物线G对称轴为：直线x=l,

•・'抛物线C2是由抛物线G向右平移3个单位得到，

・•,抛物线C2的对称轴为直线x=4,

，抛物线Ci和抛物线C2一定关于直线3=2蔡=,.

故答案为；x=^.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据已知得出抛物线G的对称轴是解题关键.

14.【分析】rflRtZ\APB中4B=2。尸知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接。M,并延长交OM

于点〃，当点。位于〃位置时，0P'取得最大值，据此求解可得.

【解答】解：连接尸。，

\PAA.PB,

•・.NAP8=90”,

•・'点4、点B关于原点。对称，

：,AO=BO,

：,AB=2PO,

若要使A8取得最大值，则尸。需取得最大值，

连接0M，并延长交。历于点户，当点P位于P'位置时，0严取得最大值,

过点M作MQJ_x轴于点Q,

贝］0Q=6、MQ=8,

，OM=10,

又•・・MP'=r=4,

，0P'=MO+MP'=10+4=14,

：,AB=2OP=2X14=28；

・M点坐标为(・I4,0),

故答案为：（-14,0）.

【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，得出A8取得最大值时点夕的位置是解答本题的关键.

三.解答题（共11小题，计78分.解答题应写出过程）

15.【分析】（1）利用特殊锐角三角函数值，绝对值的形式，零指数累计算即可;

（2）利用二次根式的性质，特殊锐角三角函数值进行计算即可.

【解答】解：（I）原式=2X~1+|1-2X萼|+1

=1+11-V2I+1

=1+&-1+1

=A/2+1：

(2)原式=d(]_tan60。)27an60°

=7(1-V3)2-V3

=V3-1-V3

【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

16.【分析】连接PO,作线段P。的垂直平分线垂足为R,以R为圆心，OR为半径作G）R交0。一点7,作

直线PT即可.

【解答】解：如图,直线尸丁即为所求.

【点评】此题考查了作图-复杂作图，以及切线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关槌.

17.【分析】（I）在弧C。取一点P,连接BP、AP.FP、R7,利用弦和圆周角的关系即可求d/BP尸的值；

（2）①证明△AO尸是等边三角形即可求出：②利用三角函数求出DF=«AF，AD=2AF,再根据△A。尸

的面积为求出半径即可求出.

【解答】解：（1）如图所示，在弧CD取一点P,连接8P、AP.FP、F0,

•・,六边形ABCDEF是正六边形，

•"尸=AB,NAOF二匹白二60°，

6

ZAPF=yZAOF=30"，

*：AF=AB,

：,ZAPB=ZAPF=3O°,

•INBPF=NAP8+NAP/=60°；

(2)VZA0F=60°,AO=FO,

••・△AOF是等边三角形，

AZDAF=60°；

***DF=V3AF»AD=2AF,

••，SAADF=AFXDF耳AF&F'

・・,AF=2,即。。的半径为2,

二0。的面积=71X22=471.

【点评】此题考杳了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的

关系.

18,【分析】根据三角形中线的定义，等腰三角形性质以及锐角三角函数可得cosA=4=5，设4c=4X,则

AB=5x,勾股定理可求出8c=3x=6,进而求出48,再根据三角形面积公式求出C”即可.

【解答】解：丁。。是RtZXABC的斜边中线，

：,AD=BD=CD,

JNA=NACD,

4

•*cosA=cos/ACD)，

b

VZ4CT=90°,在R〔Z\ABC中，

也上*AC4

可设AC=4x,则AB=5x.

由勾股定理得：BC=VAB2-AC2=J（5x）2-（4x）2=3r

3x=6,

即x=2,

J.AB=5x=10,八。=4x=8,

,?SAABC=^AC*BC=^AB*CH,

A—X8X6=-X10XC//,

22

解得CH=铝.

D

94

答：A〃=10,CH=W.

5

【点评】本题考查解直角三角形，掌握宜角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是止确解答的前提.

19.【分析】（1）根据圆周角定理得NP=NC,而/1=NC,则N1=NP,于是根据平行线的判定即可得

到CB〃PB；

（2）解：连接0C,如图，有（1）得NI=NP=30°,再根据垂径定理得到菽=丽，则利用圆周角定理

得N8OC=2NP=60°,于是可判断△BOC为等边三角形，所以OB=BC=3,

易得。。的直径为6.

【解答】（1）证明：•・•/「=NC,

而N1=NC,

•*N1=NP,

:.CB〃PD；

（2）解：连接OC,如图，

VZl=30°,

，NP=30°,

，食=丽,

・・,N8OC=2NP=60°,

••・△80C为等边三角形，

/.OB=BC=3,

・・・OO的直径为6.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂

径定理.

20.【分析】过点E作所13。交B。的延长线于R设律=x米，根据正切的定义用x表示。居证明△A8C

s/\EFC,根据相似三角形的性质计算即可.

【解答】解：过点E作EFLBD交BD的延长线于F,

设即=.x■米，

VZC£>E=127°,

：,ZDEF=\2V-90"=37°,

在尸中，ian/OE/=黑,

Er

2

贝］DF=EF*tanZDEF^x,

4

由题意得：ZACB=ZECF,

VZABC=ZEFC=90<>,

・•,XABCsREFC,

3

.AB_BC山jl・5_-----

.,而一而‘-284X，

4

解得：x=22.4,

3

/.DF=-x=16.8,

4

16.8

3_=28（米），

T

答：QE的长度约为28米.

RD

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、相似三角形的判

定定理是解题的关键.

21.【分析】(1)根据题意可得B(20,0),C(5,3),然后利用待定系数法求解即可；

(2)先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高

度，由此即可得到答案.

【解答】解：(1)由题意得，B(20,0),C(5,3),

设抛物线解析式为(工-20),

：,5a(5-20)=3,

._1

一ay

•二抛物线解析式为y=-(x-20)=-^^x2

Zz>b

(2)船行驶到桥下的时间为:36+6=6小时,

水位上升的高度为：0.3X6=1.8”

♦・’抛物线解析式为丫=心乂2心乂=白(乂-10)2+4，

5ZD

・•,抛物线顶点坐标为(10,4),

工当船到达桥下时，此时水面雇离拱桥最高点的距离为4・1.8=2.2〃?>2〃?，

，如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥.

【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键.

22.【分析】(1)由梯形8CG小可得,义160X120=%(120-x)+-1汗()，+160),继而求

乙，I乙

得答案；

AAA

12)把y=-拳+160代入5=孙，即可求得S与戈的函数关系式；由S=-崇2+]6()X,可得：s=-£(大

-60)2+4800；则可求得矩形EFG”的面积S最大值.

【解答】解：(1)S^ABC=S^AHG+S梯形BCGHi

・・.£xi60X120=£)，(120-X)+^X(y+160),

乙乙乙

4

化简得：y=~~x+160；

o

4

(2)把尸-拳+160代入S=xy,

O

得：S=——16O.r；

o

右边配方得：S=~(x-60)2+4800；

O

V-4(x-60)2W0,

3

44

二当-£(x-60)2=0时，即x=60时，5=(x-60)2-4800有最大值4800.

OO

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质.此题难度适中，注意掌握方程思想与

数形结合思想的应用是解题的关键.

23.【分析】(1)连接OC,作于。点.证明0。=。。即可.根据角的平分线性质易证；

(2)设。。交。。于F,连接。凡根据勾股定理得。。=5,则d£=8.证明△PCbs^PEC,得CF：CE

=PC：PE=1：2.根据勾股定理求解C£

【解答】(1)证明：连接OC,作OO_LPB于。点.

•・,OO与PA相切于点C,

：.OC±PA,

•・'点。在NAP8的平分线上，OCJ_PA,ODLPB,

：,OD=OC.

，直线P8与。。相切；

(2)解：设PO交。。于F,连接CF.

7OC=3,PC=4,・"O=5,PE=8.

•・,OO与丛相切于点C,

JZPCF=NE.

文•：4CPF=/EPC,

:'APCFsAPEC,

：.CF：CE=PC：PE=4：8=1：2.

•・'E二是直径,

.'.NEC/=90".

设CF=x,则EC=2x.

贝］『+(2x)

解得

贝］EC=2x=

A

D

【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的性质.注意：当不知道直线与圆是否有公共点而要证明直

线是圆的切线时，可通过证明医心到电线的距离等于圆的半径，来解决问题.

24.【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为），=£.0-X-4；

12）抛物线），=余-.14的对称轴是直线x=l,C（0,-4）,可得△BOC是等腰直角三角形，根据△

尸历N和△O8C相似，可得?M=PN,设P（〃?，得〃於-4）,即有|〃?-1|=当〃2-m-4|,解出m的值，

再由点。是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x=l的右侧，即得尸的坐标为（师+2,小而+1）或

1■VIo）•

【解答】解：（1）把A（-2,0）,B（4,0）代入得：

f4a-2b-4=0

116a+4b-4=0

解得「至，

b=-l

抛物线的函数表达式为），=吃『-x-4：

・•・抛物线尸尹-x-4的对称轴是直线x=\,

在・x・4中,令x=0得y=・4,

：,C(0,-4),

：,OB=OC=4,

••・△6OC是等腰直角三角形，

•；△PMN和△OBC相似,

是等腰直角三角形，

,・，PM_L直线x=1,PN_Lx轴，

：.NMPN=90°,PM=PN,

设P(m,in2-m-4),

乙

\m-\\=\-^-nr-m-4|,

乙

m-1=-m2-/〃-4或/〃-1=-!??2+"?+4,

22

解得W=VTO+2或m=-VT