2024-2025学年试题数学三向量的减法运算

三向量的减法运算(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·钦州高一检测)在△ABC中,=a,=b,则=()A.a+b B.abC.ba D.ab【解析】选C.==ba.2.(5分)(2024·北京高一检测)化简+的结果等于()A. B. C. D.【解析】选D.+==.3.(5分)(2024·唐山高一检测)设e是单位向量,=e,=e,||=1,则四边形ABCD是()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【解析】选B.因为=e,=e,所以=e=,即∥,所以||=||=|e|=1,所以四边形ABCD是平行四边形,因为||=1,即||=||,由菱形的判定定理可知,四边形ABCD是菱形.4.(5分)(2024·北京高一检测)对于任意两个向量a和b,下列命题中正确的是()A.|a+b|≤|ab| B.|ab|≤|a+b|C.|a+b|≤|a|+|b| D.|ab|≤|a||b|【解析】选C.对于A,当a,b≠0,且a,b同方向时,|a+b|>|ab|,故A错误;对于B,当a,b≠0,且a,b反方向时,|ab|>|a+b|,故B错误;对于C,根据向量加法的平行四边形法则,得|a+b|≤|a|+|b|,故C正确;对于D,根据向量减法的三角形法则,得|ab|≥|a||b|,故D错误.【补偿训练】(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题中正确的是()A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同B.若|a|+|b|=|ab|,则a与b方向相反C.若|a|+|b|=|ab|,则a与b有相等的模D.若||a||b||=|ab|,则a与b方向相同【解析】选ABD.如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当a,b不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||a||b||<|a±b|<|a|+|b|.当a,b同向时有|a+b|=|a|+|b|,||a||b||=|ab|.当a,b反向时有|a+b|=||a||b||,|a|+|b|=|ab|.5.(5分)(2024·常州高一检测)在边长为1的正方形ABCD中,若=a,=b,=c,则|ab+c|等于()A.0 B.1 C.2 D.2【解析】选C.|ab+c|=|+|=|++|=|+|=2||=2.6.(5分)(多选)(2024·常州高一检测)下列能化简为的是()A.+B.+(+)C.(+)+()D.+【解析】选ABC.对于A,+==,故A正确;对于B,++=+=,故B正确;对于C,(+)+()=+=,故C正确;对于D,+=,故D不符合题意.7.(5分)下列各向量运算的结果与相等的有__________.(填序号)

①+;②;③;④【解析】由题意知,①④正确.答案:①④8.(5分)如图所示,已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为r1,r2,r3,则=____________.(用r1,r2,r3表示)

【解析】=+=+=+=r3+r1r2.答案:r3+r1r29.(5分)(2024·抚顺高一检测)如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是△ABC所在平面内任意一点,则+=________.

【解析】+=+=.因为D是边BC的中点,所以=,所以+=0.答案:010.(10分)如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c,求作向量b+ca.【解析】以,为邻边作平行四边形OBDC,连接OD,AD,所以=+=b+c,所以==b+ca.故为所求作向量.【综合应用练】11.(5分)(2024·浙江四校联考)在四边形ABCD中,O为任意一点,若+=0,则()A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形【解析】选D.因为+=0,则+=0,即=,可知AB,CD两边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形,故ABC错误,D正确.【补偿训练】(2024·抚顺高一检测)在平行四边形ABCD中,|+|=||,则必有()A.=0B.=0或=0C.四边形ABCD为矩形D.四边形ABCD为正方形【解析】选C.因为在四边形ABCD中,显然||≠0,||≠0,则≠0,≠0,故A,B错误;因为+=,=,则||=||,即平行四边形ABCD的对角线长度相等,故四边形ABCD为矩形,故C正确;因为没有确定||,||是否相等,故无法确定四边形ABCD是否为正方形,故D错误.12.(5分)(多选)(2024·张掖高一检测)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则=()A. B. C. D.【解析】选BCD.因为D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,所以DF∥BE,且DF=BE,DF∥EC,且DF=EC,所以=,=,所以====.13.(5分)(2024·洛阳高一检测)已知非零向量a,b满足:|a|=|b|=|ab|,作=a,=a+b,则∠AOB=__________.

【解析】构造如图所示的平行四边形,=a,=a+b,则=b,=ab,则△AOC为正三角形,故∠COA=60°,则平行四边形OABC为菱形,故OB平分∠COA,则∠AOB=30°.答案:30°【补偿训练】(多选)对于菱形ABCD,给出下列各式,其中结论正确的为()A.=B.||=||C.||=|+|D.|+|=||【解析】选BCD.菱形中向量与的方向是不同的,但它们的模是相等的,所以B正确,A错误;因为||=|+|=2||,|+|=2||,且||=||,所以||=|+|,所以C正确;因为|+|=|+|=||,||=|+|=||,所以D正确.14.(10分)化简:(1)+;(2)(++)().【解析】(1)+=()+()=+=;(2)(++)()=(+)+=++=+=0.15.(