导学案数学专题突破课三与球有关的内接外切问题

专题突破课三与球有关的内接、外切问题——寸辖制轮寻专题,纲举目张谋突破与球有关的内接、外切问题是本章的难点,也是高考的命题热点.研究好多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系,确定球心是解决这类问题的关键.常见以下两种类型的题目:(1)多面体与旋转体的外接球问题;(2)多面体与旋转体的内切球问题.类型一多面体与旋转体的外接球问题【典例1】(1)已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为()A.68π B.6C.38π D.3【解析】选A.如图将棱长为1的正四面体B1ACD1放入正方体ABCDA1B1C1D1中,且正方体的棱长为1×cos45°=22所以正方体的体对角线AC1=(22)所以正方体外接球的半径R=AC12所以正方体外接球的体积为43πR3=43π×643=6因为正四面体的外接球即为正方体的外接球,所以正四面体的外接球的体积为68π(2)圆柱内接于球,圆柱的底面半径为3,高为8,则球的表面积为________.

【解析】如图,由条件知,O1A=3,OO1=4,所以OA=5,所以球的表面积为4π×52=100π.答案:100π【总结升华】外接球问题的常用解题策略(1)解决外接球问题常用补形法,常常把三棱柱或三棱锥补成正方体或长方体.(2)长方体外接球的球心为体对角线的交点,半径R=a2+b2+c22(3)正方体外接球的球心是正方体的中心,半径R=32a(a为正方体的棱长)(4)解决圆柱、圆锥的外接球问题常用截面法,应用勾股定理求解.【即学即练】在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=2,∠ABC=π2.若该直三棱柱的外接球的表面积为16π,则该直三棱柱的高为(A.4 B.3C.42 D.22【解析】选D.因为∠ABC=π2,所以可以将直三棱柱ABCA1B1C1补成长方体ABCDA1B1C1D1则该直三棱柱的外接球就是长方体的外接球,外接球的直径等于长方体的体对角线长.设外接球的半径为R,则4πR2=16π,解得R=2.设该直三棱柱的高为h,则4R2=22+22+h2,即16=8+h2,解得h=22,所以该直三棱柱的高为22.类型二多面体与旋转体的内切球问题【典例2】(1)已知正三棱锥的高为6,内切球(与四个面都相切)的表面积为16π,则其底面边长为()A.18 B.12 C.63 D.43【解析】选B.由题意知,球心在三棱锥的高PE上,设内切球的半径为R,则S球=4πR2=16π,所以R=2,所以OE=OF=2,OP=4.在Rt△OPF中,PF=OP2-因为△OPF∽△DPE,所以OFDE=PFPE,得DE=23,AD=3DE=63,AB=23(2)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为__________.

【解析】易知半径最大的球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切圆的圆心为O,由于AM=32-1故S△ABC=12×2×22=22,设内切圆半径为r,则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12×AB×r+12×BC×r+12×AC×r=12×(3+3+2)×r=22,解得r=22,其体积为V=43答案:23【总结升华】内切球问题的常用解题策略(1)内切球问题常采用等体积分割法和截面法求解.(2)正方体内切球的球心是正方体的中心,内切球半径r=a2;与正方体各条棱相切的球的球心是正方体的中心,半径r'=22a(a(3)正四面体(正四面体可以看作是正方体的一部分)的内切球球心是正四面体的中心,半径r=612a(a为正四面体的棱长)【即学即练】如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1是一块石材,测量得∠ABC=90°,AB=6,BC=8,AA1=13.若将该石材切削、打磨,加工成几个大小相同的健身手球,则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()A.32π3,4 B.9πC.6π,4 D.32π3【解析】选D.依题意知,当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时,健身手球的体积最大.易知AC=AB2+BC2=