2024年全国各地中考数学解析版试卷分类汇编总汇：分式与分式方程

分式与分式方程

一、选择题

1.(2024•广西贺州，第2题3分)分式上用意义，则工的取值范围是()

x-1

A.x/\C.A#-1D.x=-

考点：分式有意义的条件.

分析：依据分式有意义的条件：分母不等于0,即可求解.

解答：解：依据题意得：x-1翔，

解得:印.

故选A.

点评：本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键.

2.(2024•广西贺州，第12题3分)张华在一次数学活动中，利用“在面积肯定的矩形中，

正方形的周长最短”的结论,推导形'式子(£>0)的最小值是2”.其推导方法如下：在

面枳是1的矩形中设矩形的一边长为工，则另一边长是，矩形的周长是2(x+)；当矩形成为

正方形时，就有x=(0>0)»解得x=l,这时矩形的周长2(x+)=4最小，因此x+(x>0)

的最小值是2.仿照张华的推导，你求得式子工物(x>0)的最小值是()

x

4.2B.1C.6D.10

考点：分式的混合运算；完全平方公式.

专题：计算题.

分析：依据题意求出所求式子的最小值即可.

解：得到x>0,得到三詈=户22,乂・多6,

则原式的最小值为6.

故选C

点评：此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键.

3.（2024•温州，第4题4分）要使分式*L有意义，则x的取值应满意（）

x-2

A.洋2B.A#-1C.x=2D.x=-\

考点：分式有意义的条件.

分析：依据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解.

解答：解：山题总、得，4・2券，

解得*2.

故选A.

点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义0分母为零；

（2）分式有意义=分母不为零；

（3）分式值为零0分子为零且分母不为零.

4.（2024•毕节地区，第1（）题3分）若分式三一的值为零，则x的值为（）

x-1

A.0B.\C.-1D.±1

考点：分式的值为零的条件.

专题：计算题.

分析：分式的值是（）的条件是：分子为0,分母不为0,由此条件解出x.

解答：解：由得4士1.

当x=l时，x-1=0,故x=l不合题意；

当x=-l时，x-1=-2^0,所以户-I时分式的值为0.

故选C

点评：分式是0的条件中特殊须要留意的是分母不能是0,这是常常考查

的学问点.

5.（2024•孝感，第6题3分）分式方程，二二2的解为（）

x-13x-3

x=--x=—Cx=—D./

6336

考点：解分式方程

专题：计算题.

分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分

式方程的解.

解答：解：去分母得：3.『2,

解得：尸2

3

经检验X=Z是分式方程的解.

3

故选B

点评：此题考杳了解分式方程，解分式方程的某本里想是“转化思根”,杷分式方程转化为整

式方程求解.解分式方程肯定留意要验根.

6.（2024•浙江金华，第5题4分）在式子一!一，—,J-，中，x可以取2

x-2x-3

和3的是【】

A.—B.—C.Vx-2D.Jx-3

x—2x—3

【答案】C.

【解析】

试题分析：依据二次根式被开方数必需是非负数和分式分母不为0的条件，在式子

11

x-2'x-3

五二W每中，当x-2时，一L和五二3无意义，当x-3时，」一无意义.所以在式:子」

x-2x-3x-2

—,,"3中,x可以取2和3的是向故选C

x-3

考点.二次根式和分式有意义的条件.

7.（2024•湘潭，第4题，3分）分式方程工力的解为（）

X+2X

4.1B.2C.3D.4

点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键

9.(2024•德州，第II题3分)分式方程--------4———的解是()

x-1(x-1)(x+2)

A.x=lB.x=-1+V5C.x=2D.无解

考点：解分式方程.

专题：计算题.

分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分

式方程的解.

解答：解：去分母得：x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,

去括号得：f+Zix2・x+2=3,

解得:m1,

经检验ml是增根，分式方程无解.

故选D.

点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整

式方程求解.解分式方程肯定留意要验根.

二.填空题

1.(2024•安徽省，第13题5分)方程©u_3的解是后6.

x-2

考点：解分式方程.

专题：计算题.

分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到

分式方程的解.

解答：解：去分母得：-12=3%-6,

解得：x=6,

经检验尸6是分式方程的解.

故答案为:6.

点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为

整式方程求解.解分式方程肯定留意要验根.

2.（2024•福建泉州，第10题4分）计算：」!_+_a±L=1.

2/12nH-l

考点：分式的加减法

分析：依据同分母分式相加，分母不变分子相加，可得答案.

解答：解：原式二曲吐L],

21rH4

故答案为：1.

点评：本题考查了分式的加减，同分母分式相加，分母不变分子相加.

3.（2024•云南昆明，第13题3分）要使分式」一有意义，则X的取值范围是____.

x-10

考点：分式有意义的条件.

分析：依据分式有意义的条件可以求出x的取值范围.

解答:解：由分式有意义的条件得：x-10^0

xwlO

故填xwlO.

点评：本题考查了分式有意义的条件：分母不为0.

4.（2024•浙江金华，第12题4分）分式方程二一二1的解是_▲.

2x-1

【答案】x=2.

【解析】

试题分析।先去掉分母，明察可得谖简公分母是2x・l方程两边乘黑新公分母，可既分式方程转

化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求簟；

-------I=3-2x-I=-2K-T-3=-2x--4=x-2,经2是原方程的解.

2x-l

号点।解分式方程.

x____

5.（2024•浙江宁波，第14题4分）方程x-2=2-x的根产二L.

考点：解分式方程

专题：计算题.

分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到工的值，

经检验即可得到分式方程的解.

解答：解：去分母得：尸-1,

经检验k-1是分式方程的解.

故答案为：■1.

点评：此题考杳了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，

把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程肯定留意要验根.

6.（2024•益阳，第10题，4分）分式方程，_=3的。为户-9.

x-32x

考点：解分式方程.

分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分

式方程的解.

解答：解：去分母得：4,v=3x-9,

解得：入=-9,

经检验.『-9是分式方程的解.

故答案为：.1-9.

点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整

式方程求解.解分式方程肯定留意要验根.

7.（2024•泰州，第14题，3分）已知a2+3ab+b2=0（存0,原0）,则代数式耳虫的值等于_

ab

3.

考点：分式的化简求值.

22

分析：将片+3面+从=0转化为〃2+/=-3",原式化为匕+1=-3ab,约分即可.

abab

解答：角毕：Va2+3ab+b2=O,

（r-^tr=-3ab,

.・.原式=b2+a2「3ab〜3.

abab

故答案为・3.

点评：本题考查了分式的化简求值，通分后整体代入是解题的关键.

8.（2024年山东泰安，第21题4分）化简（1+^^）+j+1—的结果为___.

x-1X2-2X+1

分析-：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形

约分即可得到结果.

解：原式=.X-l+2.（X-1）2=且1,6-1）2「］故答案为：X-1

X-1x+1X-1x+1

点评：此题考查了分式的混合运算，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

三.解答题

1.（2024•广东，第18题6分）先化简，再求值：（，_+」一）♦（x2-1）,其中尸近二1

x-1x+13

考点：分式的化简求值.

分析：先依据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代人进行计算即可.

解答：解：原式=20+1?+/但—?・（f-1）

（x+1）（x-1）

=2r+2+x-1

=3x+l,

当广造3—1时,原式二J5.

点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

2.（2024•广东，第21题7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次

促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%.

（1）求这款空调每台的进价（利润率用醇售价:产价）.

进价进价

（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？

考点：分式方程的应用.

分析：（1）利用利润率=［性售/］产价这一隐藏的等量关系列出方程即可;

进价进价

（2）用销售量乘以每台的销售利润即可.

解答：解.：（1）设这款空调每台的进价为x元，依据题意得：

1635X0.8-x

=9%,

解得：x=12OO,

经检验：.v=12OO是原方程的解.

答：这款空调每台的进价为1200元；

（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100x1200x9%=10800元.

点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法.

3.（2024•珠海，第13题6分）化简：（/+3”）J——-

a-3

考点：分式的混合运算.

专题：计算题.

分析：原式其次项约分后，去括号合并即可得到结果.

解答：解：原式=。（〃+3）理（a+3）3）

a-3

a-3

=a(a+3)x.

(a+3)(a-3)

点评；此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

2

4.（2024•广西贺州，第19题（2）4分）（2）先化简，再求值：（aA+ab）+2&+1,

a+1

其中。=加+1,Z?=V3'1•

考点：分式的化简求值.

专题：计算题.

分析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将〃与力的值代入计算即可求出值.

解今解：原式（«+1）•

（a+1）2

当。:加+1，/?=V3-1时，原式=3-1=2.

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

5.（2024•广西贺州，第23题7分）马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上

学，动身10分钟后，爸爸发觉他的数学课本遗忘拿了，马上带上课本去追他，在距离学校

200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度.

考点：分式方程的应用.

分析：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是21米/分，依据等量关系：马小虎走600

米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟.

解答：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是左米/分，依题意得

1800-12001800-200

x2x

解得%=80.

经检验，下80是原方程的根.

答：马小虎的速度是80米/分.

点评：本题考查「分式方程的应用.分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

6.（2024•广西玉林市、防城港市，第20题6分）先化简，再求值：其

x2-lx-1

中x=V2-1.

考点：分式的化简求值.

专题：计算题.

分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将X的值代入计算

即可求出值.

解答：解：原式=.2xx+1X-11

(x+1)(X-1)(x+1)(X-1)(x+1)(X-1)x+1

当下加7时，原式二〒^~二退.

V2-1+12

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

7.（2024年四川资阳，第17题7分）先化简，再求值：-（。-2+3），其中，a

a+2a+2

满意a-2=0.

考点：分式的化简求值.

专题：计算题.

分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，

约分得到最简结果，将。的值代入计算即可求出值.

解答：解：原式二a(a+2)+l+=2-4+3

a+2a+2

_(a+1)：&+2

a+2(a+1)(a-1)

---a-+-1-9

a-1

当a-2=0»即a=2时，原式=3.

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

8.(2024♦新疆，第17题8分)解分式方程：—~卜)=1.

X2-9x-3

考点：解分式方程.

分析：依据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解.

解答：解：方程两边都乘以(x+3)(x-3),得

3+x(x+3)=JT-9

3+A2+3x=.r-9

解得x=-4

检验：把户-4代入(x+3)(x-3)和，

・・・x=-4是原分式方程的解.

点评：本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的状况.

9.(2024年云南省.第15题5分)化简求值：/—X.(x-l).其中工

x2-2x+lX5

考点：分式的化简求值.

专题：计算题.

分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x

的值代入计算即可求出值.

解答：解：原式二X（"1））x-l）一-1，

（X-1）2X

当产工时，原式二国.

55

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

10.（2024年云南省，笫20题6分）“母亲节”前夕，某商店依据市场调查，用3000元购进

第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用500（）元购进其次批这种盒装花.已知其次批所

购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批

盒装花每盒的进价是多少元？

考点：分式方程的应用.

分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：卫奥，其次批进的数量

x

是：驯2,再依据等量关系：其次批进的数量;第一批进的数量x2可得方程.

x-5

解答：解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则

2x3000.5000

xx-5

解得x=30

经检验，x=30是原方程的根.

答：第一批盒装花每盒的进价是30元.

点评：本题考查了分式方程的应用.留意，分式方程须要验根，这是易错的地方.

11.（2024•舟山，第18题6分）解方程：=1.

x+1x2-l

考点：解分式方程

专题：计算题.

分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分

式方程的解.

解答：解：去分母得：x（x-1）-4二『-1,

去括号得：x1-x-4=Ar-1,

解得：x=-3,

经检验户・3是分式方程的解.

点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整

式方程求解.

12.（2024年广东汕尾，第23题11分）某校为美化校内，支配对面积为1800/的区域进行

绿化，支配甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化

的面积的2倍，并且在独立完成面积为400棚区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.

（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面枳分别是多少〃户？

（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总

费用不超过8万元，至少应支配甲队工作多少天？

分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是入7炉，依据在独立完成面积为400/区域的

绿化时,甲队比乙队少用4天.列出方程,求解即可：

（2）设至少应支配甲队工作x天，依据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求

解即可.

解:（1）设乙工程队每天能完成绿化的面枳是工7/，依据题意得：9匹

x2x

解得：x=50经检验x=50是原方程的解，

则甲工程队每天能完成绿化的面积是50x2=100（〃户），

答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100加、50〃也

（2）设至少应支配甲队工作x天，依据题意得：

（）.4x+-----------x（）.25<8,解得：x>10,

50

答：至少应支配甲队工作10天.

点评：此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等

式，解分式方程时要留意检验.

2,

21a+a

13.（2024•毕节地区，第22题8分）先化简，再求值：-2a+l,其中/+〃

-2=0.

考点：分式的化简求值：解一元二次方程一因式分解法

分析：先把原分式进行化简，再求序+。-2=0的解，代入求值即可.

解答：解：解-2=0得〃i=1.〃2=-2.

•••〃-1#),

a=-2,

••・原式，三彩』

a(a-1)(a-

_a+1.(a-1)2

a(a-1)a(a+1)

a-1

J

4

本题考杳了分式的化简求值以及因式分解法求一元二次方程的解，是重点内

容要娴熟驾驭.

23

14.（2024•武汉，第17题6分）解方程：x-2=7

考点：解分式方程

计算题.

分析­：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

解：去分母得：2x=3>x-6,

解得：.v=6,

经检验46是分式方程的解.

此题考杳了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转

化为整式方程求解.解分式方程肯定留意要验根.

2

15.（2024•襄阳，第13题3分）计算：?_A&二L_起

a2+2a&a+2

考点：分式的乘除法

专题：计算题.

分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果.

解答：解：原式=（a+1,^起

a（a+2）a-1a+2

故答案为：亘也

a+2

点评：此题考查了分式的乘除法，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

16.（2024•襄阳,第19题6分）甲、乙两座城市的中心火车站A,3两站相距360k”.一列

动车与一列特快列车分别从4,4两站同时动身相向而行，动车的平均速度比特快列车快

54kMh,当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135公〃处的C站.求动车和特快

列车的平均速度各是多少？

考点：分式方程的应用

专题：应用题.

分析：设特快列车的平均速度为.次〃皿，则动车的速度为（A+54）hM,等量关系：动车行

驶360k〃与特快列车行驶（360-135）5?所用的时间相同,列方程求解.

解答：解：设特快列车的平均速度为则动车的速度为（x+54）h"〃?，

由题意，得：360360-135,

x+54x

解得：户90,

经检验得：x=90是这个分式方程的解.

X+54=144.

答：设特快列车的平均速度为90k"小，则动车的速度为144包?〃?.

点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是细致审题，得到等量关系：动车行驶

360%?与特快列车行驶（360-135）%?所用的时间相同.

_L__±_

17.（2024•邵阳，第20题8分）先化简，再求值：（X-1-x+1）・（x-I）,其中户2.

考点：分式的化简求值

专题：计算题.

分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结

果，将X的值代入计算即可求出值.

解答:解:原式二x+1-x+1

(x+1)(x-l)

当x=2时，原式」.

3

点评:此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

18.（2024•四川自贡:第21题10分）学校新到一批理、化、生试验器材须要整理，若试验

管理员李老师一人单独整理须要40分钟完成,现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，

李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.

（1）王师傅单独整理这批试验器材须要多少分钟？

（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工

作多少分钟？

考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用

专题：应用题.

分析：（I）设王师傅单独整理这批试验器材须要x分钟，则王师傅的工作效率为，依据李

老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量

=1,可得方程，解出即可；

（2）依据王师傅的工作时间不能超过30分钟，列出不等式求解.

解答：解：（1）设王师傅单独整理这批试验器材须要x分钟，则王师傅的工作效率为，由题

意，得：20（2+）+20x=l,

40

解得：x=80,

经检验得：x=80是原方程的根.

答：王师傅单独整理这批试验器材须要8（）分钟.

（2）设李老师要工作y分钟，

由题意，得：（1■工）-?A<30,

4080

解得：龙25.

答：李老师至少要工作25分钟.

点评：本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是细致审题,

找到不等关系及等量关系.

19.(2024.云南昆明，第17题5分)先化简，再求值：(1+-)-^—,其中4=3.

acr-1

考点：分式的化简求值。

分析：依据分式的加法、乘法、分解因式等运算，求出结果代入求出即可.

cr

^军：原式二——

aa2-\

。+1a2

当。=3时,

原式=上3一二33

3-12

点评：本题考查了分式的化简求值的应用，主要考查学生的化简实力.

20.(2024•湘潭，第18题)先化简，在求值：(其中x=2.

考点：分式的化简求值.

分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果.

解答：解：原式

T6(x+1)4[X-16x+10.x-l6x+io

(x+1)(X-1)(x+1)(X-1)3x+2(x+1)(X-1)3x+2(x+l)(3x+2)

当x=2时•，原式-2+10=豆.

2412

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

21.(2024•益阳，第16题，8分)先化简，再求值：(^^+2)(x-2)+(x-1)2,其中

x-2

考点：分式的化简求值.

分析：原式第一项利用乘法安排律计算，其次项利用完全平方公式绽开，去括号合并得到最

简结果，将x的值代入计算即可求出值.

解答：解：原式=l+2x-4-x2-2K+1=W-2,

当时，原式=3-2=1.

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

22.(2024•株洲，第18题，4分)先化简，再求值：_1_・武二1・3(x-1),其中42.

x-12

考点：分式的化简求值.

分析：原式第一项约分，去括号合并得到最简结果，将I的值代入计算即可求出值.

解答：解：原式=_1_■(x+1)(X—1)-3/3

x-12

=2v+2-3x+3

=5-x,

当x=2时，原式=5・2=3.

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

23.(2024年江苏南京，第18题)先化简，再求值：——-二^,其中方1.

a4-4a-2

考点：分式的化简求值

分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将。的值代入计算

即可求出值.

解答：原式=1-T——-总——L/-Sy)〜士,

(a+2)(a-2)(a+2)(a~2)(a+2)(a-2)a+2

当a=lB寸，原式二--.

3

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

3_1_JL

24.(2024•泰州，第18题，8分)先化简，再求值：(1-x+2)x+1,其中4满

x+2x

意f・x-1=0.

考点：分式的化简求值.

分析：原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，已知方程变

形后代入计算即可求出值.

解答：解：原式=x+2-3.X(x+2).上"一1雇(x+2).上内.上=£,

x+2x_1x+1x+2x-1x+1x+1x+1

Vx2-x-1=0,»

则原式:1.

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

25.(2024•扬州，第19题，8分)(1)计算：(3.14―兀)°+(■])二_2s加30°；

2

(2)化简：亘_孑+6.x+3

x+1x2~1x2-2x+l

考点：实数的运算；分式的混合运算；零指数累；负整数指数第；特殊角的三角函数值.

专题：计算题.

分析：(1)原式第一项利用零指数累法则计算，其次项利用负指数塞法则计算，最终一项

利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；

(2)原式其次项利用除法法则变形，约分后两项利用同分母分式的减法法则计算.即

可得到结果.

解答：解:(1)原式=1+4-1=4；

2

(2)原式二0--2(x+3)_____.(x-1)=_2X.2(x-1)

x+1(x+1)(X-1)x+3x+1x+1x+1

点评：此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

26.(2024•扬州，第24题，10分)某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任

务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%,结果突前10天完成任务.原来每天制作

多少件？

考点：分式方程的应用.

分析：设原来每天制作x件，依据原来用的时间-现在用的时间=10,列出方程，求出x的

值，再进行检验即可.

解答：解：设原来每天制作x件，依据题意得：

480,480

x(1+50%)x'

解得：A-16,

经检验A16是原方程的解，

答：原来每天制作16件.

点评：此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，本

题的等量关系是原来用的时间■现在用的时间=10.

27.(2024•扬州，第26题，10分)对x,y定义一种新运算。规定：T(x,)，)=羿X(其

中〃、方均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：7(0,1)=aX0+bX1=/7.

2XQ+1

(1)已知7(1,-1)=-2,T(4,2)=1.

①求。，。的值；

②若关于机的不等式组［T产皿5-恰好有3个整数解，求实数〃的取值范闱；

T(m,3-2m)>p

(2)若TCx,y)=T(y,x)对随意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)均有意

义)，则小人应满意怎样的关系式？

考点：分式的混合运算；解二元一次方程组；一元一次不等式组的整数解

分析：(I)①已知两对值代入7中计算求出〃与力的值；

②依据题中新定义化简已知不等式，依据不等式组恰好有3个整数解，求出〃的范围

即可：

(2)由7(%,>>)=T(>>,x)列出关系式，整理后即可确定出。与力的关系式.

解答：解：(1)①依据题意得：T(l,-1)=^2i=-2,即〃-b=-2；

2-1

T=(4,2)=la±2b=i,即2。+匕=5,

8+2

解得：6=3；

2m+3(5-4m)

<4®

41rH*5-4m

②依据题意得:

irrf-3(3-2m)

》②

2nH*3-2m

由①得：论■工：

2

由②得：包，

5

・•・不等式组的解集为-工加〈上③，

25

•・•不等式组恰好有3个整数解,即用=0,1,2,

5

解得：-29V--；

3

（2）由T（x,y）=T（y,x）,得到也空空型，

2x+y2y+x

整理得：（x2-y2）（2b-a）=0,

T（x,y）=T（y,x）对随意实数x,y都成立，

.*.2b-«=0,即a=2Z?.

点评：此题考查了分式的湿合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，

弄清题中的新定义是解本题的关键.

28.（2024•株洲，第18题，4分）先化简，再求值：_1_・武二1・3（x-I）,其中尸2.

x-12

考点：分式的化简求值.

分析：原式第一项约分，去括号合并得到最简结果，将］的值代入计算即可求出值.

解答：解：原式=，-・（/1）_（X-0-3.r+3=2x+2-3x+3=5-x,

x-12

当x=2时，原式=5-2=3.

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

29.（2024•益阳，第16题，8分）先化简，再求值：（二一+2）（x-2）+（x-I）2,其中

x-2

考点：分式的化简求值.

分析：原式第一项利用乘法安排律计算，其次项利用完仝平方公式绽开，去括号合并得到最

简结果，将X的值代入计算即可求出值.

解答：解：原式=l+2x-4-f-2x+1=A2-2,

当尸时，原式=3-2=1.

点评：此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

30.（2024•呼和浩特，第17题5分）计算

（2）解方程：—^—-—1~=0.

X2+2Xx-2x

考点：解分式方程.

分析：（2）先去分母，化为整式方程求解即可.

解答：解：（2）去分母，得-6x-x2-2v=0,

解得汨=0,X2=4,

经检验：x=0是增根，

故工=4是原方程的解.

点评：本题考查了解分式方程，是基础学问要娴熟驾驭.

x2_1__X?-x

--------2

31.(2024•滨州，第20题7分)计算：x+1-x-2x+l.

考点：分式的乘除法

分析：把式子中的代数式进行因式分解，再约分求解.

解答：做X2-1X2~X(x+1)(X-1)X(X-1)

x+1x2-2x+lx+1(x-1)2

点评：本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是进行因式分解再约分.

a-卜/一b2

32.(2024•德州，第18题6分)先化简，再求值：----/--------I.其中〃=2s加60。

22

a+2ba+4ab+4b

-鼠〃?45°,b=\.

考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值

分析：先依据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出。的值，把。、〃的值代入进行

计算即可.

解答：加国士a-b.(a+b)(a-b)

解：原式二---------------------——-1

2

a+2b(a+2b)

a-b(a+2b)2

=------•------------------------I

a+2b(a+b)(a-b)

_a+2b_।

a+b

-,---b--,

a+b

当a=2sin600-心〃45。=2*立-\=J~j-1，氏1时，

2

原式=(,V/-3-iD、——+1=7-1=T=—3.

点评：本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，要熟记特殊角的三角函数值.

33.(2024•荷泽，第16题6分)

(2)已知x2-4x+l=0,求2(X-?,_也的值.

x-4x

考点:分式的化简求值.

分析:(2)化简以后，用整体思想代入即可得到答案.

解答:“、肉I、2x(x-1)-(x-4)(x-6)

解：(2)原式二--------------7-------K-------------------

x(x-4)

x2-4x124

x2-4x

,.*.r2-4.r+l=0,.*.x2-4.r=-I,

原式=-23

点评：本题考查了分式的化简，学会用整体思想解答有关问题是我们学习的关

键.

34.(2024•济宁，第16题6分)已知x+尸中求代数式工+1-(1-x)(I-y)的值.

xy

考点：分式的化简求值.

分析：首先将所求代数式绽开化简，然后整体代入即可求值.

解答：解：:x+y=x.y,

:.—+--(1-x)(1-y)

xy

=力-(l-x-y+9)

xy

=x+y-1+x+y-x)!

xy

=1-1+0

点评：此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型

35.（2024•济宁，第19题8分）济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队

担当.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参

加合做，两队又共同工作了36天完成.

（1）求乙工程队单独完成这项工作须要多少天？

（2）因工期的须要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部

分用了），天完成，其中x、y均为正整数，且xV46,>><52,求甲、乙两队各做了多少天？

考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用.

分析：（1）设乙工程队单独完成这项工作须要工天，由题意列出分式方程，求出x的值即

可；

（2）首先依据题意列出工和），的关系式，进而求出工的取值范围，结合x和），都是正

整数，即可求出x和），的值.

解答：解：（1）设乙T程队单独完成这项T作须要工天,由题意得

型+36CJ）=1,解之得％=80,

120120x

经检验480是原方程的解.

答：乙工程队单独做须要80天完成；

（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，

所以一三.十工=1,即y=80-4,又x<46,）V52,

120^03

80修〈52

所以3,解之得42VxV46,

x<46

因为x、y均为正整数，所以x=45,）=50,

答：甲队做了45天，乙队做了50天.

点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.此题

涉及