导学案数学第六章64643第1课时余弦定理

6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理【学习目标】1.掌握余弦定理的推导过程.2.会用余弦定理及其推论,解决三角形中的边角问题.3.能够利用余弦定理判断三角形的形状.【素养达成】逻辑推理、数学运算数学运算、逻辑推理一、余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2=b2+c22bccos__Ab2=a2+c22accos__Bc2=a2+b22abcos__C变形推论cosA=b2+c2-a22bc【教材挖掘】(P43)勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,你能说说这两个定理之间的关系吗?提示:余弦定理是勾股定理的推广,而勾股定理是余弦定理的特例.二、解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)余弦定理不适用于直角三角形.(×)提示:余弦定理适用任意三角形.(2)在△ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形.(×)提示:在△ABC中,若b2+c2>a2,只能说明cosA=b2+c2(3)若b2+c2a2=0,则A=90°.(√)提示:由余弦定理知cosA=0,A=90°.(4)在△ABC中,已知两边及夹角时,△ABC不一定唯一.(×)提示:在△ABC中,已知两边及夹角时,由余弦定理知第三边确定,三角形是确定的.类型一利用余弦定理解三角形(数学运算)角度1已知两边及夹角【典例1】(2024·晋城高一检测)在△ABC中,已知a=22,b=23,C=15°,解此三角形.【解析】因为c2=a2+b22abcosC=(22)2+(23=843=(6-2)2,所以由余弦定理可得,cosA=b2+c2-a22bc=(2【总结升华】已知两边及其夹角解三角形的步骤(1)求第三边;(2)利用余弦定理的推论求另一个角的余弦,并求出角;(3)利用三角形内角和等于180°求第三个角.【即学即练】已知在△ABC中,AB=2,AC=1,cosA=56,则BC=(A.1 B.52 C.53 D【解析】选D.由余弦定理知,BC2=AB2+AC22AB·ACcosA=4+12×2×1×56=53,所以BC=角度2已知三边【典例2】在△ABC中,已知a=23,b=22,c=6+2,求A,B,C.【解析】由余弦定理,得cosA=b2+c2-又0°<A<180°,所以A=60°.cosB=a2+c2-b22ac所以C=180°AB=75°.【总结升华】已知三边解三角形的步骤(1)利用余弦定理的推论求其中两个角的余弦值,并求出角;(2)利用三角形内角和等于180°求第三个角.【即学即练】已知△ABC的三边之比为3∶5∶7.求这个三角形的最大角.【解析】△ABC的三边之比为3∶5∶7,不妨设△ABC的三边长为3k,5k,7k(k>0),由大边对大角可知,长度为7k的边所对角为最大角,设最大角为θ,则cosθ=(3k)2+(5k)2-(故这个三角形的最大角为2π3类型二余弦定理的应用(逻辑推理、数学运算)角度1求角或边【典例3】(1)已知△ABC中,a2=b2+c23bc,则角A等于()A.π6 B.π3 C.2π3 【解析】选A.由△ABC中,a2=b2+c23bc,可得cosA=b2+c由于A∈(0,π),故A=π6(2)(2024·上海高一检测)在△ABC中,已知a=2,b=23,A=30°.求B,C及c.【解析】由余弦定理,得22=(23)2+c22×2即c26c+8=0,所以c=4或c=2.①当c=4时,cosB=22+4所以B=60°,从而C=180°30°60°=90°;②当c=2时,cosB=22+2所以B=120°,从而C=180°30°120°=30°.【总结升华】利用余弦定理求边或角(1)已知含有a,b,c的平方关系的等式,可以代入余弦定理的某个推论,求出角的余弦值后求角;(2)已知角的正弦时,可以用同角三角函数的基本关系求出余弦,再进一步用余弦定理求其他的边或角.提醒:已知正弦求余弦时有两种情况,需要根据条件判断或分类讨论.【即学即练】(2024·成都高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(ca)=(ba)(b+a),求角B.【解析】由c(ca)=(ba)(b+a)得a2+c2b2=ac,由余弦定理cosB=a2+c2-又B∈(0,π),所以B=π3角度2判断三角形的形状【典例4】(1)若a,b,c是△ABC的三边,且ca2+b2>1,则A.直角三角形 B.等边三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【解析】选D.因为ca2+b2>1,即a2+b2<c2,a2+b2c2<0,于是cos所以C为钝角,即△ABC为钝角三角形.(2)(2024·宝鸡高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=ccosB,则△ABC为()A.等腰三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选A.在△ABC中,由余弦定理得,cosC=a2+b2-因为bcosC=ccosB,所以b·a2+b2-即a2+b2c2=a2+c2b2,即b2=c2,又因为b>0,c>0,所以b=c,所以△ABC为等腰三角形.【总结升华】利用余弦定理判断三角形形状(1)化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断;(2)化边为角,通过恒等变换,得到三个角之间的关系进行判断.提醒:在上面两种方法的等式变形中,在等号两边同时约去公因式时,一定要考虑所约公因式是否为0.【即学即练】(2024·宿迁高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a+ccosA=b+ccosB,则△ABC为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【解析】选D.由余弦定理可得:a+c×b2+c2-a2即2a2b+ab2+ac2a3=2ab2+a2b+c2bb3,整理得(ab)(a2+b2c2)=0,得a=b或a2+b2=c2,所以△ABC为等腰或直角三角形.【补偿训练】(2024·商洛高一检测)在△ABC中,内角A,B,