导学案数学第六章62623向量的数乘运算

6.2.3向量的数乘运算【学习目标】1.理解向量数乘运算的概念与几何意义.2.掌握向量数乘运算的运算律,会进行向量的数乘运算.3.理解向量共线定理的含义,能解决相关的证明与计算问题.【素养达成】数学抽象、直观想象数学运算逻辑推理、数学运算一、向量的数乘运算1.定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.2.运算律:设λ,μ为实数,则有:(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;

(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地,有(λ)a=(λa)=λ(a);λ(ab)=λaλb.【教材挖掘】(P15)引入向量数乘运算后,你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗?提示:实数与原向量的积与原向量共线.【版本交融】(人BP150)数乘向量的几何意义是什么?提示:把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.二、线性运算1.定义:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.2.运算律:对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.三、向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.【版本交融】(北师P92)在非零向量a方向上的单位向量如何表示?提示:a|【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的乘积还是向量.(√)提示:由向量的数乘的定义知,实数λ与向量a的乘积还是向量.(2)对于任意实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b.(×)提示:当m=0时,ma=mb成立,a,b不一定相等.(3)对于非零向量a,8a的模是4a的模的2倍.(√)提示:一个数m乘一个向量a,结果是一个向量ma,其模是|m||a|,所以对于非零向量a,8a的模是4a的模的2倍.(4)若a∥b,则一定存在λ∈R,使得b=λa.(×)提示:当a=0,b≠0时,λa=0,此时不存在λ∈R,使得b=λa.类型一向量的线性运算(数学运算)【典例1】(教材提升·例5)计算:(1)5(3a2b)+4(2b3a);(2)13(a2b)14(3a2b)12((3)(x+y)a(xy)a.【解析】(1)5(3a2b)+4(2b3a)=(15a12a)+(10b+8b)=3a2b.(2)13(a2b)14(3a2b)12(=(13a34a12a)+(23b+12=1112a+13(3)(x+y)a(xy)a=(xaxa)+(ya+ya)=2ya.【总结升华】向量的线性运算(1)向量的线性运算类似于实数运算,遵循括号内的运算优先的原则,将共线的向量看作“同类项”进行合并;(2)要注意向量数乘的结果仍是向量,同时要在理解几何意义的基础上,熟练运用运算律.【即学即练】计算:(1)2(ab)+3(a+b);(2)12(a+b)+12(a(3)3(a+2b)2(a+3b)2(a+b).【解析】(1)2(ab)+3(a+b)=2a2b+3a+3b=5a+b;(2)12(a+b)+12(a=12a+12b+12=a;(3)3(a+2b)2(a+3b)2(a+b)=3a+6b2a6b2a2b=a2b.类型二向量的线性表示(直观想象)【典例2】(教材提升·例6)如图,四边形ABCD中,已知=2.(1)用,表示;(2)若=2,=34,用,表示.【解析】(1)因为=++,所以=++12=12;(2)因为=+=14=14(),所以=34+14=34·23+14=12+14.【总结升华】向量的线性表示(1)观察几何图形的特征,确定已知向量与要表示向量之间的关系;(2)结合向量运算的三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理,用已知向量表示所求向量.【即学即练】如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=23,=a,=b.用a,b表示,,,,.【解析】在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,则=+=+12=+12()=12+12=12a+12b,故=23=13a+13b=12=12b,==13a+13ba=13b23a==12ba.类型三向量共线定理的应用(逻辑推理、数学运算)角度1证明三点共线【典例3】设a,b是两个不共线的非零向量,已知=3a2b,=2a+4b,=2a4b,试判断A,C,D三点是否共线.【解析】共线.理由如下:因为=2a4b,且=+=(3a2b)+(2a+4b)=a+2b,故=2,所以与共线,因为与有公共点C,所以A,C,D三点共线.【总结升华】证明三点共线(1)利用向量共线定理证明三点构成的两个向量共线;(2)说明两个向量有公共点.【即学即练】已知e1,e2是两个不共线的向量,若=2e18e2,=e1+3e2,=2e1e2,求证:A,B,D三点共线.【证明】因为=e1+3e2,=2e1e2,所以==e14e2,又=2e18e2=2(e14e2),所以=2,因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.角度2求参数的值【典例4】(2024·朔州高一检测)已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值.【解析】因为ka+3b与2a+kb共线,所以存在实数λ,使ka+3b=λ(2a+kb),即(k2λ)a=(λk3)b.由于a,b不共线,所以k-2λ=0λk即实数k的值为6或6.【总结升华】求参数的值(1)利用向量共线定理引入参数,得到两个向量的关系式;(2)根据已知向量不共线得到对应系数相等,解方程组求出参数的值.【即学即练】设两个不共线的向量e1,e2,若向量a=2e13e2,b=2e1+3e2,向量c=2e19e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+ub与向量c共线?【解析】存在,λ=2μ.理由如下:因为d=λ(2e13e2)+u(2e1+3e2)=(2λ+2u)e1+(3u3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k使d=kc,即(2λ+2u)e1+(3λ+3u)e2=2ke19ke2.由2λ得λ=2μ,故存在这样的实数λ和μ,只要λ=2μ,就能使d与c共线.【教材深一度】平面内三点共线的充要条件若O是直线AB外的任意一点,若=x+y,则A,B,P三点共线的充要条件是x+