导学案数学第八章81第2课时圆柱圆锥圆台球简单组合体

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体【学习目标】1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及其结构特征,能够识别和区分这些几何体.2.了解简单组合体的概念和基本形式.3.会根据旋转体的几何特征进行相关运算.【素养达成】直观想象直观想象直观想象、数学运算一、圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征1.圆柱类别定义图形及记法圆柱以__矩形的一边__所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

记作:圆柱O'O2.圆锥类别定义图形及记法圆锥以直角三角形的__一条直角边__所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

记作:圆锥SO3.圆台类别定义图形及记法圆台用__平行__于圆锥底面的平面去截圆锥,__底面与截面__之间的部分叫做圆台

记作:圆台O'O【教材挖掘】(P102探究)圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台是否也可以由平面图形旋转得到?如果可以,由什么平面图形旋转得到?如何旋转?提示:可以,由直角梯形绕着垂直于底边的腰所在的直线旋转一周得到.【教材挖掘】(P103探究)当底面发生变化时,圆柱、圆锥与圆台是否可以互相转化?提示:可以,转化如图:【版本交融】(苏教版P157)充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成?提示:圆环绕与其相离的直线旋转一周.4.球类别定义图形及记法球半圆以它的__直径__所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球

记作:球O【教材挖掘】(P102)球和球面是同一个概念吗?它们有什么区别?提示:球面和球是两个完全不同的概念,球是球面围成的空间,球面是球的表面部分;球可以看作“实心”的,球面应看作“空心”的.【版本交融】(北师大版P209)用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆吗?怎样截球面得到的圆的半径最大?提示:是的,过球心的平面截球面得到的圆的半径最大.二、柱体、锥体、台体、球及简单几何体1.棱柱和圆柱统称为柱体,棱锥和圆锥统称为锥体,棱台和圆台统称为台体.2.由柱体、锥体、台体和球等简单几何体组合成的几何体称作简单组合体.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.(×)提示:当两个平行截面与底面不平行时,夹在它们间的几何体不是圆柱.(2)以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是圆锥.(×)提示:必须以直角边所在直线为轴,若以斜边所在直线为轴,形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的.(3)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.(×)提示:只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.类型一旋转体的概念(直观想象)角度1圆柱、圆锥、圆台【典例1】(1)下列说法正确的是()A.矩形绕一条直线旋转一周所得的旋转体是圆柱B.矩形绕一边所在直线旋转一周所得的旋转体是圆柱C.以等边三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D.以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台【解析】选B.矩形绕其一边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆柱,绕其对角线所在直线旋转一周得到的旋转体不是圆柱,A错误,B正确;以等边三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥,是两个圆锥的组合体,C错误;以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周才可以得到圆台,D错误.(2)(多选)下列说法中,正确的是()A.在圆柱上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线B.圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线C.在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线D.圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的【解析】选BD.根据圆柱、圆锥、圆台的定义和结构特征可知,只有B,D两个说法是正确的.【总结升华】判断旋转体形状的步骤(1)明确旋转轴l.(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系.(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状.【即学即练】下列说法不正确的是()A.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面B.圆柱、圆锥、圆台的侧面都是曲面C.圆锥的所有母线都交于一点D.圆台的任意两条母线的延长线不一定相交【解析】选D.根据定义,圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,侧面都是曲面,A,B正确;圆锥的所有母线都交于一点,即圆锥的顶点,由圆台与圆锥的关系,圆台的母线的延长线也交于该点,C正确,D不正确.角度2球【典例2】(多选)下列说法正确的是()A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线B.球面上任意两点的连线是球的直径C.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球【解析】选AC.A是正确的;B是错误的,只有两点的连线经过球心时才为直径;C是正确的;球面和球是两个不同的概念,以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面,球面围成的几何体叫做球,D是错误的.【总结升华】关于球的几何特征(1)正确理解相关的概念:如球面、球的区别,直径、半径的定义等.(2)利用实物、模具想象:如果涉及截面等问题,可以利用实物、模具观察结合直观想象解题.【即学即练】写出下列图形按要求旋转形成的封闭曲面所围成的几何体:(1)等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°;(2)圆绕其一条直径所在的直线旋转180°.【解析】(1)等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台,如图(1).(2)是一个球,如图(2).类型二简单组合体的结构特征(直观想象)【典例3】如图,分别写出虚线一面的平面图形绕虚线旋转一周形成的封闭曲面所围成的几何体的结构特征.【解析】(1)如图,几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成.(2)如图,几何体自上而下由圆锥、圆台、圆柱组合而成.(3)如图,几何体是一个大圆台挖去一个以大圆台上底面为下底面的小圆台形成的组合体.【总结升华】1.“旋转”组合体问题中的“两个明确”(1)明确由哪个平面图形旋转而成;(2)明确旋转轴是哪条直线.2.解“拼接、截去、挖空”组合体问题的常用思路(1)观察组合体的组成;(2)恰当地作出辅助线(或面),对原组合体进行分割.【即学即练】1.如图,将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是()A.圆锥B.圆锥和圆柱C.球D.一个圆锥内部挖去一个球【解析】选D.将题图中阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后形成的简单组合体.2.(多选)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是()A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C.由一个长方体割去一个四棱台所构成的D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的【解析】选AB.如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成,故A,B正确.【补偿训练】如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成了一个几何体,试描述该几何体的结构特征.【解析】如图所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.类型三旋转体中的计算问题(数学运算)【典例4】(1)一个半径为5cm的球,被一平面所截,球心到截面圆心的距离为4cm,则截面圆面积为________cm2.

【解析】设截面圆半径为rcm,则r2+42=52,所以r=3.所以截面圆面积为9πcm2.答案:9π(2)已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为__________.(用Q表示)

【解析】设圆柱的底面半径为r,则高为2r.所以4r2=Q,解得r=Q2,所以此圆柱的底面半径为Q答案:Q【总结升华】旋转体中有关计算问题的关注点(1)方法:利用轴截面,将立体问题平面化.(2)常见问题及解题策略:①圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.②圆台的轴截面,可将两腰延长相交后在三角形中求解.③球中的计算一般化为解直角三角形,设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d,则R2=d2+r2.【即学即练】1.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高h为