高考数学复习第八章立体几何初步第2节空间几何体的表面积与体积理

第2节空间几何体表面积与体积最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台表面积和体积计算公式.1/391.多面体表(侧)面积多面体各个面都是平面，则多面体侧面积就是全部侧面面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.知

识

梳

理2/392.圆柱、圆锥、圆台侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝________S圆锥侧＝______S圆台侧＝____________2πrlπrlπ(r1＋r2)l3/393.柱、锥、台和球表面积和体积Sh4πR24/39[惯用结论与微点提醒]1.长方体外接球2.正方体外接球、内切球及与各条棱相切球5/393.正四面体外接球与内切球(正四面体能够看作是正方体一部分) 6/39诊断自测1.思索辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体体积等于底面面积与高之积.(

)(2)球体积之比等于半径比平方.(

)(3)台体体积可转化为两个锥体体积之差.(

)7/39解析(1)锥体体积等于底面面积与高之积三分之一，故不正确.(2)球体积之比等于半径比立方，故不正确.答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√8/392.已知圆锥表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆半径为(

)解析

S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).答案

B9/393.(·浙江卷)某几何体三视图如图所表示(单位：cm)，则该几何体体积(单位：cm3)是(

)10/39答案A11/394.(·全国Ⅱ卷)体积为8正方体顶点都在同一球面上，则该球表面积为(

)答案

A12/3913/3914/396.(·浙江卷)某几何体三视图如图所表示(单位：cm)，则该几何体表面积是______cm2，体积是______cm3.15/39解析由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体长、宽、高分别为4cm、2cm、2cm，其直观图以下：其体积V＝2×2×2×4＝32(cm3)，因为两个长方体重合部分为一个边长为2正方形，所以表面积为S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2).答案72

3216/39考点一空间几何体表面积【例1】(1)某几何体三视图如图所表示，则该几何体表面积等于(

)17/39A.17π B.18π C.20π D.28π18/39解析

(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所表示.19/39(2)由题知，该几何体直观图如图所表示，它是一个球(被过球心O且相互垂直三个平面)答案

(1)B

(2)A20/39规律方法空间几何体表面积求法.(1)以三视图为载体几何体表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间位置关系及数量.(2)多面体表面积是各个面面积之和；组合体表面积注意衔接部分处理.(3)旋转体表面积问题注意其侧面展开图应用.21/39【训练1】(1)(·全国Ⅲ卷)如图所表示，网格纸上小正方形边长为1，粗实线画出是某多面体三视图，则该多面体表面积为(

)22/39(2)(·全国Ⅰ卷)某多面体三视图如图所表示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体各个面中有若干个是梯形，这些梯形面积之和为(

)A.10 B.12 C.14 D.1623/39答案

(1)B

(2)B24/39考点二空间几何体体积【例2】(1)(一题多解)(·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗实线画出是某几何体三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体体积为(

)A.90π

B.63π C.42π

D.36π25/39(2)(·浙江卷)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外点P和线段AC上点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD体积最大值是________.解析(1)法一

(割补法)由几何体三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所表示.26/3927/3928/39规律方法

空间几何体体积问题常见类型及解题策略(1)若所给定几何体是可直接用公式求解柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定几何体体积不能直接利用公式得出，则惯用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图形式给出几何体，则应先依据三视图得到几何体直观图，然后依据条件求解.29/39(2)(·浙江卷改编)某几何体三视图如图所表示(单位：cm)，则该几何体体积是________cm3.30/39(2)由三视图可知该几何体是由棱长为2cm正方体与底面边长为2cm正方形、高为2cm正四棱锥组成.31/39考点三多面体与球切、接问题(变式迁移)解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球体积V最大，则球与直三棱柱部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC内切圆半径为r.32/39答案

B33/39【变式迁移1】

若本例中条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C16个顶点都在球O球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O表面积.解将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1外接球.∴体对角线BC1长为球O直径.34/39【变式迁移2】

若本例中条件变为“正四棱锥顶点都在球O球面上”，若该棱锥高为4，底面边长为2，求该球体积.解如图，设球心为O，半径为r，35/39规律方法

空间几何体与球接、切问题求解方法(1)与球相关组合体问题，一个是内切，一个是外接.球与旋转体组合通常是作它们轴截面解题，球与多面体组合，经过多面体一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥三条侧棱两两垂直，可结构长方体或正方体确定直径处理外接问题.36/39【训练3】(1)(·全国Ⅲ卷)已知圆柱高为1，它两个底面圆周在直径为2同一个球球面上，则该圆柱体积为(

)