陕西省西安市莲湖区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

陕西省西安市2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．若x＞y，则下列不等式一定成立的是（）A．x-5＜y-5 B．-2x＞-2y C．x-y＜0 D．x3．下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，64．若等腰三角形的两边a，b满足a−2+A．8 B．10 C．12 D．8或105．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 第5题图 第6题图 第7题图6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（）A．AD⊥BC B．AB＝BC C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C7．如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD．若AD＝3cm，AC＝9cm，则BD的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm8．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝13x都经过点A（m，1），当kx+b＞1 A．x＜3 B．x＞3 C．x＜1 D．x＞1二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．若点A（2，-3）与点B（-2，m）关于原点对称，则m＝．10．如图，小明沿倾斜角∠ABC＝30°的山坡从山脚B点步行到山顶A点，共走了800m，则山的高度AC是m． 第10题图 第12题图11．若不等式组的解集为x>3x>n，其解为x＞n，则n的取值范围是12．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝45°，∠BOD＝60°，则∠BOC＝．13．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14．解不等式：x−14−2x+12⩾1．16．解不等式组4x−6<5(17．如图，下列网格是由边长为1的小正方形组成，在图中画出以AB为腰的等腰直角△ABC，使点C在小正方形的顶点上，且∠BAC＝90°．18．某宾馆重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价70元，楼梯宽2米，楼梯侧面及相关数据如图所示，求买地毯至少需要多少元？19．一次数学竞赛中，共有20道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分；80分以上（含80分）可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？20．若实数a使得关于x的不等式组x−1321．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．⑴将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；⑵以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．23．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB.求证：CD+AB＝AD．24．如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．25．为了庆祝建党102周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．（1）求A，B两种奖品的单价．（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的1326．在边长为10的等边△ABC中，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，（Ⅰ）求证：PD＝QD；（Ⅱ）求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，试确定BE、CD的数量关系，并说明理由．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A：属于轴对称图形，不属于中心对称图形，故A不满足题意；

B：属于中心对称图形，不属于轴对称图形，故B错误；

C：属于轴对称图形，不属于中心对称图形，故C不满足题意；

D：既是轴对称图形又是中心对称图形，故D满足题意.

故答案为：D.

【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.

中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵x>y，

∴x-5>y-5，-2x<-2y，x-y>0，x3>y3.

故答案为：D.

【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；

不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；3．【答案】C【解析】【解答】解：A：12+22=5，32=9，5≠9，故A错误；

B：22+32=13，42=16，13≠16，故B错误；

C：32+42=25，52=25，25=25，故C正确；

D：42+52=41，62=36，41≠36，故D错误.

故答案为：C.

【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵a−2+(b−4)2=0，

∴a-2=0、b-4=0，

∴a=2，b=4.

当a=2为等腰三角形的腰长时，此时不能构成三角形；5．【答案】C【解析】【解答】解：由垂线段最短的性质可得：当PQ⊥OA时，PQ取得最小值.

∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，PH=3，

∴PH=PQ=3.

故答案为：C.

【分析】由垂线段最短的性质可得：当PQ⊥OA时，PQ取得最小值，根据角平分线的性质可得PH=PQ，据此解答.6．【答案】B【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C.

故答案为：B.

【分析】等腰三角形底边的中线以及高线、顶角的角平分线重合，据此判断A、B、C；根据等腰三角形的两底角相等可判断D.7．【答案】A【解析】【解答】解：∵直线MN为BC的垂直平分线，

∴BD=CD.

∵AD=3cm，AC=9cm，

∴BD=CD=AC-AD=6cm.

故答案为：A.

【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=CD，然后利用线段的和差关系进行计算.8．【答案】A【解析】【解答】解：将A（m，1）代入y=13x中可得m=3，

∴A（3，1），

∴不等式kx+b>13x的解集为x<3.

故答案为：A.

【分析】将A（m，1）代入y=9．【答案】3【解析】【解答】解：∵点A（2，-3）与点B（-2，m）关于原点对称，

∴m=3.

故答案为：3.

【分析】关于原点对称的点：横、纵坐标均互为相反数，据此解答.10．【答案】400【解析】【解答】解：由题意可得：∠ABC=30°，AB=800m.

∵sin∠ABC=ACAB，

∴AC=AB·sin60°=800×12=400.

故答案为：400.11．【答案】n≥3【解析】【解答】解：不等式组x>3x>n的解集为x＞n，

∴n≥3.

故答案为：n≥3.

12．【答案】15°【解析】【解答】解：∵将△AOB绕着点O顺时针旋转得到△COD，∠AOB＝45°，

∴∠AOB=∠COD=45°.

∵∠BOD＝60°，

∴∠BOC=∠BOD-∠COD=60°-45°=15°.

故答案为：15°.

【分析】根据旋转的性质可得∠AOB=∠COD=45°，然后根据∠BOC=∠BOD-∠COD​​​​​​​进行计算.13．【答案】17【解析】【解答】解：画出示意图：

∵一个六边形的六个内角都是120°，

∴三角形的每个内角均为60°，

∴△CDE、△BFG、△AHI、△ABC为等边三角形，

∴CE=2，BF=3，

∴BC=CE+EF+BF=2+3+4=9，

∴AH=AB-GH-BG=9-1-3=5，

∴DI=AC-AI-CD=9-5-2=2，HI=AH=5，

∴六边形的周长为1+3+4+2+2+5=17.

故答案为：17.

【分析】画出示意图，由已知条件结合邻补角的性质可得△CDE、△BFG、△AHI、△ABC为等边三角形，则CE=2，BF=3，然后求出BC、AH、DI、HI、AH的长，据此不难求出周长.14．【答案】解：∵x−14∴x-1-2（2x+1）≥4，x-1-4x-2≥4，x-4x≥4+1+2，-3x≥7，则x≤-73【解析】【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解.15．【答案】解：4x+6>1−x①3由不等式①移项得：4x+x＞1-6，整理得：5x＞-5，解得：x＞-1，…（1分）由不等式②去括号得：3x-3≤x+5，移项得：3x-x≤5+3，合并得：2x≤8，解得：x≤4，…则不等式组的解集为-1＜x≤4．…在数轴上表示不等式组的解集如图所示，…【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，找出解集的公共部分即为不等式组的解集，然后根据解集的表示方法表示在数轴上.16．【答案】解：4x−6<5解不等式①得：x＞-1，解不等式②得：x<14不等式组的解集为−1<x<14∴正整数解有1，2，3，4．【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集，进而可得不等式组的正整数解.17．【答案】解：如图，△ABC即为所求．【解析】【分析】等腰直角三角形的两腰相等，据此进行作图.18．【答案】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6米，4米，∴地毯的长度为：6+4＝10（米），地毯的面积为：10×2＝20（平方米），∴买地毯至少需要：20×70＝1400（元）．答：买地毯至少需要1400元．【解析】【分析】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6米，4米，分别求出地毯的长度以及地毯的面积，然后乘以每平方米的售价即可.19．【答案】解：设答对x题，那么答错或者不答的有(20−x)题，由题意得：6x−2(20−x)≥80，解得：x≥15，答：至少要答对15题．【解析】【分析】根据题意先求出6x−2(20−x)≥80，再求解即可。20．【答案】解：由x−13由6x-5≥a得x⩾∵不等式组至少有4个整数解，即至少有0，1，2，3，4个整数解，∴a+56∴a≤-5．【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，结合不等式组仅有4个整数解可得关于a的不等式，求解即可.21．【答案】解：连接AC，如图所示：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，由勾股定理得：AC＝42∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴铺满草坪的面积S＝S△ACB-S△ADC＝12×5×12-12×3×4＝24（m答：这块空地铺满草坪的面积是24m2．【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理可得AC的值，根据勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，然后根据铺满草坪的面积S＝S△ACB-S△ADC结合三角形的面积公式进行计算.22．【答案】解：⑴如图，△A1B1C1即为所求；⑵如图，△A2B2C2即为所求．【解析】【分析】（1）分别将点A、B、C先向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）以O为旋转中心，将点A、B、C绕点O旋转180°得到A2、B2、C2，然后顺次连接即可.23．【答案】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，∴BE＝EF，在Rt△EFA和Rt△EBA中，EF=EBAE=AE∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．∴AF＝AB，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝EF，在Rt△EFD和Rt△ECD中，EF=ECDE=DE∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．∴DF＝CD，∴CD+AB＝DF+AF＝AD，∴CD+AB＝AD．【解析】【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质可得BE＝EF，利用HL证明Rt△EFA≌Rt△EBA，得到AF＝AB，由中点的概念可得BE＝CE＝EF，利用HL证明Rt△EFD和≌Rt△ECD，得到DF＝CD，然后根据线段的和差关系进行证明.24．【答案】（1）解：连接PP′由题意可知AP′＝PC＝10，BP′＝BP，∠PBC＝∠P′BA，而∠PBC+∠ABP＝60°，所以∠PBP′＝60度．故△BPP′为等边三角形，所以PP′＝BP＝BP′＝6；（2）解：利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+AP2＝AP′2，所以△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，可求∠APB＝90°+60°＝150°．【解析】【分析】（1）连接PP′，由题意可知AP′=PC=10，BP′=BP，根据旋转的性质可得∠PBC＝∠P′BA，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠PBC+∠ABP＝60°，进而推出△BPP′为等边三角形，据此解答；

（2）利用勾股定理的逆定理知△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，然后根据∠APB=∠APP′+∠P′PB进行计算.25．【答案】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，由题意得：x+4y=1205x+6y=250解得：x=20y=25答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；（2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40-m）个，由题意得：60−m⩾1解得：43≤m≤45，∵m为整数，∴m可取43或44或45，∴60-m＝17或16或15，∴学校有三种购买方案：方案一、购买A种奖品43个，购买B种奖品17个；方案二、购买A种奖品44个，购买B种奖品16个；方案三、购买A种奖品45个，购买B种奖品15个．【解析】【分析】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元可得x+4y=120；根据购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元可得5x+6y=250，联立求解即可；

（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(40-m)个，根据B种奖品的数量不少于A种奖品数量