上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期阶段练习一（3月月考）数学试题（原卷版+解析版）

高二数学阶段练习一（20250314）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1若事件、互斥，则______．2.已知为正整数．若，则______．3.已知，若双曲线右焦点恰好是抛物线的焦点，则______．4.将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为______．5.已知，空间向量，，．若，，共面，则______．6.的展开式中，常数项为___________.7.某同学做最后两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个答案正确，该学生随意填写两个答案，则选对一题的概率是_______．8.若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是________.9.已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为____________10.某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有______种不同的停放方式．11.长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是______．12.已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为______．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）13.已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（）A.是对立事件 B.不是互斥事件C.互斥但不是对立事件 D.是不可能事件14.如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（）A. B. C. D.或15.今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（）A.二 B.三 C.四 D.五16.设函数的图象由方程确定．对于函数，给出下列命题：①对于任意的且，恒有成立；②对于任意的，恒有成立；③在函数的图像上可以找到一点，使得到原点的距离小于．则其中真命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点．（1）求线段的垂直平分线的方程；（2）设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值．18.设．已知．（1）当时，求的展开式中项的系数；（2）若，求，，，…，中的最大值．19.已知盒中有大小、质地相同红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，．①写出一个等可能的样本空间；②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平．20.已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点．（1）求双曲线方程；（2）若，求点的坐标；（3）设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由．21.已知抛物线：和圆：，抛物线的焦点为．（1）求的圆心到抛物线的准线的距离；（2）设点在抛物线上，且满足，过点作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的取值范围；（3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于、、、四点，证明：“”的充要条件是“直线的方程为”．

高二数学阶段练习一（20250314）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1若事件、互斥，则______．2.已知为正整数．若，则______．3.已知，若双曲线右焦点恰好是抛物线的焦点，则______．4.将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为______．5.已知，空间向量，，．若，，共面，则______．6.的展开式中，常数项为___________.7.某同学做最后两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个答案正确，该学生随意填写两个答案，则选对一题的概率是_______．8.若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是________.9.已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为____________10.某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有______种不同的停放方式．11.长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是______．12.已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为______．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）13.已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（）A.是对立事件 B.不是互斥事件C.互斥但不是对立事件 D.是不可能事件14.如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（）A. B. C. D.或15.今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（）A.二 B.三 C.四 D.五16.设函数的图象由方程确定．对于函数，给出下列命题：①对于任意的且，恒有成立；②对于任意的，恒有成立；③在函数的图像上可以找到一点，使得到原点的距离小于．则其中真命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点．（1）求线段的垂直平分线的方程；（2）设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值．18.设．已知．（1）当时，求的展开式中项的系数；（2）若，求，，，…，中的最大值．19.已知盒中有大小、质地相同红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，．①写出一个等可能的样本空间；②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平．20.已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点．（1）求双曲线方程；（2）若，求点的坐标；（3）设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的