数学知识导引随机事件的概率

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.1。2随机事件的概率案例探究一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n554496071352017190男婴数nA2883497069948892（1)计算男婴出生频率（保留4位小数)；（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？解析：（1）计算即得到男婴出生频率依次是：0。5200,0.5173,0.5173,0。5173.（2）由于这些频率非常接近0.5173，因而这一地区男婴出生的概率约为0。5173.自学导引1．在相同的条件下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数na为事件A出现的频数，比值称为事件A出现的频率，记作fn(A）.2．对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率稳定在某个常数上，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，把这个常数称为事件A的概率,记作P（A).3．一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次,当试验的次数n很大时，我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)≈。4．从定义中，可以看出随机事件A的概率满足0≤P（A）≤1.这是因为在n次试验中，事件A发生的频数m满足0≤m≤n，所以0≤m[］n≤1；当A是必然事件时P（A）=1，当A是不可能事件时，P（A）=0.5．如何正确理解“频率”与概率之间的关系？答：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率。概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率。疑难剖析对概念的理解是学好本节的关键.概率可以看作频率在理论上的期望值，而随机事件的频率可以看作是其概率的随机表现;随机事件的概率是事件固有的,客观存在的，可以在相同条件下通过大量重复试验予以识别和检验，而不能以一次或少数次的试验结果下判断.【例1】某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：射击次数100120150100150160150击中飞碟数819512382119127121击中飞碟的频率（1）将各次记录击中飞碟的频率填入表中；（2）这个运动员击中飞碟的概率约为多少？思路分析：利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率,然后根据频率估计出运动员击中飞碟概率的近似值。解：(1）射中次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是=0.81，同理可求得下面的频率依次是0。792，0.820,0。820,0.793，0.794,0。807；(2）击中飞碟的频率稳定在0。81的附近.故这个运动员击中飞碟的概率约为0。81。思维启示：事件A发生的频率记录的是重复试验中事件A发生后的统计结果.事件A发生的概率描述的是事件A发生的可能性的大小，两者是不同的概念，但在大量的试验结果面前,可用频率近似表示概率。事件A的频率可有小幅变化和波动，但其概率是一个常数.【例2】用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下:直径个数6.88〈d≤6。8916.89<d≤6。9026。90<d≤6。91106。91〈d≤6.92176.92<d≤6.93176。93<d≤6。94266。94<d≤6.95156。95<d≤6。9686。96<d≤6。9726.97〈d≤6.982从这100个螺母中，任意抽取一个，求事件A（6．92<d≤6．94）、事件B(6．90<d≤6．96）、事件C(6．96<d≤6．98）、事件D（6．88<d≤6．89）的频率。解：事件A的频率为：=0。43事件B的频率为：=0.93事件C的频率为：=0.04事件D的频率为：=0。01思维陷阱：下表是计算机模拟掷硬币的试验结果，试对其频率进行分析。试验次数正面朝上的频数正面朝上的频率540.81060。61560。420140。725110.4430160.53333335180。51428640200.545200.44444450200。455260.47272760310.51666765300.46153870350.575340。45333380380。47585430。50588290460.51111195560。589474100530.53错解1：当试验次数为5时，“正面朝上”的频率是0。8,故可作出结论：当试验次数为5时,正面朝上的概率是0.8．错解2：根据对试验次数是5，10,15，20，25的频率分析,正面朝上的频率是0。8，0。6，0.4,0。7,0.44．即使当试验次数为50时，正面朝上的频率仍为0.4．故正面朝上的频率不具有一种统计规律性.错因分析：上述两种解法错误的原因是把频率等同于概率。随机事件的概率是事件固有的，不随试验次数的改变而改变.而频率是随着试验次数的改变而改变，在相同条件下可以通过大量重复试验，利用频率的稳定值来估计概率，但是不能以一次或少数次的试验结果下判断。正解：在抛掷硬币的试验中,“正面朝上”的频率仍是一个随机变量，当试验次数很小时，频率不具有规律性，但是在大量重复试验后，随着次数的增加，频率逐步地稳定在0。5上,在其附近摆动.因此可以估计“正面朝上"的频率是0.5．【例3】已知如下两表：表1抛掷硬币试验结果表抛掷次数(n）正面向上次数（m）正面向上频率（）204810610。5181404020480.50691200060190.501624000120120。500530000149840。499672088361240.5011表2某批兵兵球产品质量检查结果表抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率0.90。920.970.940。9540。951试根据表1、表2结果比较两个不同事件发生的可能性的大小.解：从表1可以看出，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面向上的频率值是稳定的，接近于常数0。5，在它附近摆动.所以掷一枚硬币掷出“正面向上"的概率为0。5,即出现“正面向上"的可能性是50%．从表2可以看出，当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于0.95,在它附近摆动。所以任取一个乒乓球得到优等品的概率是0。95,即得到优等品的可能性是95%．于是抛掷硬币时正面向上的可能性比抽查乒乓球时抽到优等品的可能性要小得多。思维启示：利用随机事件概率的统计定义，可以比较不同事件发生的可能性大小.【例4】孟德尔的豌豆试验数据，孟德尔用黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是黄色的.第二年，当他把第一年收获的黄色豌豆再种下时,收获的豌豆既有黄色的，又有绿色的。具体数据如下表：性状显性隐性显性∶隐性子叶的颜色黄色6022绿色20013.01∶1请你用概率的知识解释一下这个遗传规律.解析:纯黄色和纯绿色的豌豆均有两个特征（用符号YY代表纯黄色豌豆的两个特征，符号yy代表纯绿色豌豆的两个特征）。如右图所示，当纯黄色和纯绿色这两种豌豆杂交时,下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征，于是第一年收获的豌豆特征为Yy．当把第一代杂交豌豆再种下时，下一代同样是从父母辈中各随机地选取一个特征，所以第二代的豌豆特征为：YY，Yy，yy．这里对于豌豆来说Y是显性因子，y是隐性因子，当显性因子与隐性因子组合时，表现出显性因子的特征，即YY,Yy皆呈黄色，yy呈绿色,因此在第二代中YY与yy出现的概率都是，Yy出现的概率为，所以黄色豌豆(YY，Yy）∶绿色豌豆（yy）=3∶1。拓展迁移【拓展点1】某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈吗?解析：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10％,指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加,大约有10%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前9个病人没有治愈是可能的。对第10个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈,也可能没有治愈.【拓展点2】在42位美国总统中,有两人的生日相同，三人卒日相同。什尔克生于1795年11月2日，哈定则生于1865年11月2日;门罗卒于1831年7月4日，而亚当斯、杰佛逊都卒于1826年7月4日.还有两位总统的死期都是3月8日：费尔莫死于1874年，塔夫脱死于1930年,这是巧合吗？记n为相关的人数，n个人中至少有两人的生日在同一天的概率为P（A），则有下表：n102023304050P(A)0.120.410.510。710。890。97试用上表解释上述现象.解析：上表所列的答案足以引起多数人的惊奇,因为“至少两个人的生日相同”这件事情发生的概率，并不如大多数人直觉想象中的那样小，而是相当大，由表中可以看出，当人数是40时，“至少有两人相同生日”的概率为0。89，因此，在42位美国总统中，有两人生日相