数学知识导引古典概型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3．2古典概型案例探究某班数学兴趣小组有男生和女生各2名,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，请思考下列问题:(1）恰好有一名参赛学生是男生的概率；(2)至少有一名参赛学生是男生的概率；(3)至多有一名参赛学生是男生的概率。分析：由题设知，此题属于古典概型。先算基本事件总数，然后再计算各类事件发生的概率。解:基本事件有：（男1，男2),（男1,女1），（男1，女2),（男2,女1），(男2，女2），(女1,女2)，共6个。（1）恰好有一参赛男生的基本事件有:（男1，女1）,（男1，女2)，（男2，女1),(男2，女2）。共4个,所以这一事件的概率为P==.（2)至少有一名参赛男生的基本事件有：（男1，男2）,（男1,女1)，(男1，女2)，(男2,女2）,（男2,女1).共有5种不同的结果，所以，所求事件的概率为P=．（3）至多有一名参赛男生的基本事件有:（男1，女1），（男1，女2），（男2,女1），（男2,女2），（女1,女2)。共有5种不同的结果，所以,所求事件的概率为P=．自学导引1．在1次试验中可能出现的每一个基本结果,称为基本事件。若在1次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。2．(1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）。我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概型。3．如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含的基本事件有m个，那么事件A的概率P（A）=.4．先后抛掷两枚硬币，观察正反面出现的情况，在此试验中有哪些基本事件？答：它有4个基本事件，分别是（正,正），（正，反），（反,正）,（反，反）。其中（正，正）代表第1和第2枚硬币都出现正面,（正，反）代表1枚硬币出现正面而第2枚硬币出现反面,(反,正)代表第1枚硬币出现反面而第2枚硬币出现正面，（反，反）代表第1和第2枚硬币都出现反面.5．是不是所有的试验都是古典概型？举例说明.（1）一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性。（2)并不是所有的试验都是古典概型.例如，在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件空间为{发芽,不发芽}，而“发芽"与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的。又如，从规格直径为300mm±0。6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d，测量值可能是从299．4mm到300。6mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个。这两个试验都不属于古典概型。疑难剖析【例1】掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数,写出所有的基本事件,说明其是否是古典概型.思路分析：因为骰子为立方体形状，其六个面分别对应1点、2点、…、6点，所以基本事件应有6个。解：有6个基本事件，分别是“出现1点”，“出现2点”，…“出现6点"。因为骰子的质地均匀,所以每个基本事件的发生是等可能的，因此它是古典概型.思维启示：基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘.【例2】掷一颗骰子，观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。思路分析:掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性,因此是古典概型.解：这个试验的基本事件共有6个，即(出现1点)、（出现2点)、…、（出现6点），所以基本事件数n=6,事件A=｛掷得奇数点｝=｛出现1点，出现3点，出现5点}，其包含的基本事件数m=3。所以，P（A)====0。5．思维陷阱：如一个口袋内装有大小相等的3个黑球和2个白球,从中摸出一个球，求摸出一个黑球的概率。错解：从中摸出一球的可能结果有两种“黑球”“白球”，则摸出一黑球的概率为.错因分析：因为黑球数高于白球数，因此摸到黑球的机会就大于摸到白球的机会，它们不是等可能的，因此上述解法不正确。正解：我们把3个黑球分别标上“A、B、C”三个字母加以区分，把两个白球标上“D、E”以示区分。那么摸出一个球的所有结果为“黑A”“黑B”“黑C”“白D”“白E”，共五种，因此摸出一个黑球的概率为．思维启示：利用古典概型公式P（A）=求概率的步骤:（1）首先检验是否是古典概型，即基本事件是否有限个.每个基本事件是否具有等可能性；（2）利用列举法把等可能的基本事件一一列出.从而求出基本事件总数n及所求事件包含基本事件的个数m；（3）利用公式P(A)=求出事件的概率。【例3】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，求：（1)一共有多少种不同的结果？（2)其中向上的数之和是5的结果有多少种?（3)向上的数之和是5的概率是多少？(4）向上的数之和是5的倍数的概率是多少？思路分析：由于骰子的质地是均匀的，故先后抛掷的结果是等可能的，可把基本事件一一列出，然后根据事件求出概率.（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，共有以下不同的结果.123456123456(1,1)（1,2）(1，3)（1,4）（1，5)（1,6）(2，1）(2，2）(2,3)(2，4）（2，5)(2，6)(3，1)(3，2）（3,3）(3,4)(3,5）(3，6）(4,1）(4,2）（4，3）（4，4）（4,5）(4，6）（5,1)(5，2）(5，3）（5,4）(5，5）(5，6)（6,1）（6,2）(6,3)(6,4）（6，5)(6，6)即共有36种不同的结果.（2)在上面的结果中，向上的数之和为5的结果有：（1，4），(2，3)，（3,2)，（4,1），共4种.(3)由于骰子的质地是均匀的，所以将它抛掷两次的所有36种结果是等可能出现的,其中向上的数之和为5的结果（记为事件A)有4种，因此，所求的概率为P（A）==．（4)出现向上的数之和为5的倍数的事件(记为事件B）有：（1，4），（2,3）,（3，2），（4，1），(4,6），(6，4），(5，5).共7种不同结果，且都是等可能的，所以其概率为P（B）=．思维启示：求概率时,常常把全体基本事件一一列出，以便我们准确地找出基本事件总数，以及某事件所含的基本事件个数。这是我们初学概率最常用、最基本的方法.【例4】一个盒子里装有标号1、2、…、10的标签，今随机地选取两张标签,根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率:（1）标签的选取是无放回的;（2）标签的选取是有放回的。思路分析：首先要弄清基本事件个数，然后用古典概型概率公式P（A）=求解.解：随机地选取两张标签，记事件A为“两张标签上的数字为相邻整数”，可能结果为(1,2），（2，3）,（3，4），…，（9，10）共9种.（1）如果标签是无放回的，按抽取顺序记录为（x,y）则x有10种可能,y有9种可能，但（x、y）与（y、x）是一样的,共有可能的结果为10×9÷2=45种，因此事件A的概率为P（A）==．(2）如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果（x、y），则x有10种可能，y有10种可能，但(x、y）与（y、x)是一样的,共有可能结果10×10÷2=50种。因此事件A的概率为.思维启示：准确把握不同条件下的基本事件总数。对于不放回抽样，计算基本事件个数既可看作有顺序的,也可看作无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致，否则会产生错误。对于有放回的抽样,计算基本事件个数只能看作是无序的，若看作是有序的,则各个基本事件就不是等可能的情况，不符合古典概型。【例5】每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲。同样地，他的父亲和母亲的基因也有两份。在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代。以褐色颜色的眼睛为例.每个人都有一份基因显示他的眼睛颜色：（1）眼睛为褐色；(2）眼睛不为褐色.如果孩子得到的父母的基因都是“眼睛为褐色”的基因，则孩子的眼睛也为褐色。如果孩子得到的父母的基因都为“眼睛不为褐色”的基因，则孩子眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他的基因）.如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”的,另一份为“眼睛不为褐色”的，则孩子的眼睛不会出现两种可能,而只会出现眼睛颜色为褐色的情况.生物学家把“眼睛为褐色"的基因叫做显性基因。方便起见，我们用它母B代表“眼睛为褐色”这个显性基因，用b代表“眼睛不为褐色"这个基因。每个人都有两份基因，控制一个人眼睛颜色的基因有BB,Bb（表示父亲提供基因B,母亲提供基因b），bB，bB．注意在BB，Bb,bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为眼睛颜色不为褐色,其他的基因都显示眼睛颜色为褐色.假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，则孩子眼睛不为褐色的概率有多大？解析：由于父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，从而孩子有可能产生的基因有4种，即BB，Bb,bB，bb(右图）.又因为父亲或母亲提供给孩子基因B或b的概率是一样的，所以可以认为孩子的基因是这4种中的任何一种的可能性是一样的。因此,这是一个古典概型问题.只有当孩子的基因为bb时，眼睛才不为褐色，所以，（1)“孩子眼睛为褐色”这个随机事件发生的概率为=0。75．（2)“孩子眼睛不为褐色”这个随机事件发生的概率为=0.25．拓展迁移【拓展点1】若以连续两次掷骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标（m,n），求点P落在圆x2+y2=18内的概率.解析：易知基本事件有36个,事件“点P（m,n）在圆x2+y2=18内”包括下列10个基本事件:(1，1），(1，2）（1，3）,（1,4)，(2，1），（2，2），（2，3）,(3，1）,（3，2），(4，1）。故所求概率是=．【拓展点2】在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？解析:我们可以探讨正确答案的所有结果：如果只有一个答案是正确的,则有4种;如果有两个答案是正确，则正确答案可以是（A、B）、（A、C）、（A、D)、（B、C）、（B、D）、（C、D）6种.如果有三个答案是正确的，则正确答案可以是(A、B、C）、（A、C、D）、(A、B、D)、(B、C、D）4种.如果四个都正确,则正确答案只有1种.故正确答案的所有可能结果有4+6+4+1=15种，从这15种答案中任取一种的可能性只有．因此更难猜对。【拓展点3】齐王与田忌赛马