数学-知识导航演绎推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。1。2演绎推理知识梳理1.三段论的公式中包含三个命题，第一个命题称为___________，它提供了一个___________；第二个命题叫_____________，它指出了一个_____________，这两个判断结合起来，揭示了_____________与_____________的内在联系,从而得到第三个命题_____________.2。演绎推理的主要形式为_____________，常用格式为_______________________________。知识导学演绎推理也是我们学习和生活中经常使用的一种推理形式,特别地，数学论证主要通过演绎推理来进行.学习时应结合具体例子体会演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以其前提和结论之间的联系是必然的，因此，在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确。“三段论”是演绎推理的一般模式,在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误,所以在学习时，要结合正、反两方面的例子来加以辨别，在以后的学习中弄清每一个环节,使自己的逻辑思维清楚,正确地表述出推证的结论。有些错误比较隐蔽，不易辨别,学习时分清大前提、小前提，并逐一判断，不要犯逻辑错误，切不可循环论证。仔细体会合情推理与演绎推理的联系和差异，合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.疑难突破三段论推理剖析：三段论中大前提是一个一般性结论，都具有的结论,是共性,小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论。要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误,结论就不正确,如所有的动物都用肺呼吸，鱼是动物，所以鱼是用肺呼吸，此推理显然错误,错误的原因是大前提错。再如所有的能被2整除的数是偶数，合数是偶数,所以合数能被2整除。错误的原因为小前提错。为了方便,在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式.典题精讲【例1】梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角.图2-1-9已知:在如图2-1-9所示梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线。求证：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA。思路分析：本题可由三段论逐步推理论证。证明：(1）等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC是等腰三角形，DA、DC为两腰，（小前提）∴∠1=∠2。(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角，（小前提）∴∠1=∠3。（结论）（3）等于同一个量的两个量相等，（大前提)∠2和∠3都等于∠1,(小前提）∴∠2=∠3.（结论)即AC平分∠BCD.(4）同理DB平分∠CBA.绿色通道：命题的推理证明为多个三段论,称为复合三段论.事实上，每一次三段论的大前提可不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论,也可不再写出,即过程可简写。变式训练：如图2—1—10所示，D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点,∠BFD=∠A，DE∥BA.图2-1—10求证:ED=AF。证明：(1)同位角相等，两条直线平行，（大前提)∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提)∴DF∥EA。(结论)（2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA，且DF∥EA，（小前提）∴四边形AFDE为平行四边形。(结论)（3)平行四边形的对边相等，(大前提）ED和AF为平行四边形的对边，（小前提)∴ED=AF.（结论)【例2】如图2-1—11所示，A、B、C、D四点不共面，M、N分别是△ABD和△BCD的重心。求证：MN∥平面ACD。图2—1—11思路分析：证明线面平行，关键是在面内找到一条直线与已知直线平行即可,本题是三段论证明的应用。证明：连结BM、BN并延长分别交AD、DC于P、Q两点，连结PQ.∵M、N分别是△ABD和△BCD的重心，∴P、Q分别为AD、DC的中点。又∵B，∴MN∥PQ.又∵MN平面ADC，PQ平面ADC，∴MN∥平面ACD。绿色通道：本题为一个三段论推理的问题，可以简写，遵循的原则是:如果ab，bc，则ac.变式训练:如图2—1-12所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ。图2—1—12证明：连结AC交BD于O。∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC.连结OQ，又OQ是△APC的中位线，∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外，OQ平面BDQ，∴PC∥平面BDQ。【例3】证明函数f(x)=x6-x3+x2—x+1的值恒为正数。思路分析：可对x的所有不同取值逐一给出证明，即完全归纳推理.证明:当x＜0时,f（x)各项都是正数,∴当x＜0时，f(x)为正数.当0≤x≤1时，f（x）=x6+x2(1—x）+（1—x)＞0.当x＞1时,f(x）=x3(x3—1）+x（x—1）+1＞0。综上所述f（x）的值恒为正数。绿色通道：有关代数运算推理,也可用三段论表述，注意大前提和小前提必须明确.变式训练:证明函数f(x）=—x2+2x在(—∞,1］上是增函数.证明：任取x1，x2∈（-∞,1］,且x1＜x2。则有f(x1）-f（x2)=(—x12+2x1）—(-x22+2x2）=(x2-x1）(x2+x1-2）.∵x1＜x2，∴x2-x1＞0.∵x1，x2≤1，x1≠x2,∴x2+x1-2＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f（x2).∴根据三段论,知f(x）=-x2+2x在(—∞，1]上是增函数.问题探究问题：自然数平方和公式的推导.导思：探究时我们可直接相加,但有可能出现问题.我们可从失败中吸取教训，不能气馁，继续探究，找到一点有用的信息反复尝试探究,培养自己坚忍不拔的意志,勇于探索.探究：尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和。（1）把自然数的平方表示出来,12=122=（1+1）2=12+2×1+132=（2+1)2=22+2×2+142=（3+1）2=32+2×3+1……n2=（n—1）2+2(n—1）+1左右两边分别相加得。S2（n）=［S2（n)—n2]+[2S1(n）—2n］+n.等式两边的S2(n)被消去了,无法从中求出S2(n)的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息进行新的尝试。前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),却求出了S1(n)的表达式，即S1(n）=，它启示我们，既然能用上面的方法求出S1（n），那么我们也应该可以用类似的方法求出S2（n）.(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。具体方法如下：13=123=（1+1)3=13+3