数学知识导航平均变化率瞬时变化率-导数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。1导数的概念1。1。1平均变化率1.1。2瞬时变化率——导数知识梳理1。函数f(x）在区间［x1，x2］上的平均变化率为___________.2。设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t），当Δt趋近于0时，函数f(t）在t0+Δt之间的平均变化率趋近于常数。我们把这个常数称为t0时刻的____________.3.函数y=f（x)在x0处的导数f′（x0)的几何意义，就是曲线y=f（x）在(x0，f(x0))处切线的斜率,即k=f′（x0）=_____________.知识导学要学好本节内容，最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念。本节的重点是导数的定义及其几何意义，难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数,及两种变化率之间的关系。疑难突破1。正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系。剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量,平均变化率表示的是曲线在某区间上的变化趋势；瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势。2。怎样理解导数的定义及几何意义?剖析:导数是函数在某一点处的瞬时变化率，导数的几何意义就是曲线y=f（x)在点P(x0，f（x0）)处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解导数的定义是本节的关键。典题精讲【例1】已知f（x）=x2,求曲线y=f（x)在x=3处的切线斜率.思路分析：为求得过点（3,9）处的切线斜率，我们从经过点（3，9）的任意一条直线(割线）入手。解：设P（3，9),Q(3+Δx，（3+Δx）2)，则割线PQ的斜率为kPQ==6+Δx。当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数6,从而曲线y=f(x)在点P(3，9)处的切线斜率为6。绿色通道:利用割线逼近切线的方法，求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观的解题方法。变式训练：已知f(x）=2x2，求曲线y=f(x）在x=1处的切线斜率。思路分析:为求得过点（1,2)处的切线斜率，我们从经过点（1，2)的任意一条直线(割线）入手。解：设P(1,2）,Q（1+Δx,2（1+Δx）2),则割线PQ的斜率为kPQ==4+2Δx。当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f（x）在点P(1,2)处的切线斜率为4.【例2】已知f(x)=x2+3。（1)求f（x）在x=1处的导数；(2）求f（x)在x=a处的导数。思路分析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概念是正确解题的关键。解：(1)因为=2+Δx，当Δx无限趋近于0时，2+Δx无限趋近于2,所以f（x）在x=1处的导数等于2。（2)因为=2a+Δx，且当Δx无限趋近于0时，2a+Δx无限趋近于2a,所以f（x)在x=a处的导数等于2a。绿色通道：本题主要考查对导数概念的理解程度，及应用定义解题的熟炼程度。变式训练：已知f(x）=3x+5,求当x=2时的导数.思路分析：函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率。解:因为.所以f（x)在x=2时的导数为3.【例3】已知曲线y=3x2-x，求曲线上一点A(1，2）处的切线的斜率及切线方程.思路分析:求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值.解:因为,当Δx趋近于0时,5+3Δx就趋近于5,所以曲线y=3x2—x在点A（1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y-2=5(x—1),即5x-y—3=0。绿色通道：根据导数的定义将切线的斜率求出，再根据点斜式方程求出切线方程，这是用导数求某点处切线的一般方法。变式训练：已知曲线y=上一点P(2,），求点P的切线斜率及点P处的切线方程.思路分析:先求出某点处的切线斜率，即求该函数在某点处的导数，然后利用导数定义求解。解：因为=4+2Δx+,当Δx趋近于0时,4+2Δx+就趋近于4，所以曲线y=上点P（2,)处的切线斜率为4，切线方程为，即问题探究问题：某钢管厂生产钢管的利润函数为P（n）=-n3+600n2+67500n—1200000，其中n为工厂每月生产该钢管的根数,利润P（n)的单位是元。（1)求边际利润函数P′（n)=0时n的值;(2）解释（1）中n的实际意义。导思：这是一道有关边际函数的实际应用题,由于利润函数已给出，只需先求边际利润函数P′（n）,再根据P′(n)=0解出n的值即可.探究：(1)因为=（-3n2+1200n+67500)+Δn.当Δn无限趋近于0时,—3n2+1200n+67500+Δn无限趋近于-3n2+1200n+67500.∴P′(n)=-3n2+1200n+67500.由P′(n)=0，即—3n2+1