福建省莆田锦江中学2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考数学试题（含答案）

莆田锦江中学高二（下）数学第一次月考数学试卷一、单选题：1．曲线在点处的切线的斜率为（

）A．0 B．e C．1 D．2．已知函数，则（

）A．有极小值，无极大值 B．既有极小值又有极大值C．有极大值，无极小值D．无极小值也无极大值3．已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为f'x，若函数的图象如图所示，则（

）A．的单调递减区间是 B．当时，有极值C．的单调递增区间是−1,1，D．当时，f'x<04.若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6.已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（

）A． B．C． D．7．已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（

）A．，B．，C．，D．，8．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（

）A．B． C． D．二、多选题：9．下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.10．已知函数则下列说法正确的是（

）A．函数的单调减区间为，B．函数的值域为C．若关于的方程有三个根，则D．若对于恒成立，则11．已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（

）A． B． C． D．三、填空题：12．若函数，则.13．已知曲线C：经过点，则过点的曲线C的切线方程是14．已知有两个极值点，则实数的取值范围为．四、解答题：15．（13分）已知函数在与处都取得极值．（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．16.已知函数，若在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)求函数在上的极值．17.如图（1），一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图（2），所得容器的容积V（单位：）是关于截去的小正方形的边长x（单位：cm）的函数.(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？18．已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.19对数均值不等式在各个领域都有着重要应用．(1)讨论，的单调性(2)试证明对数均值不等式：(3)设，试证明：莆田锦江中学高二（下）数学第一次月考数学试卷答案一．CBABDBAC二．ＢＣ，ＡＣＤ，ＢＣＤ三．12．13．14．15.（1），；（2）．【详解】（1）由题设，，又，，解得，．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分（2）由，知，即，当时，，随的变化情况如下表：1+0-0+递增极大值递减极小值递增∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，。。。。。。。12分∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，要使对任意恒成立，则只需，。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分解得或，∴实数的取值范围为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17分16.【答案】(1)(2)极大值，极小值【详解】（1）因为，所以，由题意得，所以，；故的解析式为（2）由（1）得，，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，故当时，函数取得极小值17．(1)当时，函数单调递增；当时，函数单调递减．(2)当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192【详解】（1）根据题意可得，由实际情况可知函数的定义域为.根据导数公式表及导数的运算法则可得，解方程，得，（舍），令得，令得，所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.（2）当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，因此，是函数的极大值点也是最大值点，此时，所以当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192.18．(1)当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增；(2)【详解】（1）因为函数，所以，当时，，所以函数在单调递减，当时，令，得，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，综上所述，当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增；（2）若不等式恒成立，又则有恒成立设函数，则，当时，，函数在上单调递减，又，不合题意当时，令，解得当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，所以，由恒成立，则成立，即成立令，则所以函数在上单调递增，又，，所以当时，成立.综上所述，实数的取值范围为19.【详解】（1）在上恒成立，所以在上单调递增