2024年高考数学一轮复习75外接球(精讲)(原卷版+解析)

7.5外接球（精讲）（提升版）

尊傩号0B

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小师卜仆骨利宝的.籍

y-4z-■、八X分别？丁接储的幡口

8

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“、”号马卜・囱的MBT检•l・3t^eilu旅。，

外

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说明，昉外接球半会.r为底■外接田¥柠,h为体高

分点呈幽

制题剖析

考点一汉堡模型

【例1】（2022•陕西）已知底面边长为I,侧棱长为五则正四棱柱的各顶点均在同一个球面匕则该球的体

积为（）

324

A.——冗B.44C.2/rD.一兀

33

【一隅三反】

1.（2022・全国•高三专题练习）已知在三棱锥尸-48c中，PA=4,8c=2而，PB=PC=3,PA_L平面尸BC,

则三棱锥P-A8C的外接球的表面积是（）

A.43笈B.42乃C.48万D.46万

2.（2022•全国•高三专题练习）已知在三棱锥A-8CQ中，A8_L平面BCD,A3=2百,AC=AD=4,CO=2,

则三棱锥A-8CO外接球的表面积为（）

4（）兀C,也

A.B.15nD.2(hr

亍3

3.（2023•山西大同•高三阶段练习）球内接直三棱柱A8C-人8=AC=1,4AC=120O，M=2,则球

表面积为.

考点二墙角模型

【例2】（2022•全国•高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3,及，1,其顶点都在球。的球面上，则

球O的体积为（）

A.兀B.12冗C.48兀D.326兀

【一隅三反】

1.（2022・全国•高三专题练习）已知四楂锥P-A8c。中，PA_L平面"CD,底面4BCO是矩形，AD=3AB=3PA,

若四棱锥P/8C。外接球的表面积为11万，则四棱锥P-A8C。的体积为（）

A.3B.2C.41D.1

2.（2022・全国•高三专题练习）己知三琰锥P—88中，BC1CD,尸8_L底面BCD,BC=l,PB=CD=2,

则该三棱铢的外接球的体积为（）

7「9「27n25

A.一穴B.—7tC.—4D.—文

4289

3.（2022•海原县）已知三棱铢A-3CQ的所有顶点都在球。的球面上，且平面8cO,A8=2G，

AC=AD=4,CD=2叵,则球。的表面积为___________.

考点三斗笠模型

【例3】（2023•全国•高三专题练习）已知三棱锥S-A3C的四个顶点都在球。的球面上

SA=S8=SC=M,48C是边长为W的正三角形，则球。的表面枳等于（）

【一隅三反】

1（2022・全国•高三专题练习）己知圆台的母线长为2,母线与轴的夹角为60。，且上、下底面的面积之比为

1：4,则该圆台外接球的表面积为（）

A.56兀B.100nC.1127tD.128n

2.（2022•湖北武汉•高三开学考试）己知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36不，则该

正三棱锥体积的最大值为.

3.（2022•江西）正三棱锥产一心?。底面边长为2,J/为业?的中点，且成J_W,则三棱锥产一位?。外接球的

体积为（）

32乃8VLr

B.6不C.限冗

考点四麻花模型

【例4】（2022全国高三专题练习）如图，在三棱锥。ABC中，〃A=8C=石，PR-AC-2,PC=AB=&

则三棱锥外接球的体积为（）

A.Q兀B.C.展尤D.6冗

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习）在三棱锥P—A8C中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=旧,则三

棱锥尸-A3。的外接球的表面积为（）

A.26兀B.\2nC.8兀D.247r

2.（2022・全国・高三专题练习）在三棱锥力-/。中，/记=8。=。。=。A=5，BD=26二面角A-BD-C

是钝角.若三棱锥A-8CO的体枳为2,则A-BCQ的外接球的表面枳是（

A

C.为n53

A.127rB.13兀D.——不

4

考点五L模型

【例5】（2022・全国•高三专题练习）在三棱锥P-ABC中，平面/MB_L平面ABC,PA1PB，AB=BC=AC=4,

则该三棱锥外接球的表面积是（)

256兀_64兀

A.——B.一C.16兀D.12TI

93

【一隅三反】

1（2022•江西高三）在三棱锥中，△R4C是等边三角形，平面「ACJL平而

ABC、AB=®AC=26,NCA8=60，则三棱锥P—AAC的外接球体积为（）

A.当R12信32万64夜乃

D.------1/・1J.,

333

2.（2022泗川雅安市）在四面体力比。中，已知平面A8Z）_L平面A8C,口AB=AD=DB=AC=CB=4,

其外接球表面积为（）

4080.,

A.—兀B.—7iC.16乃D.207r

33

3.（2023•重庆九龙坡区）在三棱锥产一ABC中，平面Q48J_平面

ABC,PA=PB=AB=2底N8AC=90。，AC=4,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

M64万“

A.20万B.——C.32乃D.80乃

3

考点六怀表模型

【例6】（2022•全国•高三专题练习）在边长为6的菱形4BC。中，ZA=p现将△A8O沿B。折起到△阳。

的位置，当三极锥Q-BCO的体枳最大时，三栈锥P-BCO的外接球的表面积为（)

A.60兀B.45nC.30兀D.20K

【一隅三反】

1.（2022・全国•高三专题练习）在三棱锥尸-ABC中，.ABC是边长为4G的等边三角形，PA=PC=4,二

面角尸-AC-8是150。，则三棱锥P-A8C外接球的表面积是（）

A.1601-4学%B.4（11-4@n

C.4（11+4@兀D.2（11+4⑹兀

2.（2022・全国•高三专题练习）在三楂锥P-A8C中，aA8C为等腰直角三角形，AB=AC=2,APAC为

正三角形，且二面角尸-AC-8的平面角为3,则三楂锥的外接球表面积为（）

O

52c4-28-32

A.—TCB.一万C.—TCD.—TC

9939

考点七矩形模型

[例7]（2022•湖北襄阳市）若矩形业行的面积是4,沿对角线/C将矩形40折成一个大小是60°的二

面角比/I。。,则四而体/切⑺的外接球的体积最小值为（）

A.84R.迎C.迎九D.小叵4

36

【一隅三反】

1.（2022.江西）在矩形ABC。中44=26，AO=2,沿对角线8。进行翻折，则三棱锥C—AB。外接

球的表面积为（）

A.47tB.6乃C.12乃I）.16兀

2.（2022•天津河）将长、宽分别为4和3的长方形A8CO沿对角线AC圻成且二面角，得到四面体A-BCD,

则四面体A-BCD的外接球的表面稹为（）

A.25乃B.50乃C.54D.10万

3.（2022•四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖

膈”,如图所示的鳖瞒ABCZ）中，43_1面5。£）,CDA.BC,若CD=l,AC=5且顶点A8.C,。

均在球。上，则球。的表面积为_____.

考点八内切球

【例8】（2022•全国•高三专题练习）如图，在三棱锥V-A5c中，ZAVlf=ZBVC=ZCVA=fir,VA=VI3=VC,

若三棱钺V八BC的内切球O的表面积为6k，则此三棱锥的体积为（）

D.18夜

【一隅三反】

1.（2022•江西福三阶段练习（理））在正三棱锥A-8c。中，E,尸分别是AO,CO的中点，且/BE尸=90>,

EF=2,则正三棱锥A-8CQ的内切球的表面积为（）

A8（2-6）乃R32产

33

C32（2+扬乃D32（2-石沈

33

2.（2022・全国•高三专题练习）在三棱锥S—ABC中，SAL平面/WC,/4BC=90，且SA=3,A8=4,AC=5,

若球。在三棱锥S-A8c的内部且与四个面都相切（称球。为三棱锥S-A8C的内切球），则球。的表面积

为（）

16乃4乃c32乃16乃

B.—C・—D.

927-87

3.（2022黑龙江）如图，在四核锥--ABCZ）中，。是正方形A3CZ）的中心，PO_L底面A6CZ），尸A=逐，

AB=2,则四棱锥「一八BCO内切球的体积为（）

116125信

2754

7.5外接球（精讲）（提升版）

[jt1*卜•「鱼・狼、・&、・*金鱼4・的・他

jvtn1-三检飨

外Ri=±L[jC（a、，c分别是长方体的长宽高）

接

球

we.濯点的n学力A■的弁心

说明：R为升楼端下税.「方威面升松■不役，h为R商

外4®-

接

球

4MJ-

（H大■•三用舒找勺的・・。力七个三窗外所密收的~二更青）

例题制行

考点一汉堡模型

【例1】（2022•竦西）已知底而功长为1,侧棱长为灰则正四极柱的各顶点均在同一个球面

上，则该球的体积为（）

324

A・—/rB・44C.2/rD.一4

33

【答案】D

【解析】由题可知，正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，故2R=』+『+的=2.

4I4

解得R=l,故球的体积为：1'=彳不a=故选：口.

33

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习）已知在三棱锥ABC中，PA=4,BC=2瓜,PB=PC=3,

平面尸8C,则三棱锥尸-A3C的外接球的表面枳是（）

A.43/rB.42,7C.48万D.46乃

【答案】A

22

PB+PC-BC--6=——

2PBpc183

sin4BPC=Vl-cos2ZBPC=—

3

BC12-_3/

uBPC外接圆半径'一耳"sinZBPC-2'2&一~，又FAJ•平面P3C,

亍

•••三棱锥P-ABC的外接球半径R=J/+(g%J=栏+4=半，

则三棱锥P-ABC的外接球的表面积S=47H=43房.

故选:A.

2.(2022•全国•高三专题练习；已知在三棱锥A-8CO中，/W_L平面3CQ,

AB=2y/3,AC=AD=4.CD=2,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为()

40兀52几

A.---B.15%cVD.2(hr

3

【答案】C

［解析】因AB_L平面BCD,BC,BDu平面BCD,则4"-LBC,AB上8D,而

AR=2瓜AC=AD=A,

则=2=C。，三棱锥A-BCD的外接球。截平面BCD所得小圆圆心是正ABCD

的中心，O\B二三6、

连OQ,则OQ_L平面88,E乂线段44的中点E，则球O的球心。在过E垂直于直线的

垂面上，连。£,如图，则四边形BE。。是矩形，OOI=BE=；AB=6因此，球。的半

径B。有：8。2=8。：+。。；=],

所以三棱锥人-BCD外接球的表面积5=4为8。2=券.故选：C

3.（2023・山西大同•高三阶段练习）球内接直三棱柱

ABC-A«（C）,=4C=1,ZMC=120°,M=2,则球表面积为.

【答案】8冗

【解析】设三角形48C和三角形AAC的外心分别为。，立可知其外接球的球心O是线段

OE的中点，连结OC,CD,设外接球的半径为R三角形48c的外接圆的半径匕

八8=AC=l,N8/U?=120。,可得BC=x/J,由正弦定理得，1^=2人r=1,

sin120

而在三角形OCO中，可知|COF=|O7）|2+|CQ|2,

即R2=/+]=2，因此三棱柱外接球的表面积为S=4兀炉=8汗.

故答案为：8兀

考点二墙角模型

【例2】（2022•全国•高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3,夜，1,其顶点都在球

。的球面上，则球。的体积为（）

A.493nB.I2xC.48兀D.32x5兀

【答案】A

【解析】球O的半径为62+1&）+F=万,工体枳丫=%回=46兀・故选：A

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习）已知四棱锥P-A8C。中，％_L平面ABC。，底面4BCO是矩

形，AD=3AB=3PA,若四棱锥P-48CZ）外接球的表面积为1反，则四棱锥RA8C。的体积

为（）

A.3B.2C.V2D.1

【答案】D

【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,则4/配=1E,即4网=11.

由题意，易知PC2=4R2,得

设=得6+9/+/=11，解得x=l,

所以四棱锥P-ABCD的体积为1*1x3x1=1.

故选：D

2.（2022・全国•高三专题练习）已知三棱锥尸-BCD中，BCLCD,/^_1底面8。。，BC=l,

PB=CD=2,则该三棱锥的外接球的体积为（）

792725

A.-7CB.一万C.—7CD.—K

4289

【答案】B

【解析】解：如图所示，将三棱锥P-8CQ放在长、宽、高分别为2,1,2的长方体中，

则三棱锥。-3CQ的外接球即为该长方本的外接球，

所以外接球的直径PD=y]BC2+CD2+PB2=\/i2+22+22=3，

.•.该球的体积为:乃丫=2小故选：B

3\2）2

3.（2022•海原县）已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球。的球面上，且平面BCD,

AB=2拒，AC=AD=4,CD=2>/2»则球。的表面积为___________.

【答案】20万

【解析】（243_1_平面80）,6€；/。（=平面3。。，.,.43,3。.AB上BD，

又八8=26，AC=AO=4，BC=BD=j6-12=2,

BC2+BD1=CD2，/.BCLBD,则可将三棱锥A—BCD放入如下图所示的长方体中,

则长方体的外接球即为三棱锥A-BCD的外接球，

球0的半径R=-ylBC^+BD2+AB2=-x^4+4+12=逐，

22

球。的表面积S=4万收=20几.故答案为：204.

考点三斗笠模型

【例3】（2023•全国•高三专题练习）已知三棱锥S-AAC的四个顶点都在球。的球面上

5A=58=5。=丽,八8。是边长为右的正三角形，则球O的表面积等于（）

644「100)

A.-----B.------C.167rD.36/r

99

【答案】B

【解析】已知三棱锥S-A8c的四个顶点都在球。的球面上，SA=SB=SC=M、ABC是

边长为6的正三角形，如图所示：

取8C的中点。，点〃为底面的中心，所以8。=立,八。=3,4〃=24。=],

223

设外接球的半径为凡所以S〃=J（而产-1=3,

利用勾股定理可得，R2=（3-R）2+『,解得R=|.

则球0的表面积为S=4次=等.

故选：B.

【一隅三反】

I（2022•全国•高三专题练习）已知圆今的母线长为2,母线与轴的夹角为60。，且上、下底

面的面积之比为1：4,则该圆台外接球的表面积为（）

A.56兀C.1127tD.128n

【答案】C

恻台上、下底面的面积之比为I：4,则半径比为1：2,设圆台上、下底面半径为八2r，因

母线与轴的夹角为6。。,可得圆台高为1.则厂=百：

设圆台外接球的半径为R，球心到下底面的距离为X,易得圆台两底面在球心同侧，则

2=/+仅百y，且R2=（l+x）2+（G『，解得x=4,R2=28,则该圆台外接球的表面积为

4成2=112兀.故选:C.

2.（2022•湖北武汉•高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面

积为36乃，则该正三极锥体积的最大值为.

【答案】

【解析】因为匕求=4万店=36万，所以正三棱锥外接球半径R=3,

正三棱锥如图所示，设外接球圆心为。，过P。向底面作垂线垂足为。,

OD=a（0<a<3）

因为P-ABC是正三棱锥，所以。是-ABC的中心，

所以0P=OA=3,AD=4O#-Oiy=的一a：

又因为乙4。8=,，所以AB=BC=AC=J5x内工7

2

S<»r=—x/AZ^xACxsin—=^—^-(9-67)»

AK234

J232

所以％Y“=’xS4ftrx/D=—x(9-a)x(3+o)=—(-6i-3o+9a+27),

344

令/(〃)=-4-3/+9a+27,

f\a)=一31-6。+9=—3(。+3)(。-1)=0解得〃=—3或1

所以/（〃）在［0,1）递增，在以3）递减,

故当。=1时，匕"c•取最大值，（匕”C）2=8G.

故答案为：8G.

3.（2022•江西）正三棱锥产一/1呢底面边长为2,“为"的中点，且网J_/T,则三棱锥产

一力比外接球的体积为（）

n8展r

A,生B.6兀C.限冗

33

【答案】C

【解析】

由图，设%=/>8=PC=工，则而CM=0，

因为R2C,所以由勾股定理得PM2+pc?=MC2即f一I+9=3解得x=应，

由对称性可知：三棱锥产一/欧外接球的球心在三棱锥〃一力比的高PD上,

假设为。点，则OP=OC=R,因为。。=率=逅，所以0。=逅-R,

N/333

乂由于点〃是二.角形/8C的外心，且三角形力比为等边三角形，所以。。=2。知=辿

33

在三角形ODC中,由勾股定理得。。？+0。2=0。2,即-R二R2,解

得R*，

2

所以三棱锥产一/步r外接球的体枳为右用,故选：c

考点四麻花模型

【例4X2022•全国•高三专题练习）如图，在三棱锥尸-A8C中，PA=BC=BPB=AC=2,

PC=AB=&则三棱锥尸-AB。外接球的体枳为（）

A.母兀B.VJ*C.瓜加D.6冗

【答案】C

【解析】由题意，PA=BC=g，PB=AC=2,PC=A3=石，将三棱锥。一ABC放到长

方体中，可得长方体的三条对角线分别为G，2,非,

设长方体的长、宽、高分别为

则\la2+b2=G，\]a2+C2=2，\/c2+b2=石，

解得a=l,b=5/2,c=>fi-

所以三极锥P—ABC外接球的半径R=：x"7+〃+/=*.

22

4厂

••・三梭锥P—ABC外接球的体积V=§乃川二6》.故选：C

【一隅三反】

1.（2022・全国•高三专题练习）在三棱锥P—A8C中，PA=BC=4,PB=AC=5,

PC=AB=8,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

A.26兀B.I2xC.8兀D.247r

【答案】A

【解析】三棱锥。一ABC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=后,

构造长方体，使得而上的对角线长分别为4,5,而,则长方体的对角线长等于三棱锥

P-A8C外接球的直径，如图,

B

设长方体的棱长分别为x，y,z,则X?+）/=16,j2+z2=25,.r+z2=11,则x2+y2+z2=26,

因此三棱锥P-A8C外接球的直径为后，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为

故选：A

2.（2022・全国•高三专题练习）在三棱锥小BC。中，AB=BC=CD=DA=4j,BD=20

二面角4-BO-C是钝角.若三棱推48CO的体积为2,则小BCQ的外接球的表面积是（）

A.12〃B.13万C.—兀D.一兀

34

【答案】B

【解析】如图1，取8。中点E，连接AECE,则A£_L8/），CELBD,又AElCE=E,

AE,CEu平面A£C,所以8。！.平面

==21

VAHCD=1Ate'5所以S"区=G，

又AE=CE=«行『―(6=2,

S,AFr=—AECEsinZ/lEC=-x2x2xsinZAEC=V3,sinZAEC=—，

222

又由AEJ_8O，CEA.BD,知NAEC为二面角A—BO—C的平面角，此角为钝角,

所以/AEC=q-,

所以AC=J22+22—2X2X2XCOS^=2>/5=BD,

因此四面体八8c。可以放置在•个长方体中，四面体/18CQ的六条核是长方体的六个面对角

线，如图2,

此长方体的外接球就是四面体4BCO的外接球，设长方体的棱长分别为。，反。，

d+从=7a=瓜

则方+/=7,解得b=\

d+/=]2c=R

所以外接球的直径为2/?=,，+6+°2=JH，R=孚，

球表面积为S=4兀R?=131.

故选：B.

考点五L模型

【例5】（2022・全国•高三专题练习）在三棱锥P-A8C中，平面%8_L平面A8C,PA1PB，

AB=BC=AC=4,则该三极锥外接球的表面积是（）

2567t64Jt

A.B.3C.16兀D.127r

9

【答案】B

【解析】如图所示：其中。为A8的中点，。为-ABC外接圆的圆心，AB=BC=AC=4f

.♦.0在CO上，KOD=-CD=-!-XV42-22=^,

333

OC=OA=OB=-CD=—.

33

•.AB=BC=AC=4,。为48的中点,

：.CDLAB,

•.•平面/乂8_1_平面48C,平面PABc平面=CDu平面AAC,

\CZ）A平面以8.又D4,DB,OPu平面月18，

：.CDLDA,CDA.DB,CDA.DP.

在△R46中，PA工PB,。为48的中点，

：.DA=DB=DP.

OA=OB=OP=\lAD2+OD1=—.

3

・•・O即为三棱锥P-ABC外接球的球心，且外接球半径R=拽，

3

・•.该三棱锥外接球的表面积S=47t内=4兀x［些］=空.

故选：B

【一隅三反】

1（2022•江西高三）在三棱锥P—A8C中，△Q4C是等边三角形，平面P4CJ■平面

ABC、AB=®AC=26NC48=60，则三棱锥。—ABC的外接球体积为（）

,,4乃12后乃「32乃64区

3333

【答案】C

【解析】“1BC中,

BC=y］AC2+AB2-2AC/WcosZC4B=7（2x/3）2+（＞/3）2-2x2x/3x73xcos60O=3

所以=ZABC=90°.

设。是AC中点，则。是aABC外心，又是等边三角形，所以PD_LAC，

而平面PAC_L平面ABC，平面PAC。平面ABC=AC,0Qu平面PAC，所以尸O_L

平面ABC,所以△PAC的外心即中三棱锥P-ABC外接球的球心，

所以球半径R=1x盘色=2,球体积为V=3乃/?'=%£.故选：c.

2sin60033

2.（2022•四川雅安市）在四面体力成Z中，已知平面平面ABC,且

AB=AD=DB=AC=CB=4,其外接球表面积为（）

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