复变函数与实变函数的相同与不同联系与区别-数学物理方法_第1页
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复变函数与实变函数之比较——北方工大第1页目录1、复变函数与实变函数特点比较2、复变函数与实变函数联络与区分第2页1、复变函数与实变函数特点比较

1.1、相同点1.2、不一样点第3页一、复变函数与实变函数特点比较实变函数：以实数作为自变量函数叫实变函数，它是微积分学深入发展，基础是点集论（点集论是专门研究点所成集合性质理论）。当然它与古典数学也有差异。复变函数：主要研究定义域为复数函数微积分以及幂级数展开等性质。第4页1.1、相同点首先，复变函数和实变函数研究主体都是函数；其次，复变函数和实变函数研究根本都是：变量、函数、极限、导数、级数、积分；第三，对复变函数和实变函数研究所采取方法基本相同，或最少是没有显著差异。基本方法都是传统数学方法。第5页1.2不一样点二者定义域不一样，即所建立空间不一样；

复函研究是黎曼积分从数学分析实空间扩展到复空间上，而实函是另一套积分理论--勒贝格积分；

所建立思维不一样、研究方法不一样；第6页1.2不一样点研究范围不一样：实变函数论内容包含实值函数连续性质、微分理论、积分理论和测度论；而复变函数三大分支是分析（柯西积分理论）、几何（黎曼面理论）、代数（魏尔斯特拉斯级数理论）；一些初等函数值域、周期性、算法（尤其积分）有很大区分；第7页2、复变函数实变函数联络与区分

2.1、联络2.2、区分第8页2.1、联络从数学专业来看，本科阶段分析学课程群（与极限理论相关数学课程类）包含数学分析、实变函数、复变函数、泛函分析和拓扑学等关键课程。如此来看，复变函数只是实变函数在微积分领域推广与发展，又称复分析。第9页2.1、联络实变函数有序组合能够这么表示复函：显然，一个复变函数是两个许多定义、公式、定理可直接移植到复变函数中。举例（文件），以二元实函为例，从连续性、可导性、可微性、解析性方面说明了二者之间联络；以Green公式说明二者紧密相联；以复变函数、实变函数定理巧妙处理相互之间问题说明二者联络。第10页2.2、区分重大差异：微分中值定理、解析函数无穷可微性（对于单连通区域D内解析函数来说，含有没有穷可微性，但对一元实函数而言，这一点是难以保障）和零点孤立性。其它方面还有以下几点1解析函数值与值之间有紧密联络：柯西积分定理是解析函数积分理论基础，其实质就是一个在区域内解析函数是能够用一个积分来表示，也就是解析函数在区域内任意处值总能够用其在边界上积分来表示；第11页2.2、区分2函数连续但不可导在分析中找一个处处连续而一点不可导例子是很困难，而在复变函数中这么例子很多；3关于对数：在实数范围内，负数不能取对数，而在复数范围内，任一个非零复数都有没有穷多个对数，负数只是没有实对数；4关于ROLL定理：一元实函数中ROLL定理不能直接推广到复数域中来；第12页2.2、区分5关于积分中值定理：一元实函数中积分中值定理不能直接推广到复数域中来；6关于最大(小)值：f(x)在闭区间上连续必可取得最大(小)值，而最值能够在区间内部也能够在区间端点处取得，复变函数

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