《数论》整除-整除的基本概念-0星题（含解析）全国版

数论-整除-整除的基本概念-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率整除的基本概念A1、了解整除的定义。

2、会判定一个数能不能被另一个数整除。

少考知识提要整除的基本概念定义

如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数且没有余数，我们就说

a能被

b整除，也可以说

b能整除a，记作b∣a．

注意：如果除得的结果有余数，我们就说

a不能被

b整除，也可以说

b不能整除

a．整除的性质

性质1：如果a、b都能被

c

整除，那么它们的和与差也能被

c

整除。

性质2：如果

b

与

c

的积能整除

a

，那么b与c都能整除

a

。 性质3：如果

b

、

c

都能整除

a

，且

b

和

c

互质，那么

b

与

c

的积能整除

a

。 性质4：如果

c

能整除

b

，

b

能整除

a

，那么

c

能整除

a

。

精选例题整除的基本概念1.再过12天就到2016年了，昊昊感慨地说：我到目前只经过2个闰年，并且我出生的年份是9的倍数，那么2016年昊昊是

岁．【答案】

9【分析】

根据题意“我到目前只经过2个闰年”可得我的出生年份在2005 2008,这之间只有2007是9的倍数，则昊昊是2007年出生，则2016年昊昊是2016-2007=92.在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3+6=9，9可以整除3×6；再如，6+30=36，36可以整除6×30）．请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．4、

、

、

、3【答案】

4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3【分析】

设4,a,b,c,3成立，则4×a4+a=n,3×c3+c=m由倒数的意义可知：①4+a4×a=1n，则44×a1n>1当n=3，1a当n=2，1a②3+c3×c=1m，则33×c1m>13，则m=2，当m=2时，③设c×bc+b=k，则c+bc×b=1k，可得1c+1b=1k当k=2时，1b=1k=3时，1b=1k=4时，1b=1k=5时，1b=1经检验有下面的三组解：4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3．3.若六位数201ab7能被11和13整除，则两位数ab=

【答案】

48【分析】

由11的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位数201817、201927都不能被13整除．若a+4-b=0,则a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情况，构成的六位数201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，则ab=484.给定一个除数（不为0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足被除数其中，0⩽余数<除数不超过988000并且能够被49整除的大于1的自然数共有

个．【答案】

20163【分析】

988000÷49=20163⋯⋯13所以，满足要求的数分别是49的1∼20163倍，共20163个．5.一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么2011ABCD是多少？【答案】

20111221【分析】

试除法得出答案：20111231÷101=199121⋯⋯10，31-10=21，所以ABCD=12216.若4b+2c+d=32，试问abcd能否被8整除？请说明理由．【答案】

见解析．【分析】

由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可．bcd=100b+10c+d，有bcd-(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8整除，所以abcd能被7.表中第1行是把1～100的整数依次全部排列出来，然后从第2行起是根据规律一直排到最后的第100行．请问：这个表中一共有多少个数能被 【答案】

62【分析】

在这个表里，有的数字的正下方写着比它大4的数． 假如，某数字是不能被77整除的数字，那么不管它被4乘多少回，也不能被77整除．于是我们得知不能被77整除的数字下面写的数字都不能被77整除．那么，如果某数字是可以被77整除，不管乘多少回4，得出的数字都可以被77整除．可被77整除的数字下面都可以被77整除．题目的表中从左右两边第N个的下面写着N个整数．表的第一行从右数第24个是77，在它下面写的24个整数都可以被77整除．另外，从左数第二行第38个是38+39=77，所以在它下面写的38个整数都可以被77整除．在表的第一行和第二行里除此之外再没有可以被77整除的数了．从整个表来看，除了上述的24+38=62个以外，再也没有可以被77整除的数了，所以答案为62．8.已知M、N是互为反序的两个三位数，且M>N．请问：（1）如果M和N的最大公约数是7，求M；（2）如果M和N的最大公约数是21，求M．【答案】

（1）952；（2）861【分析】

（1）设这两个三位数分别为M=abc、N=cba（M>N），那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,经枚举验证只有（2）设这两个三位数分别为M=abc、N=cba(M>N)，那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,9.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3,⋯,12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除．已知这些电话的首位数字都小于6，并且门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除．请问：这一家的电话号码是多少？【答案】

388089【分析】

设第一家住户的电话号码为n+1，则1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,⋯,12∣n+12,由此可知n能被1∼12同时整除，而1∼12的最小公倍数为23×32×5×7×11=27720，则n=27720m，其中m为正整数．由条件“门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除”可得，13∣27720m+9．而27720m+9≡4m+9(mod13)10.六位数20▫▫08能被99整除，▫▫是多少？【答案】

71【分析】

方法一：200008被99除商2020余28，所以▫▫00+28能被99整除，商72时，99×72=7128，末两位是28，所以▫▫为71方法二：99=9×11，20▫▫08能被99整除，所以各位数字之和为9的倍数，所以方框中数字的和只能为8或17；又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为6或5，可得▫▫是71．11.请找出符合下列性质的四位数：（1）它是一个平方数；（2）开始两位的数字要相同；（3）最末两位的数字要相同．【答案】

7744【分析】

设四位数为aabb．因aabb=1000a+100a+10b+b=11×a0b，要aabb是完全平方数，则a0b能被质数11整除，故a+b=11，a0b只能是902，803，704，605，506，407， 由于a0b被11除的商必须是完全平方数，只有704符合．此时a=7，b=4，故所求的数为7744．12.定义运算“⊙”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b．比如：10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70-2=68．（1）求12⊙21，5⊙15；（2）说明，如果c整除a和b，则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，则c也整除b；（3）已知6⊙x=27，求x的值．【答案】

（1）81；10；（2）见解析；（3）x=15【分析】

（1）为求12⊙21，先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84，3，因此12⊙21=84-3=81，同样道理5⊙15=15-5=10．（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公约数，则c整除a,b的最大公约数，显然c也整除a,b最小公倍数，所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c整除a⊙b．如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数，再由c整除a⊙b推知，整除a,b的最大公约数，而这个最大公约数整除b，所以c整除b．（3）由于运算“⊙”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围．因为6与x的最小公倍数不小于27+1=28，不大于27+6=33，而28到33之间，只有30是6的倍数，可见6和x的最小公倍数是30，因此它们的最大公约数是30-27=3．由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”，得到30×3=6×x．所以x=15．13.小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？【答案】

9【分析】

设小明和小华最后的分数分别为3a和3b，其中a>b，所以99∣3a-3b=3b[3(a-b)-1]．因为[3(a-b)-1]和314.试求不大于100，且使3n+7n+4【答案】

1480【分析】

通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，依次为：31为3，32为9，33为5，34为4，35为1，⋯，因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，⋯；类似地，可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，⋯；于是3n+7n+4被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，⋯；这就表明，每一个周期中，只有第33+4+6+13+14+16+⋯+93+94+9615.（1）不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？（2）数(42▫+30-147)能被2整除，那么，▫里可填什么数？（3）下面的连乘积是偶数还是奇数？ 1×3×5×7×9×11×13×14×15.【答案】

（1）奇数；（2）1,3,5,7,9；（3）偶数．【分析】

根据奇偶数的运算性质：（1）因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数．又因为429是奇数，所以(524+42-429)是奇数．（2）数(42▫+30-147)能被2整除，则它一定是偶数．因为147是奇数，所以数(42▫+30)必是奇数．又因为其中的30是偶数，所以，数42▫必为奇数．于是，▫里只能填奇数1，3，5，7，9．（3）1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇数⋯⋯推知1×3×5×7×9×11×13×15为奇数． 因为14为偶数，所以(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数，即1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数．16.请将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数．【答案】

其中一个答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11．【分析】

设填好后的数从左往右依次为a1,a2,⋯,a11,所有数的和为66，那么有a11∣66-a11，故a11∣66，可以设a11=11，则其余数的和为55，那么倒数第二个数肯定是55的约数，可以填5；还剩50，那么倒数第三个数肯定是50的约数，可以填10，最后经过尝试得到6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11和8、1、9、观察6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11这组答案，可以发现一个一般的规律：若所给数是1∼2n+1，则n+1，1，n+2，2，⋯，2n，n，2n+1符合题意；若所给数是1∼2n，则n+1，1，n+2，2，⋯，2n，n符合题意．17.在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所有满足条件的两位数之和是多少？【答案】

528【分析】

设满足条件的两位数为ab，则按题意插入一个数字0后的三位数是a0b．依题意有ab∣10a+b∣100a+b,整理得10a+b∣90a+(10a+b),推出10a+b∣90a;或者整理得10a+b∣10(10a+b)-9b,推出10a+b∣9b.因为9b比90a相对较小，所以考虑10a+b∣9b，但发现也不好分析，所以变为ab∣9b若b取0时，ab取10，20，⋯，90均可；若b取1时，ab没有符合的情况；……依次讨论得到ab可以为10，20，30，⋯，90，15，45，18，和为528．18.在1、2、3、4⋯2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除．【答案】

7【分析】

要使得2008+a能被2007-a整除，我们可以将条件等价的转化为只要让2008+a2007-a是一个整数即可．下面是一个比较难的技巧，我们知道若a可以使得2008+a2007-a是一个整数，那么a也同样可以使得2008+a2007-a+1=2008+a+2007-a2007-a=40152007-a是一个整数，这样只要2007-a是4015的约数即可，将4015分解可知其共有8个因数，其中4015是最大的一个，但是显然没有可以让2007-a等于4015的a19.一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数．再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869．这两个4位数的和到底是多少？【答案】

9696【分析】

设这个4位数是abcd，则最新的4位数是cdab．两个数的和为abcd是101的倍数．在所给的5个数中只有9696是101的倍数，故正确的答案为9696．20.有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除．请问：满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？【答案】

31【分析】

先证明这3个数每个都至少含有2种质因数．证法一：假设这三个数为A、B、C，其中A只有一种质因数p，那么B不可能只有质因数p，否则B和A必定是倍数关系，同理，C也不可能只有质因数p．根据C∣AB，假设C有除p以外其他质因数q，可以得到q∣B，同理，C所有除了p以外的质因数都是B的质因数；再根椐B∣CA，同理得，B所有除了p以外的质因数也是C的质因数，那么B、C必定是倍数关系，与题意矛盾．所以这3个数中不可能出现只含1种质因数的数，即每个都至少含有2种质因数．证法二：假设这三个数为A、B、C，其中A只有一种质因数p，设A=pa．因为A∣BC，所以乘积BC中一定含有质因数p；但A不能整除B，也不能整除C，说明B、C中都含有p，且次数都低于a；又B不能整除A，C也不能整除A，所以B、C中都含打除了p以外的质因数，设B=▫b×pb，C=▫c因为B∣AC，所以▫b∣▫c；同理，因为C∣AB，所以▫c∣▫b，说明▫c=▫若这三个数里一共恰有2种质因数，最小为2和3，最小符合题意的情况是22×32、2×3若这三个数里一共恰有3种质因数，最小为2、3、5，最小符合题意的情况是2×3、2×5、3×5，和为6+10+15=31；若这三个数里一共恰有4种质因数，最小为2、3、5、7，在不考虑题意的情况下，3个不同的各含两种质因数的数最小是2×3、2×5、2×7，和为30，但这组不符合题意，很明显如果要符合题意，和肯定大于31；若这三个数里一共恰有5种质因数，最小为2、3、5、7、11，在不考虑题意的情况下，3个不同的各含两种质因数的数最小是2×7、2×11、3×5，和为51，大于31；很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于31；综上，满足上述条件的3个自然数之和最小是31．21.1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391）．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？ 【答案】

27，8，12，48，35，9【分析】

互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除．而396=99×4，所以我们只用考察它能否能被4整除．于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能．注意图中的具体数字，有（3，4）处、（8，5）处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足．而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．进一步验证，有（9，3）处剪开的末两位数字之差为43-19=24，（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）处剪开的末两位数字之差为62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．所以从（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数．（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）处左右两个数的乘积为27，8，12，48，35，9．22.有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．【答案】

（1）8和9；（2）60060【分析】

（1）为了表达方便，不妨设1号同学写的自然数为a．根据2～15号同学所述结论，2∼15中只有两个连续的自然数不能整除a，其他的数都能整除a．由于2∼7中的每一个数的2倍都在15以内，如果2∼7中有某个数不能整除a，那么这个数的2倍也不能整除a，然而2∼7中的这个数与它的2倍不可能是两个连续的自然数，所以2∼7中每一个数都