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文档简介
山东省济南市平阴县第一中学2025届高三下学期期末数学试题文试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若、满足约束条件,则的最大值为()A. B. C. D.2.已知直线,,则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是().A. B. C. D.4.已知函数,则不等式的解集是()A. B. C. D.5.若的展开式中的系数之和为,则实数的值为()A. B. C. D.16.已知抛物线:,直线与分别相交于点,与的准线相交于点,若,则()A.3 B. C. D.7.已知函数是奇函数,且,若对,恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.8.已知复数z满足(i为虚数单位),则z的虚部为()A. B. C.1 D.9.已知实数x,y满足,则的最小值等于()A. B. C. D.10.已知复数z,则复数z的虚部为()A. B. C.i D.i11.双曲线x2a2A.y=±2x B.y=±3x12.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为()A.-4 B.-2 C.0 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例:勾三,股四,弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数,则这3个数能构成勾股数的概率为__________.14.成都市某次高三统考,成绩X经统计分析,近似服从正态分布,且,若该市有人参考,则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为_____.15.已知关于的方程在区间上恰有两个解,则实数的取值范围是________16.函数(为自然对数的底数,),若函数恰有个零点,则实数的取值范围为__________________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)使得,求实数的取值范围.18.(12分)已知动圆Q经过定点,且与定直线相切(其中a为常数,且).记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线?(2)设点P的坐标为,过点P作曲线C的切线,切点为A,若过点P的直线m与曲线C交于M,N两点,则是否存在直线m,使得?若存在,求出直线m斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.19.(12分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表:患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计已知在全部人中随机抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关?请说明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害,现从不患心肺疾病的位男性中,选出人进行问卷调查,求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.下面的临界值表供参考:(参考公式,其中)20.(12分)若数列满足:对于任意,均为数列中的项,则称数列为“数列”.(1)若数列的前项和,,试判断数列是否为“数列”?说明理由;(2)若公差为的等差数列为“数列”,求的取值范围;(3)若数列为“数列”,,且对于任意,均有,求数列的通项公式.21.(12分)已知数列的前项和为,且点在函数的图像上;(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足:,,求的通项公式;(3)在第(2)问的条件下,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;22.(10分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若函数在上存在两个极值点,,且,证明.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
作出不等式组所表示的可行域,平移直线,找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.由,得,平移直线,当直线经过点时,该直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即.故选:C.本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值,一般利用平移直线的方法找到最优解,考查数形结合思想的应用,属于基础题.2.C【解析】
先得出两直线平行的充要条件,根据小范围可推导出大范围,可得到答案.【详解】直线,,的充要条件是,当a=2时,化简后发现两直线是重合的,故舍去,最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.3.A【解析】
作出其直观图,然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图,如图所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴这个四棱锥中最长棱的长度是.故选.本题考查了四棱锥的三视图的有关计算,正确还原直观图是解题关键,属于基础题.4.B【解析】
由导数确定函数的单调性,利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数,可得,时,,单调递增,∵,故不等式的解集等价于不等式的解集..∴.故选:B.本题主要考查了利用导数判定函数的单调性,根据单调性解不等式,属于中档题.5.B【解析】
由,进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数,令二者之和等于,可求出实数的值.【详解】由,则展开式中的系数为,展开式中的系数为,二者的系数之和为,得.故选:B.本题考查二项式定理的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.6.C【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线,斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图,过A,M作准线的垂直,垂足分别为C,D,过M作AC的垂线,垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点,所以MD为三角形NAC的中位线,故MD=CE=EA=AC设MF=t,则MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故选:C本题考查求抛物线的焦点弦的斜率,常见于利用抛物线的定义构建关系,属于中档题.7.A【解析】
先根据函数奇偶性求得,利用导数判断函数单调性,利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数,所以函数是偶函数.,即,又,所以,.函数的定义域为,所以,则函数在上为单调递增函数.又在上,,所以为偶函数,且在上单调递增.由,可得,对恒成立,则,对恒成立,,得,所以的取值范围是.故选:A.本题考查利用函数单调性求解不等式,根据方程组法求函数解析式,利用导数判断函数单调性,属压轴题.8.D【解析】
根据复数z满足,利用复数的除法求得,再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足,所以,所以z的虚部为.故选:D.本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.9.D【解析】
设,,去绝对值,根据余弦函数的性质即可求出.【详解】因为实数,满足,设,,,恒成立,,故则的最小值等于.故选:.本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质,考查了运算能力和转化能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.B【解析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】,则复数z的虚部为.故选:B.本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛:已知双曲线方程x2a212.B【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,,即,表示直线与轴截距的相反数,根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值为.故选:.本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由组合数结合古典概型求解即可【详解】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法,其中能构成勾股数的有共三种,所以,所求概率为.故答案为本题考查古典概型与数学文化,考查组合问题,数据处理能力和应用意识.14..【解析】
根据正态分布密度曲线性质,结合求得,即可得解.【详解】根据正态分布,且,所以故该市有人参考,则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为.故答案为:.此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析,根据曲线的对称性求解概率,根据总人数求解成绩大于114的人数.15.【解析】
先换元,令,将原方程转化为,利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点,观察图像,即可求出.【详解】因为关于的方程在区间上恰有两个解,令,所以方程在上只有一解,即有,直线与在的图像有一个交点,由图可知,实数的取值范围是,但是当时,还有一个根,所以此时共有3个根.综上实数的取值范围是.本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力,方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题,是常见的转化方式.16.【解析】
令,则,恰有四个解.由判断函数增减性,求出最小值,列出相应不等式求解得出的取值范围.【详解】解:令,则,恰有四个解.有两个解,由,可得在上单调递减,在上单调递增,则,可得.设的负根为,由题意知,,,,则,.故答案为:.本题考查导数在函数当中的应用,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)或.【解析】
(1)分段讨论得出函数的解析式,再分范围解不等式,可得解集;(2)先求出函数的最小值,再建立关于的不等式,可求得实数的取值范围.【详解】(1)因为,所以当时,;当时,无解;当时,;综上,不等式的解集为;(2),又,或.本题考查分段函数,绝对值不等式的解法,以及关于函数的存在和任意的问题,属于中档题.18.(1),抛物线;(2)存在,.【解析】
(1)设,易得,化简即得;(2)利用导数几何意义可得,要使,只需.联立直线m与抛物线方程,利用根与系数的关系即可解决.【详解】(1)设,由题意,得,化简得,所以动圆圆心Q的轨迹方程为,它是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线.(2)不妨设.因为,所以,从而直线PA的斜率为,解得,即,又,所以轴.要使,只需.设直线m的方程为,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,设,,则,..故存在直线m,使得,此时直线m的斜率的取值范围为.本题考查直线与抛物线位置关系的应用,涉及抛物线中的存在性问题,考查学生的计算能力,是一道中档题.19.(1)列联表见解析,有的把握认为患心肺疾病与性别有关,理由见解析;(2).【解析】
(1)结合题意完善列联表,计算出的观测值,对照临界值表可得出结论;(2)记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、,其余三人分别为、、,利用列举法列举出所有的基本事件,并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【详解】(1)由于在全部人中随机抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率为,所以人中患心肺疾病的人数为人,故可将列联表补充如下:患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计.故有的把握认为患心肺疾病与性别有关;(2)记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、,其余三人分别为、、.从中选取三人共有以下种情形:、、、、、、、、、.其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形,分别为:、、、、、、、、,所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题,同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题,考查计算能力,属于中等题.20.(1)不是,见解析(2)(3)【解析】
(1)利用递推关系求出数列的通项公式,进一步验证时,是否为数列中的项,即可得答案;(2)由题意得,再对公差进行分类讨论,即可得答案;(3)由题意得数列为等差数列,设数列的公差为,再根据不等式得到公差的值,即可得答案;【详解】(1)当时,又,所以.所以当时,,而,所以时,不是数列中的项,故数列不是为“数列”(2)因为数列是公差为的等差数列,所以.因为数列为“数列”所以任意,存在,使得,即有.①若,则只需,使得,从而得是数列中的项.②若,则.此时,当时,不为正整数,所以不符合题意.综上,.(3)由题意,所以,又因为,且数列为“数列”,所以,即,所以数列为等差数列.设数列的公差为,则有,由,得,整理得,①.②若,取正整数,则当时,,与①式对应任意恒成立相矛盾,因此.同样根据②式可得,所以.又,所以.经检验当时,①②两式对应任意恒成立,所以数列的通项公式为.本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较大.21.(1)(2)当n为偶数时,;当n为奇数时,.(3)【解析】
(1)根据,讨论与两种情况,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)利用递推公式及累加法,即可求得当n为奇数或偶数时的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.(3)分类讨论,当n为奇数或偶数时,分别求得的最大值,即可求得的取值范围.【详解】(1)由题意可知,
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