湖南省长沙市长雅中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试题(含答案)

2024-2025学年湖南省长沙市开福区长雅中学九年级（下）入学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在0，−2，−3，π四个数中，最大的数是(

)A.−2 B.0 C.π D.−2.在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是(

)A. B. C. D.3.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为(

)A.82.3×10−8 B.8.23×10−7 C.4.下列式子运算正确的是(

)A.x3+x2=x5 B.5.在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示成绩(米)4.504.604.654.704.754.80人数232341则这些运动员成绩的中位数、众数分别是(

)A.4.65、4.70 B.4.65、4.75 C.4.70、4.75 D.4.70、4.706.不等式组1−3x≤73x<−15的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.7.如图，△ABC绕点C按顺时针旋转30∘到△DEC，若点A恰好在DE上，则∠BAC的度数为(

)A.15∘

B.55∘

C.65∘8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C=110∘，则∠BOD=(

)A.130∘

B.120∘

C.125∘

9.《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为(

)A.y−x=4.5x−0.5y=1 B.y−x=4.5x+0.5y=1 C.x+y=4.5x−y=110.如图，点A在反比例函数y=12x的图象上，点B在反比例函数y=4x的图象上，AB//y轴，交x轴于点C，连结OA，取OA的中点D，连结BD，则△ADB(阴影部分)的面积为A.16

B.8

C.4

D.2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.分解因式：x2−9=______.12.分式2x3−x有意义，则x的取值范围是______.13.已知正多边形的一个外角等于40∘，则这个正多边形的内角和的度数为_____.14.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE//BC，ADDB=23，DE=6cm，则BC的长为______

15.若二次函数y=x2+bx−5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x216.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别过点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM.若AB=22，则AM的长为______

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算：(18.(本小题6分)

先化简，再求值：(1−1a+219.(本小题6分)

春天是放风筝的好季节，如图，张同学在园林生态园B处放风筝，风筝位于A处，风筝线AB长为50m，从B处看风筝的仰角为37∘，张同学的妹妹从C处看风筝的仰角为60∘(A,B,C三点位于同一平面).

(1)风筝离地面多少米？

(2)张同学和妹妹的直线距离BC是多少米？(结果精确到0.1，参考数据：sin37∘≈0.6，cos3720.(本小题8分)

整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法，为此某校教务处就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查.设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正情况；答案选项为：A、很少，B、有时，C、常常，D、总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)求a、b的值及“常常”所对应扇形的圆心角度数；

(2)请你补全条形统计图；

(3)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位学生恰好组合成功(即“很少”和“总是”的两人为一组)的概率.21.(本小题8分)

在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF=EB，连接AF，BF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若AF平分∠DAB，DE=8，AE=6，求矩形BFDE的面积．22.(本小题9分)

综合与实践：

问题情境

小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价x与日销售量y情况，记录如下：售价(元/盆)日销售量(盆)A2050B3030C1854D2246E2638数据整理：

(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：售价(元/盆)______________________________日销售量(盆)______________________________模型建立

(2)分析数据的变化规律，探究出日销售量y与售价x之间的关系式.

拓广应用

(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中.

①要想每天获得400元的利润，应如何定价？

②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？23.(本小题9分)

如图，AB为⊙O的直径，D为BA延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为C，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，连接BC.

(1)求证：BC平分∠DBE；

(2)求证：BC2=AB⋅BE；

(3)若BC=4524.(本小题10分)

新定义：如果实数m，n满足m−n=−2时，则称P(m,n)为“立足点”，称Q(m−1,5−n)为“制高点”，例如，P(1,3)是“立足点”，Q(0,2)是“制高点”.

(1)求正比例函数y=x图象上“制高点”的坐标；

(2)已知点D(x1,y1)，E(x2,y2)是抛物线y=ax2+(2b−1)x+3c+2上的“制高点”，若a+b+c=0，且a>2b>3c，求|x1−x2|的取值范围；

(3)若点A25.(本小题10分)

已知：如图，AB是⊙O的直径，M为OB上一点，过M作CD⊥AB，N为弧AC上一动点，连接NC、NB、ND，NB交CD与P.

(1)当M为OB中点时，求证以O、C、B、D为顶点的四边形是菱形.

(2)当NC⊥CD时，设NB的长为3x，y=AM⋅AB，求y与x的关系式.

(3)在(2)的条件下，△PBC=S1，△PBM=S2，△NPC=S3，自然数p、t满足以下关系，S

参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.C

6.D

7.D

8.D

9.A

10.D

11.(x+3)(x−3)

12.x≠3

13.1260∘14.15

15.x1=2，16.2

17.解：原式=4−1+2×12+18.解：原式=a+2−1a+2⋅a(a+2)(a+1)(a−1)

=a+1a+2⋅19.解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：

∵sin37∘=ADAB，

∴AD=AB×sin37∘≈50×0.6=30(m)，

答：风筝离地面30米．

(2)由(1)得，AD=30m，

∵tan37∘=ADBD，

∴BD=ADtan37∘≈300.75=40(m)20.解：(1)调查的总人数为：44÷22%=200(人)，

a=24÷200=12%，

b=72÷200=36%，

“常常”对应扇形的圆心角度数为360∘×30%=108∘；

(2)“常常”的人数有：200×30%=60(人)，

补全条形统计图如图所示：

(3)画树状图如下：(或列表都得分)

共有12种等可能得情况数，其中所选两位学生恰好组合成功的有8种，则所选两位同学恰好组合成功(即“很少”和“总是”的两人为一组)的概率为21.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，

∴DF//EB，

又∵DF=EB，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90∘，

∴四边形BFDE是矩形；

(2)解：∵DE⊥AB，DE=8，AE=6，

∴AD=AE2+DE2=62+82=10，

∵AF平分∠DAB，DC//AB，

∴∠DAF=∠FAB，∠DFA=∠FAB，

∴∠DAF=∠DFA22.解：(1)根据销售单价从小到大排列得下表：售价(元/盆)1820222630日销售量(盆)5450463830故答案为：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；

(2)观察表格可知销售量是售价的一次函数；

设销售量为y盆，售价为x元，y=kx+b，

把(18,54)，(20,50)代入得：

18k+b=5420k+b=50，

解得：k=−2b=90，

∴y=−2x+90；

(3)①∵每天获得400元的利润，

∴(x−15)(−2x+90)=400，

解得x=25或x=35，

∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；

②设每天获得的利润为w元．

根据题意得：w=(x−15)(−2x+90)=−2x2+120x−1350=−2(x−30)2+450，

∵−2<0，

∴当x=30时，w取最大值450，

∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．

23.(1)证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥DE，

∵DE⊥BE，

∴OC//BE，

∴∠EBC=∠OCB，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OBC=∠EBC，

∴BC平分∠DBE.

(2)证明：连接AC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90∘，

∵BE⊥CD，

∴∠BED=90∘，

∴△ABC∼△CBE，

∴BEBC=BCAB，

∴BC2=AB⋅BE.

(3)解：设⊙O的半径为r，

∵tanD=34=COCD=rCD，

∴CD=43r，

∴DO=CD2+CO224.解：(1)设正比例函数y=x图象上“制高点”的坐标为(m−1,5−n)，

根据题意得m−n=2m−1=5−n，

解得：m=2n=4，

∴正比例函数y=x图象上“制高点”的坐标为(1,1)；

(2)∵a+b+c=0，且a>2b>3c，

∴a>0，c<0，b=−(a+c)，

∴ax2+(2b−1)x+3c+2=−x+2，

∴ax2+2bx+3c=0，

则x1+x2=−2ba，x1x2=3ca，

则|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=4×(ca)2−4×ca+4，

由a>2b=−2(a+c)，得ca>−32，

由2b=−2(a+c)>3c，得ca<−25，

∴−32<ca<−25，

设函数m=4(ca)2−4(ca)+4=4(ca−12)2+3，

当−32<ca<−25时，函数m的值随自变量的增大而减少，

当ca=−25，m=15625，

当ca=−32，m=19，

即2395<|x1−x2|<19；

(3)设点A的坐标为(m,n)，根据题意得m−n=−2n=km，

整理得m2+2m−k=0，

∵点A是反比例函数唯一“立足点”，

∴Δ=22−4(−k)=0，

解得k=−1，

∴反比例函数的解析式为y=−1x，

当k=−1时，m2+2m+1=0，

解得m1=m2=−1，

∴n=km=1，

∴点A的坐标为(−1,1)，

设点B(m−1,5−n)25.(1)证明：如图，连接OC，BD，

∵AB为直径，CD⊥AB，

∴CM=DM，

∵M是OB中点，

∴OM=BM，

∵四边形ODBC为平行四边形，

∵CD⊥AB，

∵平行四边形ODBC为菱形．

(2)解：连接AN，如图，

∵CN⊥CD，CD⊥AB，

∴CN//AB，

∴∠NCA=∠BAC，

∴CB=AN，

又∵AB为直径，

∴∠ACB=∠ANB=90∘，

又∵AB=BA，

∴Rt△ACB≌Rt△BNA(HL)，

∴AC=BN，

∵∠AMC=∠ACB=90∘，∠CAM=∠BAC，

∴△CAM∽△