2025年甘肃省嘉峪关市嘉峪关市实验中学二模数学试题（原卷版+解析版）

初三《数学》试卷一、单选题（每小题3分，共30分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A B. C. D.2.已知二次函数，下列说法正确的是（）A.顶点坐标为 B.对称轴为直线C.函数的最小值是 D.函数图象与y轴的交点坐标是3.如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（）A.顺时针， B.逆时针， C.顺时针， D.逆时针，4.如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则度数是（）A. B. C. D.5.已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.6.如图，、分别是的切线，A、B为切点，是的直径，已知，∠P的度数为（）A. B. C. D.7.下列语句中，正确的是（）A.同一平面上的三点确定一个圆B.三角形的外心到三角形三边的距离相等C.三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D.菱形的四边中点在同一圆上8.小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）A. B. C. D.9.如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（）A.8 B.5 C.4 D.310.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（）A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤二、填空题11.已知抛物线的顶点是，形状与相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为____________．12.如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________．13.如图，为直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长为________．14.如图，是的直径，点A，D在上，若，则的度数为________．15.生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为______．16.如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是_______．三、解答题（共72分）17.已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标分别是．（1）按要求作图：①先将绕原点逆时针旋转，得到；②再作出，使它与关于原点成中心对称．（2）直接写出点，的坐标．18.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题．（1）写出方程的两个根（2）写出不等式的解集（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围．19.如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值．20.如图所示，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上．（1）若，求的度数；（2）若，，求长．21.某批发商出售一种成本价为10元/件商品，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数．这种商品每周的销售利润为元．（1）求与的函数关系式；（2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？22.已知关于x一元二次方程．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程有一个根为，求m的值．23.2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到（冲浪）的概率是______；（2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率．24.如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．25.如图所示，已知正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D按逆时针方向旋转得到．（1）证明：．（2）若，求的长．26.如图，在半圆O中，直径，点C在上，连接，弦平分，连接．（1）求证：；（2）连接．若，求的长．27.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．

初三《数学》试卷一、单选题（每小题3分，共30分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故答案为：C.2.已知二次函数，下列说法正确的是（）A.顶点坐标为 B.对称轴为直线C.函数的最小值是 D.函数图象与y轴的交点坐标是【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称轴以及开口方向，最值是解题的关键根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】由二次函数的顶点式为，顶点坐标为)，选项A说法错误，故该选项不符合题意；对称轴为直线，选项B说法正确，故该选项符合题意；函数的开口方向由

a

决定，且，抛物线开口向下，抛物线有最大值，最大值为顶点的

y

坐标，为，选项C说法错误，故该选项不符合题意；令，则，图象与y轴的交点坐标为，故D选项错误，故该选项不符合题意；故选：B．3.如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（）A.顺时针， B.逆时针， C.顺时针， D.逆时针，【答案】A【解析】【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案．【详解】将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上，，旋转方向为顺时针时,旋转角度为；旋转方向逆时针时,旋转角度为．故选：A．4.如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系，先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，据此可得答案．【详解】解：如图所示，连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的度数是；故选：A．5.已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解．【详解】解：二次函数的解析式为，对称轴为直线，，该抛物线开口向下，离对称轴越远的点，其值越小，点，，，，，，即，，故选：C．6.如图，、分别是的切线，A、B为切点，是的直径，已知，∠P的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键；由与都为圆的切线，根据切线的性质得到与垂直，与垂直，可得出与都为直角，又，根据等边对等角可得与相等，由的度数求出的度数，进而利用三角形的内角和定理求出的度数，在四边形中，利用四边形的内角和定理即可求出的度数；【详解】解：∵，分别是圆的切线，∴，，∴，∵，，∴，∴，在四边形中，，，则，故选：D．7.下列语句中，正确的是（）A.同一平面上的三点确定一个圆B.三角形的外心到三角形三边的距离相等C.三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D.菱形的四边中点在同一圆上【答案】D【解析】【分析】本题考查了确定圆的条件、三角形外心的性质、三角形内心的定义、四点共圆等知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．【详解】解：∵同一平面内，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故A选项不正确；∵三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可知外心到三角形三个顶点距离相等，故B选项不正确，三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故C选项错误；∵菱形的四边中点顺次连接得到矩形，矩形的对角互补，即矩形的四个顶点在以矩形的对角线为直径的圆上，∴菱形的四边中点在同一圆上，故D选项正确，故选：D．8.小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．用绿灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案．【详解】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，遇到绿灯的概率是，故选：C．9.如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（）A.8 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．根据垂径定理，可得，再根据勾股定理，即可求解．【详解】解：∵点为中点，∴，∴，在中，，故选：D．10.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（）A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，此类题目，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①利用抛物线与轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④利用时，可进行判断；⑤根据抛物线与轴的交点即可判断．【详解】解：①抛物线与轴有2个交点，，所以①正确；②图象开口向下，得，对称轴，，图象与轴的交点在轴的上方，得，，故②正确；③抛物线的对称轴为直线，，，所以③正确；④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为，图象与轴的另一个交点为，当时，，，故④错误；⑤二次函数的图象过，，方程的解是，，故⑤正确．故选：C．二、填空题11.已知抛物线的顶点是，形状与相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为____________．【答案】【解析】【分析】由形状与函数的图象相同且开口方向相反可知，把顶点代入顶点式即可求得抛物线解析式．本题考查了二次函数解析式的求法，掌握顶点式的特点是解决本题的关键．【详解】解：设抛物线解析式为，形状与相同，但开口方向相反，∴，∴把顶点代入得：，故答案为：．12.如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键．【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方，∴不等式的解集是：，故答案为：13.如图，为直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了旋转的性质以及勾股定理．根据旋转的性质，得到等腰直角三角形，根据勾股定理进行计算．【详解】解：根据旋转的性质得：，即为等腰直角三角形，根据勾股定理得．故答案为：．14.如图，是的直径，点A，D在上，若，则的度数为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等等，先由直径所对的圆周角是直角得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到答案．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴．故答案为：．15.生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右则∴点落入黑色部分频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积为故答案为：．16.如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是_______．【答案】##15厘米【解析】【分析】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等是解题关键．根据切线长定理可知，，从而可求出，即可求解．【详解】解：∵切于点C，∴，，∴．故答案为：．三、解答题（共72分）17.已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标分别是．（1）按要求作图：①先将绕原点逆时针旋转，得到；②再作出，使它与关于原点成中心对称．（2）直接写出点，的坐标．【答案】（1）见解析（2）点的坐标；点的坐标．【解析】【分析】本题考查旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（1）①根据旋转的性质先将绕原点逆时针旋转，得到，②根据对称的性质作出，使它与关于原点成中心对称；（2）结合（1）即可写出点的坐标；点的坐标．【小问1详解】解：①如图，即为所求，②即为所求；【小问2详解】解：点的坐标；点的坐标．18.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题．（1）写出方程的两个根（2）写出不等式解集（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围．【答案】（1）1或3（2）或（3）（4）【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．（1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可；（2）看x轴下方的二次函数的图象相对应的x的范围即可；（3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小；（4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可．【小问1详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，，∴方程的两个根为；【小问2详解】∵由图象可知或时，二次函数的图象在x轴下方，∴不等式的解集为或；【小问3详解】∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是；【小问4详解】∵由图象可知二次函数图象的顶点坐标为，当直线在的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点，∴当时，方程有两个不相等的实数根．19.如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值．【答案】2【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数与一次函数的解析式设出点C，D的坐标,然后然后用点C的纵坐标减去点D纵坐标表示出，再根据二次函数的最值问题解答．【详解】解：设，，当时，有最大值，最大值为2．20.如图所示，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．【答案】（1）（2）的长为【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（1）根据垂径定理的推论可得，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；（2）利用勾股定理列式求出，根据垂径定理可得，即可求解．【小问1详解】解：∵是的一条弦，，∴，又∵，∴．【小问2详解】解：∵，∴，在中，由勾股定理得，∵是一条弦，，∴，则．21.某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数．这种商品每周的销售利润为元．（1）求与的函数关系式；（2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？【答案】（1）（2）200【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，明确题意，根据数量关系列出函数关系式及根据等量关系列出方程是解题的关键．（1）根据销售量、售价与销售利润之间的数量关系列出函数关系式即可求解；（2）根据销售利润为2000元为等量关系列出方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：根据题意，可得；【小问2详解】若这种商品每周的销售利润为2000元，即，则有，解得，，由，解得．∴，当时，．答：该商品每周的销售量是200件．22.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程有一个根为，求m的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；（1）证明即可；（2）把代入原方程得到关于的方程，再解新方程即可求得的值．【小问1详解】证明：，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：方程有一个根为，，解得：．23.2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到（冲浪）的概率是______；（2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图是解题的关键．（1）直接运用概率公式求解即可；（2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的结果有2种，最后由概率公式求解即可．【小问1详解】解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到（冲浪）的概率是；故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如下：，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的结果数为2，体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率．24.如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；（2）根据圆周角定理和等边三角形的判定和性质，证出是等边三角形，进一步即可得到结论；【小问1详解】证明：如图，连接，则，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是的半径，且，∴直线是的切线；【小问2详解】解：∵线段是的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴．又，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴；∵，，∴，∴，∴，∴．25.如图所示，已知正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D按逆时针方向旋转得到．（1）证明：．（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先由正方形的性质得到，再根据旋转点的性质可得，则可证明F、C、M三点共线，再证明，即可利用边角边证明三角形全等；（2）由旋转的性质可得，由全等三角形的性质得到，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形是正方形，∴，由旋转的性质可得，∴，∴F、C、M三点共线，∵，∴，在和中，，∴；【小问2详解】解：由旋转的性质可得，∵正方形的边长为3，∴，∵，∴，设，则，在中，由勾股定理得，，即，解得，即．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，证明是解题的关键．26.如图，在半圆O中，直径，点C在上，连接，弦平分，连接．（1）求证：；（2）连接．若，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质．（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质和判定即可得证；（2）先证明是等边三角形，再利用圆周角定理和勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵是直径，∴，∴27.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的