2024年中考数学真题专题分类汇编专题24 动点问题（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题24动点问题

一、选择题

1.（2024四川乐山）如图，在菱形ABCD中，ABC60，AB1，点P是BC边上一个动点，

在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接DP、AQ交于点M．当点P从B

点运动到C点时，点M的运动路径长为（）

333

A.B.C.D.3

632

【答案】B

【解析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，

解题的关键是掌握以上点M的运动路径．

过点C作CHAD交AD于点H，根据ABC60，四边形ABCD是菱形，AB1，算出

DH1，得出AHDH，CH垂直平分AD，再证明VPCM≌VQCM，得出PMMQ，证

3

明CM垂直平分PQ，点M在CH上运动，根据解直角三角形CMBCtan30．即可求

3

解．

【详解】解：过点C作CHAD交AD于点H，

∵ABC60，四边形ABCD是菱形，AB1，

∴ADC60，CDBCAB1，

∴DCH30，

1

∴DHCD1，

2

∴AHADDH1，

∴AHDH，

∴CH垂直平分AD，

∵点P和点Q关于点C对称，

∴PCQC，

∵PCMQCM90,CMCM，

∴PCM≌QCMSAS，

∴PMMQ，

∴CM垂直平分PQ，

∴点M在CH上运动，

当点P与点B重合时，点M位于点M，

此时，∵ABC60，四边形ABCD是菱形，AB1，

1

∴MBCABC30，BC1

2

3

∴CMBCtan30．

3

3

故点M的运动路径长为CM．

3

故选：B．

2.（2024四川广元）如图①，在ABC中，ACB90，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的

2

速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，ABP的面积ycm随时间x（s）变化的函数图象，则

该三角形的斜边AB的长为（）

A.5B.7C.32D.23

【答案】A

【解析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，

1

由图象可知，ABP面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到ACBC6，由图象可知

2

ACBC7，根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．

【详解】解：由图象可知，ABP面积最大值为6

由题意可得，当点P运动到点C时，ABP的面积最大，

1

∴ACBC6，即ACBC12，

2

由图象可知，当x7时，y0，此时点P运动到点B，

∴ACBC7，

∵C90，

2

∴AB2AC2BC2ACBC2ACBC7221225，

∴AB5．

故选：A

3.（2024甘肃临夏）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着DBC

的路径行进，过点P作PQCD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQDQ为y，y与x的

函数图象如图2，则AD的长为（）

4287311

A.B.C.D.

3344

【答案】B

【解析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．

根据函数的图象与坐标的关系确定CD的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．

由图象得：CD2，当BDBP4时，PQCD2，此时点P在BC边上，

设此时BPa，则BD4a，ADBC2a，

在RtBCD中，BD2BC2CD2，

22

即：4aa222，

2

解得：a，

3

8

ADa2，

3

故选：B．

4.（2024甘肃威武）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边ABBC匀速运动，运动到

点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC

中点时，PO的长为（）

A.2B.3C.5D.22

【答案】C

【解析】结合图象，得到当x0时，POAO4，当点P运动到点B时，POBO2，根据

菱形的性质，得AOBBOC90，继而得到ABBCOA2OB225，当点P运动

1

到BC中点时，PO的长为BC5，解得即可．

2

本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定

理，直角三角形的性质是解题的关键．

【详解】结合图象，得到当x0时，POAO4，

当点P运动到点B时，POBO2，

根据菱形的性质，得AOBBOC90，

故ABBCOA2OB225，

1

当点P运动到BC中点时，PO的长为BC5，

2

故选C．

5.（2024江苏苏州）如图，矩形ABCD中，AB3，BC1，动点E，F分别从点A，C同时出

发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直

线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（）

3

A.3B.C.2D.1

2

【答案】D

【解析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及

直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．

连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G

的轨迹，从而求出AG的最大值．

【详解】解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴ABC90，OAOC，ABCD，

2

∴在Rt△ABC中，ACAB2BC23122，

1

∴OAOCAC1，

2

∵ABCD，

EAOFCO，

在△AOE与COF中，

AECF

EAOFCO

OAOC

△AOE≌△COF(SAS)，

AOECOF，

E，O，F共线，

AGEF，H是OB中点，

11

∴在Rt△AGO中，GHAO，

22

的轨迹为以为圆心，1为半径即为直径的圆弧．

GH2AO

∴AG的最大值为AO的长，即AGmaxAO1．

故选：D．

6.（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在等腰Rt△ABC中，BAC90，AB12，动点E，F同

时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，

点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为

x0x12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数

关系的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图

象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当HG与BC重合时，及当x4

时图象的走势，和当x>4时图象的走势即可得到答案．

【详解】当HG与BC重合时，设AEx，由题可得：

∴EFEH2x，BE12x，

在Rt△EHB中，由勾股定理可得：BE2BH2EH2，

222

∴2x2x12x，

∴x4，

2

∴当0x4时，y2x2x2，

∵20，

∴图象为开口向上的抛物线的一部分，

当HG在BC下方时，设AEx，由题可得：

∴EF2x，BE12x，

∵AEFB45，AEOB90,

∴VFAE∽VEOB，

AEEO

∴，

EFEB

xEO

∴，

2x12x

12x

∴EO，

2

12x

∴当4x12时，y2x·12xxx212x，

2

∵10，

∴图象为开口向下的抛物线的一部分，

综上所述：A正确，

故选：A．

二、填空题

1.（2024江苏连云港）如图，在ABC中，C90，B30，AC2．点P在边AC上，

过点P作PDAB，垂足为D，过点D作DFBC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在

点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________．

191

【答案】##19

44

【解析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点

间的距离，以C为原点，建立如图所示的坐标系，设APa，则CP2a，利用含30度角的直

43

角三角形的性质，求出点E的坐标，得到点E在直线y1x上运动，求出点P分别与A,C重

3

合时，点E的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．

【详解】解：以C为原点，建立如图所示的坐标系，设APa，则CP2a，

则：P0,2a，

∵B30，

∴A60，

∵PDAB，

∴PDA90，

∴APD30，

1a

∴ADAP，

22

过点D作DGAC，则：AGD90，

1a3

∴AGAD,DG3AGa，

244

∵DFBC，DGAC，ACB90，

∴四边形DGCF为矩形，

∴DGCF，

3a

∴F,0，

4

∵E为P,F的中点，

31

∴Ea,1a，

82

31

令xa,y1a，

82

43

则：y1x，

3

43

∴点E在直线y1x上运动，

3

当点P与C重合时，a0，此时E0,1，

3

当点P与A重合时，a2，此时E,0，

4

2

∴点所经过的路径长为2319；

E1

44

故答案为：19．

4

2.（2024江西省）如图，AB是O的直径，AB2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DEAB，

将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为______．

【答案】23或23或2

【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DEAB，可得DE1或2，利用勾

股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．

【详解】AB为直径，DE为弦，

DEAB，

当DE的长为正整数时，DE1或2，

当DE2时，即DE为直径，

∵DE⊥AB

将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，

故FB2；

当DE1时，且在点C在线段OB之间，

如图，连接OD，

1

此时ODAB1，

2

∵DE⊥AB，

11

DCDE，

22

3

OCOD2DC2，

2

23

BCOBOC，

2

BF2BC23；

当DE1时，且点C在线段OA之间，连接OD，

23

同理可得BC，

2

BF2BC23，

综上，可得线段FB的长为23或23或2，

故答案为：23或23或2．

3.（2024四川凉山）如图，M的圆心为M4，0，半径为2，P是直线yx4上的一个动点，

过点P作M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为______

【答案】27

【解析】【分析】记直线yx4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM；由直线解

析式可求得点A、K的坐标，从而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：

PQPM2QM2，由QM2，则当PM最小时，PQ最小，点P与点K重合，此时PM最小

值为KM，由勾股定理求得PM的最小值，从而求得结果．

【详解】解：记直线yx4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM，

当x0，y4，当y0，即x40，

解得：x4，

即K(0,4)，A(4，0)；

而M4,0，

∴OAOKOM4，

∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，

∴AKOMKO45，

∴AKM90°，

∵QP与M相切，

∴PQM90，

∴PQPM2QM2，

∵QM2，

∴当PQ最小时即PM最小，

∴当PMAK时，取得最小值，

即点P与点K重合，此时PM最小值为KM，

在RtOKM中，由勾股定理得：KMOM2OK242，

∴PQ32427，

∴PQ最小值为27．

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确

添加辅助线是解题的关键．

4.（2024黑龙江绥化）如图，已知AOB50，点P为AOB内部一点，点M为射线OA、点

N为射线OB上的两个动点，当PMN的周长最小时，则MPN______．

【答案】80##80度

【解析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P

，，

关于OA，OB的对称点P1P2．连接OP1OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，PMN

的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．

【详解】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的

、

交点时，PMN的周长最短，连接P1PP2P，

、

PP1关于OA对称，

∴P1OP2MOP，OP1OP，P1MPM，OP1MOPM，

同理，P2OP2NOP，OPOP2，OP2NOPN，

P1OP2P1OPP2OP2(MOPNOP)2AOB100，OP1OP2OP，

△

P1OP2是等腰三角形．

OP2NOP1M40，

MPNMPONPOOP2NOP1M80

故答案为：80．

三、解答题

1.（2024甘肃临夏）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对

角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且ABEDAF．

【模型建立】

（1）求证：AF⊥BE；

【模型应用】

1

（2）若AB2，AD3，DFBF，求DE的长；

2

【模型迁移】

1AF

（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DFBF，求的值．

2AD

75

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

33

【解析】【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练

掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键：

（1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出AOE90，即可得证；

DGDF1

（2）延长AF交CD于点G，证明AFB∽GFD，得到，再证明ABE∽DAG，

ABBF2

求出AE的长，进而求出DE的长；

（3）设正方形的边长为a，延长AF交CD于点G，证明AFB∽GFD，得到

DGFGDF11

，进而得到DGAB，勾股定理求出AG，进而求出AF的长，即可得出

ABAFBF22

结果．

【详解】解：（1）∵矩形ABCD，

∴BAD90，

∴ABEAEB90，

∵ABEDAF，

∴DAFAEB90，

∴AOE90，

∴AF⊥BE；

（2）延长AF交CD于点G，

∵矩形ABCD，

∴AB∥CD,BADADG90，

∴AFB∽GFD，

DGDF1

∴，

ABBF2

1

∴DGAB1，

2

∵BADADG90，ABEDAF，

∴ABE∽DAG，

ABAE2

∴，

ADDG3

22

∴AEDG，

33

27

∴DEADAE3；

33

（3）设正方形ABCD的边长为a，则：ABADa，

延长AF交CD于点G，

∵正方形ABCD，

∴BADADG90,AB∥CD，

∴AFB∽GFD，

DGFGDF1

∴，

ABAFBF2

111

∴DGABa,FGAF，

222

5

∴AGAD2DG2a，

2

1

∵FGAF，

2

25

∴AFAGa，

33

5a

∴AF5．

3

ADa3

2.（2024河北省）已知O的半径为3，弦MN25，ABC中，

ABC90,AB3,BC32．在平面上，先将ABC和O按图1位置摆放（点B与点N重

合，点A在O上，点C在O内），随后移动ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在O

上随之移动，设BNx．

（1）当点B与点N重合时，求劣弧AN的长；

（2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；

（3）设点O到BC的距离为d．

①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；

②直接写出d的最小值．

【答案】（1）π

（2）点B到OA的距离为2；3

2

（3）①d33；②

3

【解析】【分析】（1）如图，连接OA，OB，先证明AOB为等边三角形，再利用等边三角形的

性质结合弧长公式可得答案；

（2）过B作BIOA于I，过O作OHMN于H，连接MO，证明四边形BIOH是矩形，可得

BHOI，BIOH，再结合勾股定理可得答案；

（3）①如图，由过点A的切线与AC垂直，可得AC过圆心，过O作OJBC于J，过O作

OKAB于K，而ABC90，可得四边形KOJB为矩形，可得OJKB，再进一步利用勾股

定理与锐角三角函数可得答案；②如图，当B为MN中点时，过O作OLBC于L，过O作

OJBC于J，OLOJ，此时OJ最短，如图，过A作AQOB于Q，而ABAO3，证

明BQOQ1，求解AQ321222，再结合等角的三角函数可得答案．

【小问1详解】

解：如图，连接OA，OB，

∵O的半径为3，AB3，

∴OAOBAB3，

∴AOB为等边三角形，

∴AOB60，

60π´3

∴AN的长为=π；

180

【小问2详解】

解：过B作BIOA于I，过O作OHMN于H，连接MO，

∵OA∥MN，

∴IBHBHOHOIBIO90，

∴四边形BIOH是矩形，

∴BHOI，BIOH，

∵MN25，OHMN，

∴MHNH5，而OM3，

∴OHOM2MH22BI，

∴点B到OA的距离为2；

∵AB3，BIOA，

∴AIAB2BI25，

∴OIOAAI35BH，

∴xBNBHNH3553；

【小问3详解】

解：①如图，∵过点A的切线与AC垂直，

∴AC过圆心，

过O作OJBC于J，过O作OKAB于K，而ABC90，

∴四边形KOJB为矩形，

∴OJKB，

∵AB3，BC32，

∴ACAB2BC233，

AB31AK

∴cosBAC，

AC333AO

∴AK3，

∴OJBK33，即d33；

②如图，当B为MN中点时，

过O作OLBC于L，过O作OJBC于J，

∴OJL90，

∴OLOJ，此时OJ最短，

如图，过A作AQOB于Q，而ABAO3，

∵B为MN中点，则OBMN，

∴由（2）可得OB2，

∴BQOQ1，

∴AQ321222，

∵ABC90AQB，

∴OBJABO90ABOBAQ，

∴OBJBAQ，

∴tanOBJtanBAQ，

OJBQ1

∴，

BJAQ22

设OJm，则BJ22m，

2

∴m222m22，

2

解得：m（不符合题意的根舍去），

3

2

∴d的最小值为．

3

【点睛】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的

应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题

的关键．

3.（2024江苏苏州）如图，ABC中，ACBC，ACB90，A2,0，C6,0，反比例

k

函数yk0,x0的图象与AB交于点Dm,4，与BC交于点E．

x

（1）求m，k的值；

k

（2）点P为反比例函数yk0,x0图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重

x

合），过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求PMN

面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】（1）m2，k=8

98

（2）S△PMN最大值是，此时P3,

23

【解析】【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键

是：

（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的函数表达式，把D的坐标代入直线AB

的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；

（2）延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出QMQP，设

81

点的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即

Pt,2t6SPMN6tt

t2

可．

【小问1详解】

解：A2,0，C6,0，

AC8．

又ACBC，

BC8．

ACB90，

点B6,8．

设直线AB的函数表达式为yaxb，

2ab0

将A2,0，B6,8代入yaxb，得，

6ab8

a1

解得，

b2

∴直线AB的函数表达式为yx2．

将点Dm,4代入yx2，得m2．

D2,4．

k

将D2,4代入y，得k=8．

x

【小问2详解】

解：延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．

ACBC，BCA90，

BAC45．

PN∥x轴，

BLNBAC45，NQM90．

PM∥AB，

MPLBLP45，

QMPQPM45，

QMQP．

8

设点P的坐标为t,，2t6，则PQt，PN6t．

t

MQPQt．

11129

SPNMQ6ttt3．

PMN2222

98

当t3时，S△PMN有最大值，此时P3,．

23

1

4.（2024黑龙江齐齐哈尔）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线yx2与x轴

2

2

交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线yaxbxca0与x轴的另一个交点为点

B(1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直

线AC于点E，点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是x轴上的任意一点，若ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；

（3）当EFAC时，求点P的坐标；

（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，

连接NA，MP，则NAMP的最小值为______．

13

【答案】（1）yx2x2

22

（）

2D14,0,D2425,0,D3425,0

（3）P2，3

313

（4）

2

【解析】【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思

想成为解题的关键．

（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；

（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；

123

（3）先证明AOC≌EPFASA可得PFOC2，设Pm,mm20m4，则

22

11212

Fm,m2,可得PFm2m，即m2m2，求得可得m的值，进而求得点P的

222

坐标；

3

（4）如图：将线段NA向右平移单位得到MG,即四边形MNAG是平行四边形，可得

2

311，，3

NAMG,AGMN,即G0，作P23关于对称轴x的点P11,3,则

222

313

MPMP1，由两点间的距离公式可得PG，再根据三角形的三边关系可得

2

313

NAMPMGMPPG即可解答．

112

【小问1详解】

1

解：∵直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C，

2

∴当y0时，x4，即A4,0；当x0时，y=2，即C0,2；

∵B(1，0)，

∴设抛物线的解析式为yax1x4a0，

1

把C0,2代入可得：2a0104，解得：a，

2

113

∴yx1x4x2x2，

222

13

∴抛物线的解析式为：yx2x2．

22

【小问2详解】

解：∵A4,0，C0,2，

∴OC2,OA4,

∴ACOC2AB225，

如图：当，

CD1AC25,OCAD1

∴OD1OA4,即D14,0；

如图：当，

AD2AC25

∴,即；

OD2AD2AC254D2425,0

如图：当，

AD3AC25

∴,即；

OD3AD3AC254D2425,0

综上，点的坐标为．

DD14,0,D2425,0,D3425,0

【小问3详解】

解：如图：∵PE∥x轴，

∴PEAOAC，

∵PF∥y轴，

∴PFEOCA，

∵EFAC，

∴AOC≌EPFASA,

∴PFOC2,

1231

∵设Pm,mm20m4，则Fm,m2,

222

112312

∴PFm2mm2m2m，

2222

1

∴m22m2，解得：m2（负值舍去），

2

13

当m2时，22323，

22

∴P2，3．

【小问4详解】

13

解：∵抛物线的解析式为：yx2x2，

22

3

∴抛物线的对称轴为：直线x，

2

3

如图：将线段NA向右平移单位得到MG,

2

∴四边形MNAG是平行四边形，

311

∴NAMG,AGMN,即G，0,

22

3

作P2，3关于对称轴x的点P1,3,则MPMP1

21

2

112313

∴,

P1G130

22

313

∵NAMPMGMPPG，

112

313

∴NAMP的最小值为．

2

故答案为313．

2

5.（2024吉林省）如图，在ABC中，C90，B30，AC3cm，AD是ABC的角

平分线．动点P从点A出发，以3cm/s的速度沿折线ADDB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，

交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧，设点P的运动时间为

2

tst0，VPQE与ABC重合部分图形的面积为Scm．

（1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t

的代数式表示）．

（2）当点E与点C重合时，求t的值．

（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．

【答案】（1）等腰三角形，AQt

3

（2）t

2

33

St2,0t

42

73293

（3）St63t3,t2

422

32

St1,2t4

2

【解析】【分析】（1）过点Q作QHAD于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到QAQP，

13

由QHAP，得到HAAPt，解Rt△AHQ得到AQt；

22

（2）由VPQE为等边三角形得到QEQP，而QAQP，则QEQA，故AE2AQ2t3，

3

解得t；

2

（3）当点P在AD上，点E在AC上，重合部分为VPQE，过点P作PGQE于点G，

13133

PGAPt，则SQEPGt2，此时0t；当点P在AD上，点E在AC延

22242

长线上时，记PE与AC交于点F，此时重合部分为四边形FPQC，此时

132

CFCEtanE32t3，因此SCECF2t3，故可得

FCE22

3

7329，此时；当点在上，重合部分为

SS△S△t63t3t2PDB

PQEFCE422

△PQC，此时PD3t23，PCCDPD3t33t1，解直角三角形得

PC3132

QCPCt1，故SQCPCt1，此时2t4，再综上即可求

tanPQC322

解．

【小问1详解】

解：过点Q作QHAD于点H，由题意得：AP3t

∵C90，B30，

∴BAC60，

∵AD平分BAC，

∴PAQBAD30，

∵PQ∥AB，

∴APQBAD30，

∴∠PAQ∠APQ，

∴QAQP，

∴△APQ为等腰三角形，

∵QHAP，

13

∴HAAPt，

22

AH

∴在Rt△AHQ中，AQt；

cosPAQ

【小问2详解】

解：如图，

∵VPQE为等边三角形，

∴QEQP，

由（1）得QAQP，

∴QEQA，

即AE2AQ2t3，

3

∴t；

2

【小问3详解】

解：当点P在AD上，点E在AC上，重合部分为VPQE，过点P作PGQE于点G，

∵PAQ30，

13

∴PGAPt，

22

∵VPQE是等边三角形，

∴QEPQAQt，

13

∴SQEPGt2，

24

3

由（2）知当点E与点C重合时，t，

2

323

∴St0t；

42

当点P在AD上，点E在AC延长线上时，记PE与AC交于点F，此时重合部分为四边形FPQC，

如图，

∵VPQE是等边三角形，

∴E60，

而CEAEAC2t3，

∴CFCEtanE32t3，

1132

∴SCECF2t332t32t3，

FCE222

332739

∴SSSt22t3t263t3，

PQEFCE4242

AC

当点P与点D重合时，在RtADC中，AD23AP3t，

cosDAC

∴t2，

73293

∴St63t3t2；

422

当点P在DB上，重合部分为△PQC，如图，

∵DAC30DCA90，

由上知DC3，

∴AD23，

∴此时PD3t23，

∴PCCDPD3t33t1，

∵VPQE是等边三角形，

∴PQE60，

PC3

∴QCPCt1，

tanPQC3

132

∴SQCPCt1，

22

∵BBAD30，

∴DADB23，

∴当点P与点B重合时，3tADDB43，

解得：t4，

32

∴St12t4，

2

33

St2,0t

42

7393

综上所述：St263t3,t2．

422

32

St1,2t4

2

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边

三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．

6.（2024山东威海）如图，在菱形ABCD中，AB10cm，ABC60，E为对角线AC上一

动点，以DE为一边作DEF60，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，

沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x

秒．

（1）求证：BEEF；

（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（3）求x为何值时，线段DF的长度最短．

【答案】（1）证明见解析；

（2）y3x2103x0x5；

5

（3）x．

2

【解析】【分析】（1）设CD与EF相交于点M，证明BCE≌DCESAS，可得CBECDE，

BEDE，利用三角形外角性质可得CDECFE，即得CBECFE，即可求证；

（2）过点E作ENBC于N，解直角三角形得到ENCE·sin603xcm，

CNCE·cos60xcm，可得BNBCCN10xcm，由等腰三角形