8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系（10大题型）（原卷版）

8．4空间点、直线、平面之间的位置关系【题型归纳目录】题型一：平面的概念及其表示题型二：平面的确定题型三：点线共面题型四：三点共线题型五：三线共点问题题型六：截面问题题型七：直线与直线的位置关系题型八：异面直线所成的角题型九：直线与平面的位置关系题型十：平面与平面的位置关系【思维导图】【知识点梳理】知识点一、平面的基本概念1、平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．知识点诠释：（1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；（2）“平面”无厚薄之分；（3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．2、平面的画法：通常画平行四边形表示平面．知识点诠释：（1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；（2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；3、平面的表示法：（1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；4、点、直线、平面的位置关系：（1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；（2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；（3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．知识点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础．1、公理1：（1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；（2）符号语言表述：，，，；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．2、公理2：（1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；（2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．（4）公理2的推论：①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②过两条相交直线，有且只有一个平面；③过两条平行直线，有且只有一个平面．（5）作用：确定一个平面的依据．3、公理3：（1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；（2）符号语言表述：且；（3）图形语言表述：知识点诠释：公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据．知识点三、点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．1、证明点线共面的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．2、证明点线共面的常用方法：（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．知识点四、证明三点共线问题所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．2、证明三点共线的常用方法方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．知识点五、证明三线共点问题所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．1、证明三线共点的依据是公理3．2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．知识点六、异面直线1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．2、画法：3、两异面直线所成角的常用方法平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．知识点七、空间两条直线的位置关系位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内有且只有一个公共点平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点知识点八、直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内有无数个公共点直线a与平面α相交有且只有一个公共点直线a与平面α平行无公共点知识点九、平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行无公共点两平面相交有无数个公共点，这些点在一条直线上【典型例题】题型一：平面的概念及其表示【例1】点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（三种语言转换的注意事项）（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．（2）符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．（3）由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意把被遮挡的部分画成虚线．【变式1-1】（2025·高二·上海·课后作业）若一直线a在平面上，则正确的作图是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（2025·高一·北京房山·期末）“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（

）A．， B．，C．， D．，【变式1-3】（2025·高一·全国·专题练习）如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面题型二：平面的确定【例2】（2025·高一·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-1】（2025·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【变式2-2】（2025·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（

）A． B． C． D．【变式2-3】（2025·高一·江苏镇江·阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．过三点确定一个圆B．两个相交平面把空间分成四个区域C．三条直线两两相交，则确定一个平面D．四边形一定是平面图形题型三：点线共面【例3】（2025·高二·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面【方法技巧与总结】（证明点线共面问题的常用方法）（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．（2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．【变式3-1】（2025·高二·上海·阶段练习）已知：，求证：直线共面于.

【变式3-2】（2025·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面；【变式3-3】（2025·高三·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．证明：点在平面中.【变式3-4】（2025·高二·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．(1)求证：、、、四点共面；(2)设与交于点，求证：、、三点共线．题型四：三点共线【例4】（2025·高一·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线.【变式4-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线.【变式4-2】（2025·高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．

【变式4-3】（2025·高一·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点．题型五：三线共点问题【例5】（2025·高二·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：

(1)直线和在同一平面上；(2)直线、和交于一点．【方法技巧与总结】（证明多点共线、多线共点的常用方法）（1）证明三线共点常用的方法：先证明两条直线相交于一点，然后证明这个点在两个平面内，第三条线是这两个平面的交线，于是该点在第三条直线上，从而得到三线共点．也可以先证明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再证明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点．（2）类比线共点的证明方法，可得到三点共线的证明方法：①首先找出两个平面的交线，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3，可推知这些点都在交线上，即三点共线．②选择其中两点确定一条直线，然后证明第三个点也在这条直线上．【变式5-1】（2025·高三·全国·专题练习）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点.【变式5-2】（2025·高一·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱.(1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）；(2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点.题型六：截面问题【例6】如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．

【变式6-1】（2025·高三·安徽·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线.

(1)画出直线的位置，并说明作图依据；(2)正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积.【变式6-2】（2025·高一·辽宁·期末）如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点．(1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）．(2)求截面的面积．【变式6-3】（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，

(1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）；(2)求截面图形的面积【变式6-4】（2025·高一·重庆北碚·阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．

(1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；

(2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积．题型七：直线与直线的位置关系【例7】（2025·高二·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（

）A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直【方法技巧与总结】（判定两直线异面的常用方法）（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；（2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况．【变式7-1】（2025·高一·上海嘉定·期中）已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（

）A． B． C． D．【变式7-2】（2025·高二·重庆·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④【变式7-3】（2025·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（

）A． B． C． D．题型八：异面直线所成的角【例8】（2025·高一·湖南岳阳·期末）在如图所示的圆锥中，AB为底面圆O的直径，C为的中点，，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为．【方法技巧与总结】（两异面直线所成角的常用方法）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．【变式8-1】（2025·高一·广西桂林·期末）在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为．【变式8-2】（2025·高一·四川德阳·期末）正方体的棱与体对角线所成角的正切值为．【变式8-3】（2025·高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为．题型九：直线与平面的位置关系【例9】（2025·高一·全国·课后作业）直线a，b是异面直线，是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（

）A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过至少有一个平面平行于a，bC．过有无数个平面平行于a，b D．过且平行于a，b的平面可能不存在【方法技巧与总结】（直线与平面位置关系的解题思路）解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析．【变式9-1】（2025·高一·北京通州·期末）如图，在长方体中，则下列结论正确的是（

）A．点平面 B．直线平面C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线【变式9-2】（2025·高二·浙江宁波·学业考试）如图，在正方体中，直线与平面的位置关系为（

）A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行【变式9-3】（2025·高一·北京·期末）过平面外一点，能做（

）条直线与平面平行.A．0 B．1 C．2 D．无数题型十：平面与平面的位置关系【例10】（2025·高一·全国·课后作业）在四棱台中，平面与平面的位置关系是（

）A．相交 B．平行C．不确定 D．异面【方法技巧与总结】（平面与平面位置关系的解题思路）判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．常借助长方体模型进行判断．【变式10-1】（2025·高二·吉林通化·期中）平面满足则与的位置关系为（

）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对【变式10-2】（2025·高二·上海长宁·阶段练习）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（

）A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC【变式10-3】（多选题）（2025·江苏南京·一模）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（

）

A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．三点共线

【强化训练】1．两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．两个相交平面画法正确的是（

）A． B．C． D．4．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（

）A． B．C． D．5．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（

）A．平行 B．相交C．异面 D．以上都不是6．在直三棱