2024届北京市龙文教育中考数学模试卷含解析

2024学年北京市龙文教育重点名校中考数学模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图是二次函数y=ax?+bx+c的图象，对于下列说法：①ac>0,®2a+b>0,③4ac<b，④a+b+c<0,⑤当x>0

时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）

B.①©④D.③©@

2.如图，AB为。。的直径，C、D为0O上的点，若AC=CD=DB,则cosNCAD=（）

D.走

2

4.如图，中，£是5C的中点，设AB=a,AD=b,那么向量AE用向量a、b表示为（）

c-1£n-1r

C.-a+—bD.-ci——b

22

如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（）

6.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC+ZDCB=90°,且BC=2AD,分另U以AB、BC、DC为边向外作正方

形，它们的面积分别为Si、S2、Si.若S2=48,SI=9,则&的值为（)

7.某校对初中学生开展的四项课外活动进行了一次抽样调查（每人只参加其中的一项活动），调查结果如图所示，根据图

形所提供的样本数据，可得学生参加科技活动的频率是（）

A.0.15B.0.2C.0.25D.0.3

8.2017年，太原市GDP突破三千亿元大关，达到3382亿元，经济总量比上年增长了426.58亿元，达到近三年来增

量的最高水平，数据“3382亿元”用科学记数法表示为（)

A.3382x108元B.3.382x10s元C.338.2x1（）9元D.3.382x10"元

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，△W用（7由4A6c绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）

A.(0,1)C.(0,-1)D.(1,0)

10.如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在ATBTC—D路径匀速运动到点D,设△PAD的面

积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知函数产一-1,给出一下结论:

①y的值随x的增大而减小

②此函数的图形与x轴的交点为（1,。）

③当x>0时，y的值随x的增大而越来越接近・1

④当烂：时，y的取值范围是心1

以上结论正确的是（填序号）

12.己知关于x的方程、2-2褥一|<=。有两个相等的实数根，则k的值为.

13.如图，菱形ABCD的边AD_Ly轴，垂足为点E,顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y

=-（k#,x>0）的图象经过顶点C、D,若点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为.

14.已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm,腰长为50cm,能从这块钢板上截得得最大圆得半径为cm

15.如图，。。的半径为6,四边形ABCD内接于。O,连接OB,OD,若NBOD=NBCD,则弧BD的长为

16.如图，“人字梯”放在水平的地面上，当梯子的一边与地面所夹的锐角a为60时，两梯角之间的距离BC的长为3m.

周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使a为60，后又调整a为45，则梯子顶端离地面的高度AD下降了m（结

果保留根号）.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，△ABC中，ZA=90c,AB=AC=4,D是BC边上一点，将点D绕点A逆时针旋转60。得到点E,连

接CE.

A

B

0

⑴当点E在BC边上时，画出图形并求出的度数；

（2）当ACDE为等腰三角形时，求NB4U的度数；

⑶在点D的运动过程中，求CE的最小值.

（参考数值:s加7§。="十,cos7S°=,ta〃7S°=2+）

44

18.（8分）问题：将菱形的面积五等分.小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可

解决问题,如图，点。是菱形A8CD的对角线交点，AB=5t下面是小红将菱形A/SCD面积五等分的操作与证明思路,

请补充完整.

AEB

"A'c

(1)在48边上取点E,使AE=4,连接。4,OE；

(2)在8C边上取点尸,使8尸=,连接。尸;

(3)在CD边上取点G,使CG=,连接OG

(4)在DA边上取点〃，使,连接由于A£=++=+

.可证SAAOE=S四边形EOFB=S四边形FOGC=S四边形（；〃/〃）=SAHOA.

19.(8分)为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进

入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为、(分)，且50W;<100,

将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：

组别成绩,(分)频数(人数)频率

—50<x<6020.04

二60^x<70100.2

三70<x<8014b

四80<x<90a0.32

五90^x<10080.16

请根据表格提供的信息，解答以下问题:

(1)本次决赛共有名学生参加；

(2)直接写出表中a=,b=

(3)请补全下面相应的频数分布直方图;

A

2频散（人）

10r

18F

16r

14r

12lg-

100成绫（分）

（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为.

20.（8分）如图，AABC内接于。O,过点。作的垂线交。。于O,点月在8C的延长线上，RZDEC=ZBAC.求

证：OE是。。的切线；若AC//DE,当4B=8,CE=2时，求。。直径的长.

21.（8分）某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m.

（1）若养鸡场面积为168m2,求鸡场垂直于墙的一边AB的长.

（2）请问应怎样围才能使养鸡场面积最大？最大的面积是多少？

墙

AD

22.（10分）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字2、3、4（背面完全相同）,

现将标有数字的一面朝下.小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和

小亮抽得的两个数字之和.请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率.如果和为奇数，则小明胜；若

和为偶数，则小亮胜.你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由.

23.（12分）十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的

战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措.二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩（假

设生男生女机会均等，且与顺序无关）.

⑴该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好都是女孩的概率；

⑵该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中恰好是2女1男的概率.

24.如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60。后得到CE,

连接AE.求证；AE〃BC.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解题分析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【题目详解】

解：①由图象可知：a>0,c<0,

・・・acV0,故①错误；

②由于对称轴可知：-幺VI,

2a

A2a+b>0,故②正确；

③由于抛物线与x轴有两个交点，

/.△=b2-4ac>0,故③正确；

④由图象可知：x=l时，y=a+b+cV0,

故④正确；

⑤当x>-二时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；

2a

故选：C.

【题目点拨】

本题考有二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型.

2、D

【解题分析】

根据圆心角，弧，弦的关系定埋可以得出AC=CQ=5Q=§X180=60，根据圆心角和圆周角的关髓即可求出NC4Q

的度数，进而求出它的余弦值.

【题目详解】

解：*.AC=CD=DB

AC=CO=BQ=；xl8()=6(),

ZCAD=lx60，=30°

2

cosZCAD=cos30=—

2

故选D.

【题目点拨】

本题考查圆心角，弧，弦，圆周角的关系，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

3、B

【解题分析】

把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

【题目详解】

解：根据中心对称图形的定义可知只有B选项是中心对称图形，故选择B.

【题目点拨】

本题考察了中心对称图形的含义.

4、A

【解题分析】

根据AE=AB+BE，只要求出BE即可解决问题.

【题目详解】

解：四边形ABCD是平行四边形，

/.AD//BC,AD=BC,

BC=AD=b，

・・・BE=CE,

BE=-b,

2

AE=AB+BE,AB=a,

-1-

AE=aH—b,

2

故选：A.

【题目点拨】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.

5、D

【解题分析】

试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是一，故答案选D.

考点：简单几何体的三视图.

6、D

【解题分析】

过A作A〃〃CO交5C于〃，根据题意得到N5AE=90。，根据勾股定理计算即可.

【题目详解】

VS2=48,:.BC=46,过A作交5C于〃，贝ljNA〃"=NDC5.

*：AD//BCt，四边形是平行四边形，；.CH=BH=AD=26，AH=CD=l.

VZA^C+ZDCB=90°,,NA〃3+NA8C=90。,Z^A//=90°,工ABfH2・A*l,A5i=l.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

7、B

【解题分析】

读图可知：参加课外活动的人数共有(15+30+20+35)=100人,

其中参加科技活动的有20人，所以参却科技活动的频率是而二。.2,

故选B.

8、D

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【题目详解】

3382亿=338200000000=3382x1.

故选：D.

【题目点拨】

此题考杳科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中lW|a|V10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

9、B

【解题分析】

试题分析：根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.

试题解析：由图形可知，

3A

对应点的连线C。、AA，的垂直平分线过点（0,・1）,根据旋转变换的性质，点（1,・1）即为旋转中心.

故旋转中心坐标是P（1,-1）

故选B.

考点：坐标与图形变化一旋转.

10、B

【解题分析】【分析】设菱形的高为h,即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角

形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可.

【题目详解】分三种情况：

①当P在AB边上时，如图1,

设菱形的高为h,

y=1AP・h,

・・・AP随x的增大而增大，h不变，

・・.y随X的增大而增大，

故选项C不正确；

②当P在边BC上时，如图2,

y=1AD-h,

AD和h都不变，

工在这个过程中,y不变.

故选项A不正确；

③当P在边CD上时，如图3,

y=^PD*h,

・・・PD随x的增大而减小，h不变，

・・・y随x的增大而减小，

TP点从点A出发沿A-B-C-D路径匀速运动到点D,

・・・P在三条线段上运动的时间相同，

故选项D不正确，

故选B.

【题目点拨】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求

出^PAD的面积的表达式是解题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

【解题分析】

(1)因为函数)，二1-1的图象有两个分支，在每个分支上y随x的增大而减小，所以结论①错误；

x

(2)由，-1=0解得：x=\f

x

・•・的图象与X轴的交点为(1,0),故②中结论正确；

X

(3)由y=可知当x>0时，y的值随x的增大而越来越接近.1,故③中结论正确；

x

(4)因为在y=L-l中，当时，)，=-2,故④中结论错误；

x

综上所述，正确的结论是②③.

故答案为：②③.

12、-3

【解题分析】

试题解析：根据题意得：△二(2\。)2-4xlx(-k)=0,即12+4k=0,

解得：k=-3,

13、”

4

【解题分析】

过点D作DF_LBC于点F,由菱形的性质可得BC=CD,AD〃BC,可证四边形DEBF是矩形，可得DF=BE,DE

=BF,在RtADFC中，由勾股定理可求DE=LDF=3,由反比例函数的性质可求k的值.

【题目详解】

•・•四边形ABCD是菱形，

ABC=CD,AD/7BC,

VZDEB=90°,AD/7BC,

.*.ZEBC=90o,且NDEB=90。，DF1BC,

・•・四边形DEBF是矩形，

ADF=BE,DE=BF,

•・•点C的横坐标为5,BE=3DE,

ABC=CD=5,DF=3DE,CF=5-DE,

VCD2=DF2+CF2,

A25=9DE2+(5-DE)2,

/.DE=1,

ADF=BE=3,

设点C(5,m),点D(l,m+3),

・・,反比例函数y=&图象过点CD,

x

/.5m=lx(m+3),

.3

・・n】=一,

4

-3

•:点C(5,—),

4

315

/.k=5x—=—,

44

故答案为：v

【题目点拨】

本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键.

14、15

【解题分析】

如图，等腰△ABC的内切圆。O是能从这块钢板上截得的最大圆，则由题意可知：AD和BF是AABC的角平分线,

AB=AC=50cm,BC=60cm,

AZADB=90°,BD=CD=30cm,

/^0=^502-302=40(cm),

连接圆心O和切点E,贝IJNBEO=90。，

又・.・OD=OE,OB=OB,

AABEO^ABDO,

.•.BE=BD=3()cm,

AE=AB-BE=50-30=20cm,

设OD=OE=x,则AO=40・x,

在R3AOE中，由勾股定理可得：x2+202=(40-x)2,

解得：x=15(cm).

即能截得的最大圆的半径为15cm.

故答案为：15.

点睛：（1）三角形中能够裁剪出的最大的圆是这个三角形的内切圆；（2）若三角形的三边长分别为a、b、c,面积为S,

2S

内切圆的半径为r,则〃=—■—.

a+b+c

15^47r

【解题分析】

根据圆内接四边形对角互补可得NBCD+NA=180。，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及NBODnNBCD,

可求得NA=60。，从而得NBOD=120。，冉利用弧长公式进行计算即G得.

【题目详解】

解:•・•四边形ABCD内接于。O,

/.ZBCD+ZA=180°,

VZBOD=2ZA,ZBOD=ZBCD,

/.2ZA+ZA=180°,

解得：ZA=60°,

AZBOD=120°,

120万x6

***BD的长二=4乃,

180

故答案为47r.

【题目点拨】

本题考查了圆周角定理、弧长公式等，求得NA的度数是解题的关键.

16、3卜”）

2

【解题分析】

根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案.

【题目详解】

解：如医1所示:

过点A作AD_LBC于点D,

由题意可得：ZB=/C=60,

则_ABC是等边三角形，

故BC=AB=AC=3m,

则AD=3sin60=—m,

2

过点A作AE_LBC于点E,

由题意可得：ZB=/C=60,

则一ABC是等腰直角三角形，BC=AB=3m,

35

则AE=3sin45=-----m,

2

故梯子顶端离地面的高度AI）下降了

2

故答案为：J〉一及）.

2

【题目点拨】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确画出图形利用锐角三角三角函数关系分析是解题关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）ZBAD=15°；（2）NBAC=45。或NBAD=60。；（3）CE=R-O・

【解题分析】

（1）如图1中，当点笈在8c上时.只要证明△A4O0△C4E,即可推出N84O=NC4£=1（90。・60。）=15。；

2

（2）分两种情形求解①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DEt此时△DEC是等腰三角形.②如图3中，当CD=CE

时，△DEC是等腰三角形；

（3）如图4中，当&'在〃C上时，E记为ET。记为“，连接EE，.作CM_L@肥于"，肥N_LAC于MDE交AE'

于“首先确定点E的运动轨迹是直线石白（过点石与NC成60。角的直线上），可得KC的最小值即为线段CM的长

（垂线段最短）.

【题目详解】

解：（1）如图1中，当点E在BC上时.

图1

VAD=AE,ZDAE=60°,

•••△ADE是等边三角形，

.\ZADE=ZAED=60°,

AZADB=ZAEC=120°,

VAB=AC,ZBAC=90°,

/.ZB=ZC=45°,

在AABD^AACE中，

ZB=ZC,ZADB=ZAEC,AB=AC,

/.△BAD^ACAE,

AZBAD=ZCAE=-(90°-60°)=15°.

2

(2)①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE,此时△DEC是等腰三角形，ZBAD=-ZBAC=45°.

2

图2

②如图3中，当CD=CE时，△DEC是等腰三角形.

VAD=AE,

•♦•AC垂直平分线段DE,

・・・NACD=NACE=45。,

・•・ZDCE=90°,

/.ZEDC=ZCED=45°,

VZB=45°,

AZEDC=ZB,

ADE/7AB,

.\ZBAD=ZADE=60".

图3

（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E，，D记为D。连接EEl作CM_LEE，于M,EN_LAC于N,DE交AE，

于O.

图4

VZAOE=ZDOESZAErD=ZAEO,

.,.△AOE^ADOES

AAO:OD=EO:OE',

•'AO：EO=OD：OE',

VZAOD=ZEOES

.,.△AOD^AEOES

AZEErO=ZADO=60°,

・••点E的运动轨迹是直线EE，（过点E与BC成60。角的直线上）,

・•・EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短），

设ErN=CN=a,贝1]AN=4-a,

在RtAANE'中，tan750=AN：NE',

A2+V3=—>

a

/.a=2--5/3,

3

.••CE，=、6CN=2后.

在RtACEM中，CM=CEr*cos30°=瓜一小，

・・・CE的最小值为6—友.

【题目点拨】

本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判

定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用垂线

段最短解决最值问题.属于中考压轴题.

18、(1)见解析；(2)3；(3)2；(4)1,EB、BF；FC、CG；GD、DH；HA

【解题分析】

利用菱形四条边相等，分别在四边上进行截取和连接，得出AE=EB+BF=FC+CG+GD+DH

=HA,进一步求得SAAOE=S四边形行。尸8=S四边形〃OGC=S四边形GO“/)=SAHOA.艮口可.

【题目详解】

(1)在.4〃边上取点段使人厄=4,连接。1,OE,

(2)在BC边上取点尸，使"=3,连接。尸；

(3)在C7)边上取点G,使CG=2,连接OG；

(4)在D4边上取点"，使。”=1,连接0".

由于AE=EB+BF=FC+CG=GD+DH=HA.

可证SAAOE=S四边形四边形FOGC=S西边形G〃/〃)=SAHOA-

故答案为：3,2,1；EH.BF；/C、CG；GD、DH；HA.

【题目点拨】

此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的四条边相等，对角线互相垂直是解题的关键.

19、(1)50；(2)a=16,b=0.28；(3)答案见解析；(4)48%.

【解题分析】

试题分析：(1)根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；(2)根据样本容量以及频数、频率之旬的关系得出a和

b的值，(3)根据a的值将图形补全；(4)根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%

得出答案.

试题解析：(1)2-?0.04=50

(2)50x0.32=16144-50=0.28

(4)(032+0.16)xl00%=48%

考点：频数分布直方图

20、(1)见解析；(2)直径的长是4石.

【解题分析】

(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD_LDE,即可得出结论；

(2)先判断出AC_LBD,进而求出BC=AB=8,进而判断出△BDCs2XBED,求出BD,即可得出结论.

【题目详解】

证明：(D连接80,交AC于尸，

•;DC1.BE,

：./BCD=NOC£=90。,

・・・3。是0。的直径，

:.NOEC+NCDE=90。，

丫NDEC=NBAC,

•••NR4C+NCOE=90。,

;弧BC=MBC,

:・NBAC=/BDC,

：・NBDC+NCDE=90。,

：.BD±DEf

・・・&£是©O切线；

解：（2）•JACZ/DE,BDA.DE,

：.BI）±AC.

・・・RO是©O直径，

:・AF=CF,

：.AB=BC=8f

'：BDA.DE,DCA.BE,

:./BCD=N3O£=90。，NDBC=NEBD,

：・4BDCS4BED,

.BD_BC

・•・BO?=BC・"£=8x10=80,

工BD=4逐.

即直径的长是4逐.

【题目点拨】

此题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，第二问中求出BC=8是解本题

的关键.

21、（1）鸡场垂直于墙的一边AB的长为2米：（1）鸡场垂直于墙的一边AB的长为10米时，围成养鸡场面积最大，

最大值100米L

【解题分析】

试题分析：（1）首先设鸡场垂直于墙的一边的长为x米，然后根据题意可得方程x（40-lx）=168,即可求得x的

值，又由墙长15m,可得x=2,则问题得解；

（1）设围成养鸡场面积为S,由题意可得S与工的函数关系式，由二次函数最大值的求解方法即可求得答案；

解：（1）设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x米，

则x（4。-lx）=168,

整理得：x1-10x+84=0,

解得：xi=2,xi=6,

,・•墙长15m,

A0<BC<15,即0<40-lx<15,

解得：7.5<x<10,

/.x=2.

答：鸡场垂直于墙的一边AB的长为2米.

(1)围成养鸡场面积为S米I

则S=x(40-lx)

=-lx'+40x

=-1(x1-10x)

=-1(x1-lOx+101)+1x101

=-1(x-10)1+100,

V-1(x-10)1<0,

・・・当x=10时，S有最大值100.

即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10米时，围成养鸡场面积最大，最大值100米L

点睛：此题考查了一元二次方程与二次函数的实际应用.解题的关键是理解题意，并根据题意列出一元二次方程与二

次函数解析式.

22、(1)列表见解析；(2)这个游戏规则对双方不公平.

【解题分析】

(1)首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为6