2024-2025学年八年级数学上册专题113 实数【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

专题1L3实数【十大题型】

【华东师大版】

＞题型梳理

【题型1实数的概念理解】.............................................................................1

【题型2实数的运算】..................................................................................3

【题型3估算无理数的大小】...........................................................................5

【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】...........................................................8

【题型5实数与数轴】.................................................................................II

【题型6实数的大小比较】............................................................................14

【题型7程序设计中的实数运算】.....................................................................16

【题型8新定义中的实数运算】........................................................................19

【题型9实数运算的实际应用】.......................................................................20

【题型10实数运算中的规律探究】.....................................................................23

院举一反三1

知识点1：实数

正整数

整数0

有理数负整数有限小数或无限循环小数

实数正分数

分数

负分数

正无理数'

无理数「无限不循环小数

负无理数

无限不循环小数叫做无理数.

常见类型:①特定结构的无限不循环小数,如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

②含有冗的绝大部分数.如27r.

【题型1实数的概念理解】

【例1】（23-24八年级•陕西西安•期中）下列各数是无理数的是（）

A.0.101001B.-2C.-D.V9

2

【答案】C

【分析】根据无理数的定义判断即可.

【详解】解：A、0.101001是有限小数,属于有理数；

B、-2是整数，属于有理数；

C、3是无限不循环小数，属于无理数；

D、V9=3,属于有理数；

故选：C.

【点睛】此题主要考瓷了无埋数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：7T,Z7T等；开方开不尽的数；以

及像0.1010010001...,等有这样规律的数.

【变式1-1］（23-24八年级.河南安阳・期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内:①-*②VL③1-6,

@0,⑤一VO,@7^125,⑦一］⑧0..（相邻的两个3之间依次多1个0）,⑨0.23,⑩3.14

4

（1）整数集合：（）

（2）分数集合：（）

⑶无理数集合：（）

【答案】（I）③®⑥

⑵®®®

⑶@©©⑧

【分析】本题考杳了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键.

（D根据整数的定义作答即可：

（2）根据分数的定义作答即可；

（3）根据无理数的定义作答即可.

【详解】（1）解：③l-"二l一2二-l是整数，④0是整数，⑥口芯二一5是整数，

整数集合：③④⑥

故答案为：③④⑥

（2）①一号是分数，⑨0.23是分数，⑩3.14是分数.

分数集合：①®©

故答案为：①⑨⑩

（3）②冠是无理数，⑤一屈是无理数，⑦一£是无理数，⑧0（相邻的两个3之间依次多I

4

个0）是无理数，无理数集合

故答案为：②®©⑧

【变式1-2］（23-24八年级•湖南衡阳・期中）-旧的绝对值是,5-压的相反数是.

【答案】V13-5+V26

【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键.根据绝对值和相反数

知识求解即可.

【详解】解：-m绝对值是

5-国的相反数是：一（5-压）=一5+的.

故答案为：V13；-5+V26

【变式1-3］（23-24八年级•山东日照•期中）已知小。都是有理数，且（0一1）Q+2b=75+3,求Q+匕的

值（）

A.1D.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查的是无理数的含义，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键.由〃，b

都是有理数，且（百-1）。+26=百+3,再建立方程组解题即可.

【详解】解：・・・（百一1%+2》=\/5+3,

:.\Ga+（—a+2b）=A/3+3,

•・Z,力都是有理数,

.（a=1

•1a+2b=3'

K：r

则a+b=l+2=3.

故选：C.

【题型2实数的运算】

【例2】（23-24八年级.四川泸州.期中）计算：-12-（-2）3X1-V27X|-1|+2^V4.

83

【答案】0

【分析】此题考查了实数的运算，原式第i项利用乘方的意义计算，第二项利用乘方的意义及乘法法则计算,

第三项利用立方根定义及绝对值的代数意义化简，最后一项利用除法法则变形计算即可得到结果，熟练学

握运算法则是解本题的关键.

（I）V64-V36+VF2）2；

冰昌_（_1严3-舟通

【答案】（1）0

（2）1

【分析】本题考查了实数的混合运算，结合算术平方根、立方根、乘方的知识，熟练掌握知识、正确计算是

解题的关键.

（1）先计算算术平方根，立方根，再加减计算即可；

（2）先计算算术平方根，立方根，乘方，再加减计算即可.

【详解】（1）解：原式=4-6+2

=0；

（2）解：原式=—1—（―1）—：+2

=1.

知识点2：估算法

（।）若。K4<〃<4,则MM,

（2）若则轲〈右〈疯；

根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算员和板的大

小.例如：9vavl6,则3<石<4；8<6/<27,则2<妫<3.

常见实数的估算值:0M414,6=1.732,石=2.236.

【题型3估算无理数的大小】

【例3】（23-24八年级・北京•期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的

边长最接近的整数是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键.先利

用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得.

【详解】解：大正方形的边长为V2x4x4=原,

•••25<32<36,

V25<V32<V36,即5<V32<6,

又•••6-V32-(V32-5)=6-732-732+5,

=11-2V32,

=2x(5.5-732),

=2x(V3025-V32)<0,

•••6-V32<V32-5,

与居最接近的整数是6,

即大正方形的边长最接近的整数是6,

故选：D.

【变式3-1](23-24八年级.四川成都.期中)估算眄+41的运算结果应在哪两个整数之间()

A.3和4B.4和5C.5和6D.6和7

【答案】D

【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小先利用夹逼法求得7n的范围，然后可求得+的大致范

围.

【详解】解：v9<11<16,

3<V11<4,

1何=3,

:.6<V9+711<7,

故选：D.

【变式3-2](23-24八年级.四川成都.期末)在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏,

数值大的为赢家.小丽抽到的卡上写的是n-1,小颖抽到的卡上写的是2,那么赢家是.

【答案】小颖

【分析】估算出几的大小，继而比较即可求解.

【详解】解：v4<6<9,

•••V4<V6<炳,

2<x^6<3>

1<V6-1<2,

・•・赢家是小颖，

故答案为：小颖.

【点睛】本题考查了实数大小比较，无理数的估算，估算出遍的大小是解题的关键.

【变式3-3］（23-24八年级.江苏盐城•期中）下面是小明探索近的近似值的过程：

我们知道面积是2的正方形的边长是易知鱼>1.因此可设鱼=1+X,画出如下示意图.

由图中面积计算，S正方形=/+2xl-x+l

另一方面由题意知S正方形=2

所以7+2xlr+l=2

略去得方程2x+1=2.

解得x=0.5.即或之1.5.

（1）仿照上述方法，探究的的近似直.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

（2）结合上述具体实例，已知非负整数。、〃、m,若+且m=Q2+b,请估算

而«.（用〃、b的代数式表示）

【答案】⑴2.25,见解析

+£

【分析】（1）参照题目的过程解题即司;

（2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可.

【详解】（1）解：面积是5的正方形的边长是通，

设无=2+x,如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形,

,S正方形=X2+2X2-X+4,

而S正方形=5,

•\x?+2x2•x+4=5,

略去%2,得方程轨+4=5,解得％=0.25,

即正X2.25.

(2)解：设标=Q+x(0〈无V1),

Am=a2+2ax+x2a2+2ax,

=a2+b,

*.a2+2ax=a2+b,

解得T，

:•标=a+=,

2a

故答案为：Q+餐.

2a

【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键.

【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】

【例4】（23-24八年级映西西安•阶段练习）若〃是狗的整数部分，b是百的小数部分.则a+b—g+l的

平方根是.

【答案］±3/3和-3/-3和3

【分析】根据9?v90VIO?可得9〈回vI。，即可得到夙的整数部分是9,小数部分是同一9,即可求

解.

【详解】解：：92<90V102,I2<3<22

/.9<V90<10,1<V3<2,

工面的整数部分是9,则a=9,的小数部分是V5—1,则6=百一1,

a+h—V3+1=9+V3-1—A/3+1=9,

，9的平方根为±3.

故答案为：±3.

【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键.

【变式4-1]（23-24八年级•河南新乡•期中）已知〃?是伤的整数部分，〃是伤的小数部分，则瓶一九的值为

（）

A.-V6B.4-V6C.4+V6D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，先估算出2c乃V3,进而得到m=2,n=V6-2,

据此代值计算即可.

【详解】解：・♦・4<6V9,

・・・2<V6<3,

•••加是述的整数部分，〃是通的小数部分，

/.m=2,n=V6—2,

故选：B.

【变式4-2]（23-24八年级.江苏・期中）若【.」表示实数x的整数部分，V%>表示实数x的小数部分，如

（VI]=1»[V2]=1,<V2>=V2—1,则<3-75>+【6】的值是（）

A.4—x/3B.1—V13C.6—V3D.V13-1

【答案】A

【分析】

估算出3-8的小数部分和b的整数部分，即可求解.

【详解】

解：・.,1VKV2,

-2<—V3<—1,

A3-2<3-V3<3-l,BPI<3-V3<2,

A<3-V3>=3-V3-l=2-V3,

V4<7<9,

A2<V7<3,

/.[V7]=2,

/.<3-V3>+[V7]=2-百+2=4-技

故选：A

【点睛】

本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键.

【变式4-3]（23-24八年级.河南新乡•期中）下面是小明在学习“无理数的估算''时做的学习笔记.

无理数的估算

大家知道百是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此V5的小数部分我们不可能全部写出来，「•是我用

6-1来表示8的小数部分，你同意我的表示方法吗？

事实上，我的表示方法是有道理的，因为旧的整数部分是1,配以将这个数减去其整数部分，差就是小数

部分.

例如：

vV4<V7<V9,即2<近<3,

•••近的整数部分为2,小数部分为近一2.

根据以上笔记内容，请完成如下任务.

⑴任务一：内的小数部分为.

（2）任务二：。为百的小数部分，〃为质的整数部分，请计算-遥的值.

（3）任务三：x+y=10+V3,其中x是整数，且0<y<l,求拉一y的相反数.

【答案】（l）g-4

（2）a+b—V5=1

（3）2%-y的相反数是一23+汽

【分析】本题考查估算无理数的大小，相反数的定义，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键.

（1）估算无理数的大小即可确定整数部分和小数部分；

（2）估算无理数通，g的大小，确定。、”的值，再代入计算即可：

（3）估算无理数百的大小，求出工、），的值，再代入计算，求出相反数即可.

【详解】（1）解：而，

即4<回<5,

旧的整数部分为4,小数部分为g-4,

故答案为：V19-4：

(2)VV4<V5<V9,即2c遍<3,

•••V5的小数部分a=V5-2,

I©<A/13<V16,

即3Vm<4,

jn的整数部分b=3,

二a+b-V5=V5—2+3—V5=1；

(3)v/I<V3<V4,

即1<国V2,

•••6的整数部分为1,小数部分为V5-1,

10+V3=10+1+(V3-1)=11+(V3-1),

又.x+y=10十V3,

二11+(V3-1)=%+y,

•••x是整数，且0vy<l,

•••x=11,y=V3-1,

•••2x—y=11x2—(V3-1)=23—V3,

•••2x-y的相反数一23+百.

【题型5实数与数轴】

【例5】（23-24八年级•山东临沂・期中）如图，面积为7的正方形力BCD的顶点A在数轴匕且点力表示的数

为I,若点E在数轴上，（点E在点4的右侧）且48=AE,则点E所表示的数为（）

A.V7B.1+V7C.2+V7D.3+V7

【答案】B

【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出R8=AE=6.

由题意可知，面积为7的正方形ABCO边长为夕，所以=夕，而48=AE,得AE=夕，A点的坐标为h

故E点的坐标为1+夕.

【详解】•・•面积为7的正方形力BCD为7,

•,AB=y/7,

•：AB=AE,

：.AE=V7,

•・》点表示的数为1,

・•・£点表示的数为1+夕，

故选:B.

【变式5-1]（23-24八年级・北京•期中）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足a+b<0,ab<0,

则原点所在的位置有可能是（）

ABCD

ab

A.点AB.点BC.点CD.点。

【答案】C

【分析】本题考查实数与数轴，能够根据题意分析出。与〃的符号是解题的关键.

根据必<0可以得出〃与b异号，再根据Q+b<0可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值，然后根据数

轴的特点进行解题即可.

【详解】解：rab<0,

”与人异号，

由数轴上观察可知:a<b,

•••aV0,b>0,

又，；a+b<0,

•••负数的绝对值大于正数的绝对值，

••.C点由可能是原点.

故选：C.

【变式5-2]（23-24八年级•辽宁大连•期中）如图，数轴上A、8两点表示的数分别为一1和国，AB=AC,

则点C所表示的数为（）

CAOB

___________I[]]j

A.-2-V3B.一1一班C.-2+V3D.1+V3

【答案】A

【分析】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离.由于力，B两点表示的数分别为-1和6，先根据对称点

可以求出0C的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C的坐标.

【详解】解：•••对称的两点到对称中心的距离相等，

CA=AB,|-1|+|V3|=1+V3,

0C=2+y/3,而C点在原点左侧，

•••C表示的数为：一2-遮.

故选:A.

【变式5-3](23-24八年级・湖北恩施.期中)已知实数m〃在数轴上的位置如图所示：

a0h

(1)化简：a+b-+2Va^：

(2)若l+2|a|的平方根是土夕，2a+b—4的立方根是一2,求Q+2b的算术平方根.

【答案】⑴3a

(2)a+2b算术平方根为1

【分析】本题考查了通过数轴判断实数的大小，平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练学握平方根，立

方根，算术平方根的定义是解题关键.

(1)根据数轴判断出aVO<b，再根据算术平方根，立方根的定义进行化简即可；

(2)根据题意可以求出a,b的值，再代入求出最后结果.

【详解】(1)解：由数轴可知：QCOVb,

a+b-\[b^+2

=a+b—b+2a,

=3a；

(2)•・•若l+2|a|的平方根是±V7,

Al+2|a|=7,

解得：a=±3.

因为，QV0,所以，a=-3,

又・：2a+b—4的立方根是-2,

：.2a4b4=-8,即一64b48,

解得：b=2,

«a+2b=V—3+4=y/1=1,

即，a+2b算术平方根为1.

【题型6实数的大小比较】

【例6】（23-24八年级•河南郑州•阶段练习）实数--和-:的大小关系是（）

A.--<-V3<--B.―/3

3223

C.-V3D.—/3

2332

【答案】C

【分析】本题考查了比较实数的大小，无理数的估算等知识.先估算出三*1.05,8弋1.732,即可得到百>

讲而得到一遍V-jv-J.

【详解】解：,・5蜂3.14,

・•・】#1.05,

3

•・・\与=1.732,

A-V3<--<

23

故选：C

【变式6-1]（23-24八年级•安徽•专题练习）1,-2,0,通这四个数中，绝对值最大的数是（）

A.1B.-2C.0D.V5

【答案】D

【分析】本题考查了实数大小比较、绝对值、算术平方根等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键.

先求出各数的绝对值，然后再进行比较即可解答.

【详解】解：=|一2|二2,|0|=0,|花|二正=2.236,

v2.236>2>1>0,

1,-2,0,收这四个数中，绝对值最大的数是V5,

故选：D.

【变式6-2]（23-24八年级•河南平顶山•期中）通过估算3,VTT,V26,的大小为：—（用“V”连接）.

【答案】V26<3<VTT.

【分析】先估算出VH和体的取值范围，再进行比较大小，即可得出答案.

【详解】V32<11<42,23<26<33

/.3<VT1<4,2<V26<3,

/.V26<3<V11；

故答案为：V26<3<X/TT.

【点睛】本题主要考查实数的大小比较，估算一个数的算术平方艰和立方根，是解题的关键.

【变式6-3]（23-24八年级.贵州黔南.期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无

法解决，你能帮老师解决这个问题宇与:的大小.

44

小明的方法：因为或1>4,所以旧-3_3,所以丝（填，或y”）

小英的方法：宇—?=宇，因为21<62=36.所以a一6_0,所以辱2：（埴”〉，，或“v”）

444—414

（1）珞上述材料补充完成；

⑵请从小明和小英的方法中选择一种比较等与我大小.

【答案】⑴v,v,v,v

（2）见解析

【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键，根据题意把无理数变成有理数再

比大小，即可得到答案.

【详解】（1）解：小明的方法：

，同一3V3,

.夜1-3/3

••V一,

24

小英的方法:6—33V7T-6

444

V21<62=36,

••・旧一6V0,

・V21-3,3

••V—,

44

故答案为：<,<,<,<.

<2）解；选小明的方法:

>4,

>1,

选小英的方法：

V17-11V17-1-1V17-2,

22--------2----------2

V17>4,

工E>2,

：.y[17-2>0,

・,4>0,

2

•V17-1、1

【题型7程序设计中的实数运算】

【例7】（23-24八年级.广东阳江•期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求

y的值，并写出详细过程.

【答案】y=41,见详解

【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及

读懂流程图是解答本题的关键.

【详解】解：把％=12代入数值转换器，第一次计算可得V12X2+1=侬=5,为有理数，进行第二次计

算，

把x=5代入数值转换器，第二次计算可得V5x2+1=VTL为无理数，

则输出y=V1T.

【变式7-1]（23-24八年级•山西太原•阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入K的值为-鱼，则

输出），的值为（)

A,-V2-5B.1C.-1D.3

【答案】D

【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出-或V-1，再根据流程图代值计算即可得到答案.

【详解】解：VI<2<4,

Al<V2,

—y/2<—1»

.*.>■=(―V2)"+1=或+1=3,

故选：D.

【变式7-2］（23-24八年级•上海黄浦・期中）根据下图中的程序，当输入x为36时，输出的值是

【答案】V6

【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用.根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及

有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的x为36时，，输出的值是多少即可.

【详解】解：当输入x为36时，y=—V36=—6,

-6是有理数，y二-口=通，是无理数，

・•・当输入的x为36时，输出的值是遍.

故答案为：V6.

【变式7-3］（23-24八年级.河北张家口期末）如图是一个数值转换器（忱|V10）,其工作原理如图所示.

—>|计算『2||->咽算术平方根|是无理丝输丽

是有理数

⑴当输入的x值为一2时，求输出的），值：

（2）若输入有意义的上值后，始终输不出），值，请写出所有满足要求的工的值，并说明你的理由;

⑶若输出的），值是百，直接写出x的负整数值.

【答案】⑴鱼

（2）1或2或3,理由见解析

⑶汇=-1

【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可；

（2）根据。或1的算术平方根的特殊性得出答案；

（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案.

【详解】（1）解：当％=—2时，|-2-2|=4,

4的算术平方根为a=2,

而2是有理数，2的算术平方根为近,

故答案为：企；

（2）解：1或2或3,理由如下：

V0的算术平方根是0,I的算术平方根是1,

・•・当优-2|=1或。时，

解得％=1或2或3,

・••当％=1或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；

（3）解：若1次运算就是V5,

，、/优-2|=V3

.,.|x-2|=3

・・.解得％=5或一1,

••“为负整数，

则输入的数为一1;

若2次运算输出的数是百，

・•・、/忱-2|=5

A|x-2|=25

.•.解得％=27或一23

V|x|<10

・•・不符合题意，

综上所述，x=-1.

【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方艰的定义是解题的关键.

【题型8新定义中的实数运算】

【例8】(23-24八年级•山东济宁•期中)任何实数小可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4,[6]=1,

现对72进行如下操作，这样时72只需进行3次操作后变为I,只需进行3次操作后变为I的所有正整数中，

最大的是.

[g]=8第二次A[78]=2[y/2]=\

【答案】255

【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到[侬可=15,[回司二16,进

而得到对255只需进行3次操作后变成1,对256只需进行4次操作后变成1,据此可得答案.

【详解】解：22=4,42=16,162=256,

:.[V256|=16»[\/T6]=4,[V4|=2.[>/2|=1»

[V255]=15,[VTs]=3,[A/3]=1»

・••对255只需进行3次操作后变成1.

[-256]=16>[>/16]=4,[>/4]=2,[V^]=1,

・••对256只需进行4次操作后变成1.

・••只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是255.

故答案为:255.

【变式8-1](23-24八年级•四川达州•阶段练习)用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a,b,都有a@b=

历+1,如8@9=眄+1,则m@(m@9)的结果是.

【答案】3

【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值.此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

【详解】解.：根据题中的新定义得：

m@(zn@9)=TH@(A/9+1)=zn@4=V4+1=3.

故答案为：3.

【变式8-2]（23-24八年级.福建福州•期中）若实数a,b满足a+1=6,我们就说」与b是关于6的“如意

数”，则与3—加是关于6的“如意数”是（）

A.3+&B.3-V2C.9-V2D.9+V2

【答案】A

【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键.直接根据“如意数''的概念进行求

解即可.

【详解】V3-V2+（3+V2）=6

A3-a与3+鱼是关于6的“如意数”.

故选：A.

【变式8-3]（23-24八年级.山西吕梁・期中）用“•”表示一种新运算.：对于任意正实数a功=例如

1O*21=V1OZ+21=11,那么g・（V7*2）的运算结果为（）

A.13B.7C.4D.5

【答案】C

【分析】根据新运算的定义计算即可.

【详解】解：:a*b=y/a2+b»

（V7•2）

（⑺2+2

=V13•V9

=履・3

同+3

=V16

=4,

故选：C.

【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解运用新运算是解题的关键.

【题型9实数运算的实际应用】

【例9】（23-24八年级•福建莆田•期中）虹胜广场要建一个占地面枳4000平方米的花园，现有两种方案：一

种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小

于I米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？

【答案】圆形广场围墙224.2米，正方形广场围墙253.0米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解

【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答.

【详解】当为圆形时，设圆的半径为r,则有：?rr2=4000,

即：r=探（负值舍去），

则此时花园的围墙为：2nr=2Trx旧=40丁而k224.2（米）；

当广场为正方形时，设正方形边长为原则有：a2=4000,

即：a=V4000（负值舍去），

则此时花园的围墙为：4a=4xN^^OOO=80A/10«253.0（米）；

V253.0>224.2,

・••建造成圆形时，广场的围墙会更短，

则建造成本更低，

工作为投资商，会选择建圆形花园.

【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，

不能死学.

【变式9-1］（23-24八年级.广西玉林•期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过10（）千米/时，当发生

交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v=T6再

其中u表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距原（单位：米），/表示摩擦系数.在一次交

通事故中，经测量d=32米，/=2,请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了.

【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.

【分析】先把d=32米，户2分别代入v=16历，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答.

【详解】解：把占32,户2代入v=16历，

v=!6V32X2=128（km/h）,

V128>100,

・•・肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.

【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算.

【变式9-2］（23-24•湖南长沙•一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬

同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们.从奶茶店到学校的每份订单配

送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份

订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）.但根据该奶茶店的优惠活

动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单

总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准条下单付款时，小函同学说：“老师，我们可

以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送

费）最低可为元・

【答案】25.2

【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可.

【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶

合计费用为：16+16+1.6-7=26.6元

第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶

合计费用为：（16+1.6-5）x2=25.2元

故选择第二种更划算，最低费用为25.2元

故答案为:25.2.

【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关健.

【变式9-3]（23-24八年级•安徽蚂埠・期中）如图，长方形4BCD的长为2cm,宽为1cm.

DC

A2B

（1）将长方形A8CD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正

方形；（标出关键点和数据）

（2）求所拼正方形的边长.

【答案】（1）分割方法不唯一，妇图，见解析；（2）拼成的正方形边长为近cm.

【分析】（1）根据AB=2AD,可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全

成一个新的正方形;

（2）设拼成的正方形边长为双m,根据面积相等得到方程，即可求解.

【详解】（1）如图,

VAB=2AD,找到CD.AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方

形;

(2)设拼成的正方形边长为%cm,根据题意得/=1x2=2,

x=V2(负值舍去)

答：拼成的正方形边长为/cm.

【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割.

【题型10实数运算中的规律探究】

【例10】(23-24.湖北黄冈.模拟预则)对于正整数a,我们规定：若Q为奇数，则/"(a)=3a+1：若Q为偶数,

则/⑷=+例如f(15)=3x15+1=46,/(10)=弓=5,若%=8,a2=/(%),a3=/(a2),a4=f(a3),

...»依此规律进行下大，得到一歹U数由，%，。3,。4,…，/i，…，E为正整数)，at+a2+a34h«2022=.

【答案】4725

【分析】按照规定：若a为奇数，则/'(a)=3a+l；若a为偶数，则/(a)=%直接运算得;1%、。3、。4、的、

与…进一步找出规律解决问题.

【详解】解：QI=8,。2=5=4，Q3=g=2,。4=|=1,a5=1x3+1=4,a6=^=2,

这一列数按照除阳外，按照4、2、1三个数一循环，

•••(2022-1)+3=673……2,