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文档简介

专题1L3实数【十大题型】

【华东师大版】

>题型梳理

【题型1实数的概念理解】.............................................................................1

【题型2实数的运算】..................................................................................3

【题型3估算无理数的大小】...........................................................................5

【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】...........................................................8

【题型5实数与数轴】.................................................................................II

【题型6实数的大小比较】............................................................................14

【题型7程序设计中的实数运算】.....................................................................16

【题型8新定义中的实数运算】........................................................................19

【题型9实数运算的实际应用】.......................................................................20

【题型10实数运算中的规律探究】.....................................................................23

院举一反三1

知识点1:实数

正整数

整数0

有理数负整数有限小数或无限循环小数

实数正分数

分数

负分数

正无理数'

无理数「无限不循环小数

负无理数

无限不循环小数叫做无理数.

常见类型:①特定结构的无限不循环小数,如0.303003000300003…(两个3之间依次多一个0).

②含有冗的绝大部分数.如27r.

【题型1实数的概念理解】

【例1】(23-24八年级•陕西西安•期中)下列各数是无理数的是()

A.0.101001B.-2C.-D.V9

2

【答案】C

【分析】根据无理数的定义判断即可.

【详解】解:A、0.101001是有限小数,属于有理数;

B、-2是整数,属于有理数;

C、3是无限不循环小数,属于无理数;

D、V9=3,属于有理数;

故选:C.

【点睛】此题主要考瓷了无埋数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:7T,Z7T等;开方开不尽的数;以

及像0.1010010001...,等有这样规律的数.

【变式1-1](23-24八年级.河南安阳・期中)把下列各数的序号分别填入相应的集合内:①-*②VL③1-6,

@0,⑤一VO,@7^125,⑦一]⑧0..(相邻的两个3之间依次多1个0),⑨0.23,⑩3.14

4

(1)整数集合:()

(2)分数集合:()

⑶无理数集合:()

【答案】(I)③®⑥

⑵®®®

⑶@©©⑧

【分析】本题考杳了有理数、实数和无理数的分类,熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键.

(D根据整数的定义作答即可:

(2)根据分数的定义作答即可;

(3)根据无理数的定义作答即可.

【详解】(1)解:③l-"二l一2二-l是整数,④0是整数,⑥口芯二一5是整数,

整数集合:③④⑥

故答案为:③④⑥

(2)①一号是分数,⑨0.23是分数,⑩3.14是分数.

分数集合:①®©

故答案为:①⑨⑩

(3)②冠是无理数,⑤一屈是无理数,⑦一£是无理数,⑧0(相邻的两个3之间依次多I

4

个0)是无理数,无理数集合

故答案为:②®©⑧

【变式1-2](23-24八年级•湖南衡阳・期中)-旧的绝对值是,5-压的相反数是.

【答案】V13-5+V26

【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查,熟练掌握实数知识是解决本题的关键.根据绝对值和相反数

知识求解即可.

【详解】解:-m绝对值是

5-国的相反数是:一(5-压)=一5+的.

故答案为:V13;-5+V26

【变式1-3](23-24八年级•山东日照•期中)已知小。都是有理数,且(0一1)Q+2b=75+3,求Q+匕的

值()

A.1D.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查的是无理数的含义,二元一次方程组的解法,理解题意建立方程组解题是关键.由〃,b

都是有理数,且(百-1)。+26=百+3,再建立方程组解题即可.

【详解】解:・・・(百一1%+2》=\/5+3,

:.\Ga+(—a+2b)=A/3+3,

•・Z,力都是有理数,

.(a=1

•1a+2b=3'

K:r

则a+b=l+2=3.

故选:C.

【题型2实数的运算】

【例2】(23-24八年级.四川泸州.期中)计算:-12-(-2)3X1-V27X|-1|+2^V4.

83

【答案】0

【分析】此题考查了实数的运算,原式第i项利用乘方的意义计算,第二项利用乘方的意义及乘法法则计算,

第三项利用立方根定义及绝对值的代数意义化简,最后一项利用除法法则变形计算即可得到结果,熟练学

握运算法则是解本题的关键.

(I)V64-V36+VF2)2;

冰昌_(_1严3-舟通

【答案】(1)0

(2)1

【分析】本题考查了实数的混合运算,结合算术平方根、立方根、乘方的知识,熟练掌握知识、正确计算是

解题的关键.

(1)先计算算术平方根,立方根,再加减计算即可;

(2)先计算算术平方根,立方根,乘方,再加减计算即可.

【详解】(1)解:原式=4-6+2

=0;

(2)解:原式=—1—(―1)—:+2

=1.

知识点2:估算法

(।)若。K4<〃<4,则MM,

(2)若则轲〈右〈疯;

根据这两个重要的关系,我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数,来估算员和板的大

小.例如:9vavl6,则3<石<4;8<6/<27,则2<妫<3.

常见实数的估算值:0M414,6=1.732,石=2.236.

【题型3估算无理数的大小】

【例3】(23-24八年级・北京•期中)如图,用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形,则与大正方形的

边长最接近的整数是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则,熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键.先利

用正方形的面积公式求出大正方形的边长,再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得.

【详解】解:大正方形的边长为V2x4x4=原,

•••25<32<36,

V25<V32<V36,即5<V32<6,

又•••6-V32-(V32-5)=6-732-732+5,

=11-2V32,

=2x(5.5-732),

=2x(V3025-V32)<0,

•••6-V32<V32-5,

与居最接近的整数是6,

即大正方形的边长最接近的整数是6,

故选:D.

【变式3-1](23-24八年级.四川成都.期中)估算眄+41的运算结果应在哪两个整数之间()

A.3和4B.4和5C.5和6D.6和7

【答案】D

【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小先利用夹逼法求得7n的范围,然后可求得+的大致范

围.

【详解】解:v9<11<16,

3<V11<4,

1何=3,

:.6<V9+711<7,

故选:D.

【变式3-2](23-24八年级.四川成都.期末)在学习《估算》一课时,李老师设计了一个抽卡比大小的游戏,

数值大的为赢家.小丽抽到的卡上写的是n-1,小颖抽到的卡上写的是2,那么赢家是.

【答案】小颖

【分析】估算出几的大小,继而比较即可求解.

【详解】解:v4<6<9,

•••V4<V6<炳,

2<x^6<3>

1<V6-1<2,

・•・赢家是小颖,

故答案为:小颖.

【点睛】本题考查了实数大小比较,无理数的估算,估算出遍的大小是解题的关键.

【变式3-3](23-24八年级.江苏盐城•期中)下面是小明探索近的近似值的过程:

我们知道面积是2的正方形的边长是易知鱼>1.因此可设鱼=1+X,画出如下示意图.

由图中面积计算,S正方形=/+2xl-x+l

另一方面由题意知S正方形=2

所以7+2xlr+l=2

略去得方程2x+1=2.

解得x=0.5.即或之1.5.

(1)仿照上述方法,探究的的近似直.(画出示意图,标明数据,并写出求解过程)

(2)结合上述具体实例,已知非负整数。、〃、m,若+且m=Q2+b,请估算

而«.(用〃、b的代数式表示)

【答案】⑴2.25,见解析

【分析】(1)参照题目的过程解题即司;

(2)把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可.

【详解】(1)解:面积是5的正方形的边长是通,

设无=2+x,如图,面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形,

,S正方形=X2+2X2-X+4,

而S正方形=5,

•\x?+2x2•x+4=5,

略去%2,得方程轨+4=5,解得%=0.25,

即正X2.25.

(2)解:设标=Q+x(0〈无V1),

Am=a2+2ax+x2a2+2ax,

=a2+b,

*.a2+2ax=a2+b,

解得T,

:•标=a+=,

2a

故答案为:Q+餐.

2a

【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值,能够读懂题意是解题关键.

【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】

【例4】(23-24八年级映西西安•阶段练习)若〃是狗的整数部分,b是百的小数部分.则a+b—g+l的

平方根是.

【答案]±3/3和-3/-3和3

【分析】根据9?v90VIO?可得9〈回vI。,即可得到夙的整数部分是9,小数部分是同一9,即可求

解.

【详解】解::92<90V102,I2<3<22

/.9<V90<10,1<V3<2,

工面的整数部分是9,则a=9,的小数部分是V5—1,则6=百一1,

a+h—V3+1=9+V3-1—A/3+1=9,

,9的平方根为±3.

故答案为:±3.

【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义,掌握实数估算的方法是解题的关键.

【变式4-1](23-24八年级•河南新乡•期中)已知〃?是伤的整数部分,〃是伤的小数部分,则瓶一九的值为

()

A.-V6B.4-V6C.4+V6D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查了无理数的估算,实数的运算,先估算出2c乃V3,进而得到m=2,n=V6-2,

据此代值计算即可.

【详解】解:・♦・4<6V9,

・・・2<V6<3,

•••加是述的整数部分,〃是通的小数部分,

/.m=2,n=V6—2,

故选:B.

【变式4-2](23-24八年级.江苏・期中)若【.」表示实数x的整数部分,V%>表示实数x的小数部分,如

(VI]=1»[V2]=1,<V2>=V2—1,则<3-75>+【6】的值是()

A.4—x/3B.1—V13C.6—V3D.V13-1

【答案】A

【分析】

估算出3-8的小数部分和b的整数部分,即可求解.

【详解】

解:・.,1VKV2,

-2<—V3<—1,

A3-2<3-V3<3-l,BPI<3-V3<2,

A<3-V3>=3-V3-l=2-V3,

V4<7<9,

A2<V7<3,

/.[V7]=2,

/.<3-V3>+[V7]=2-百+2=4-技

故选:A

【点睛】

本题主要考查了新定义下的实数运算,无理数的估算,熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键.

【变式4-3](23-24八年级.河南新乡•期中)下面是小明在学习“无理数的估算''时做的学习笔记.

无理数的估算

大家知道百是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此V5的小数部分我们不可能全部写出来,「•是我用

6-1来表示8的小数部分,你同意我的表示方法吗?

事实上,我的表示方法是有道理的,因为旧的整数部分是1,配以将这个数减去其整数部分,差就是小数

部分.

例如:

vV4<V7<V9,即2<近<3,

•••近的整数部分为2,小数部分为近一2.

根据以上笔记内容,请完成如下任务.

⑴任务一:内的小数部分为.

(2)任务二:。为百的小数部分,〃为质的整数部分,请计算-遥的值.

(3)任务三:x+y=10+V3,其中x是整数,且0<y<l,求拉一y的相反数.

【答案】(l)g-4

(2)a+b—V5=1

(3)2%-y的相反数是一23+汽

【分析】本题考查估算无理数的大小,相反数的定义,代数式求值,熟练掌握无理数的估算方法是解题关键.

(1)估算无理数的大小即可确定整数部分和小数部分;

(2)估算无理数通,g的大小,确定。、”的值,再代入计算即可:

(3)估算无理数百的大小,求出工、),的值,再代入计算,求出相反数即可.

【详解】(1)解:而,

即4<回<5,

旧的整数部分为4,小数部分为g-4,

故答案为:V19-4:

(2)VV4<V5<V9,即2c遍<3,

•••V5的小数部分a=V5-2,

I©<A/13<V16,

即3Vm<4,

jn的整数部分b=3,

二a+b-V5=V5—2+3—V5=1;

(3)v/I<V3<V4,

即1<国V2,

•••6的整数部分为1,小数部分为V5-1,

10+V3=10+1+(V3-1)=11+(V3-1),

又.x+y=10十V3,

二11+(V3-1)=%+y,

•••x是整数,且0vy<l,

•••x=11,y=V3-1,

•••2x—y=11x2—(V3-1)=23—V3,

•••2x-y的相反数一23+百.

【题型5实数与数轴】

【例5】(23-24八年级•山东临沂・期中)如图,面积为7的正方形力BCD的顶点A在数轴匕且点力表示的数

为I,若点E在数轴上,(点E在点4的右侧)且48=AE,则点E所表示的数为()

A.V7B.1+V7C.2+V7D.3+V7

【答案】B

【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用,关键是结合题意求出R8=AE=6.

由题意可知,面积为7的正方形ABCO边长为夕,所以=夕,而48=AE,得AE=夕,A点的坐标为h

故E点的坐标为1+夕.

【详解】•・•面积为7的正方形力BCD为7,

•,AB=y/7,

•:AB=AE,

:.AE=V7,

•・》点表示的数为1,

・•・£点表示的数为1+夕,

故选:B.

【变式5-1](23-24八年级・北京•期中)实数在数轴上的对应点的位置如图所示,且满足a+b<0,ab<0,

则原点所在的位置有可能是()

ABCD

ab

A.点AB.点BC.点CD.点。

【答案】C

【分析】本题考查实数与数轴,能够根据题意分析出。与〃的符号是解题的关键.

根据必<0可以得出〃与b异号,再根据Q+b<0可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值,然后根据数

轴的特点进行解题即可.

【详解】解:rab<0,

”与人异号,

由数轴上观察可知:a<b,

•••aV0,b>0,

又,;a+b<0,

•••负数的绝对值大于正数的绝对值,

••.C点由可能是原点.

故选:C.

【变式5-2](23-24八年级•辽宁大连•期中)如图,数轴上A、8两点表示的数分别为一1和国,AB=AC,

则点C所表示的数为()

CAOB

___________I[]]j

A.-2-V3B.一1一班C.-2+V3D.1+V3

【答案】A

【分析】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离.由于力,B两点表示的数分别为-1和6,先根据对称点

可以求出0C的长度,根据C在原点的左侧,进而可求出C的坐标.

【详解】解:•••对称的两点到对称中心的距离相等,

CA=AB,|-1|+|V3|=1+V3,

0C=2+y/3,而C点在原点左侧,

•••C表示的数为:一2-遮.

故选:A.

【变式5-3](23-24八年级・湖北恩施.期中)已知实数m〃在数轴上的位置如图所示:

a0h

(1)化简:a+b-+2Va^:

(2)若l+2|a|的平方根是土夕,2a+b—4的立方根是一2,求Q+2b的算术平方根.

【答案】⑴3a

(2)a+2b算术平方根为1

【分析】本题考查了通过数轴判断实数的大小,平方根,立方根,算术平方根的定义,熟练学握平方根,立

方根,算术平方根的定义是解题关键.

(1)根据数轴判断出aVO<b,再根据算术平方根,立方根的定义进行化简即可;

(2)根据题意可以求出a,b的值,再代入求出最后结果.

【详解】(1)解:由数轴可知:QCOVb,

a+b-\[b^+2

=a+b—b+2a,

=3a;

(2)•・•若l+2|a|的平方根是±V7,

Al+2|a|=7,

解得:a=±3.

因为,QV0,所以,a=-3,

又・:2a+b—4的立方根是-2,

:.2a4b4=-8,即一64b48,

解得:b=2,

«a+2b=V—3+4=y/1=1,

即,a+2b算术平方根为1.

【题型6实数的大小比较】

【例6】(23-24八年级•河南郑州•阶段练习)实数--和-:的大小关系是()

A.--<-V3<--B.―/3

3223

C.-V3D.—/3

2332

【答案】C

【分析】本题考查了比较实数的大小,无理数的估算等知识.先估算出三*1.05,8弋1.732,即可得到百>

讲而得到一遍V-jv-J.

【详解】解:,・5蜂3.14,

・•・】#1.05,

3

•・・\与=1.732,

A-V3<--<

23

故选:C

【变式6-1](23-24八年级•安徽•专题练习)1,-2,0,通这四个数中,绝对值最大的数是()

A.1B.-2C.0D.V5

【答案】D

【分析】本题考查了实数大小比较、绝对值、算术平方根等知识点,准确熟练地进行计算是解题的关键.

先求出各数的绝对值,然后再进行比较即可解答.

【详解】解:=|一2|二2,|0|=0,|花|二正=2.236,

v2.236>2>1>0,

1,-2,0,收这四个数中,绝对值最大的数是V5,

故选:D.

【变式6-2](23-24八年级•河南平顶山•期中)通过估算3,VTT,V26,的大小为:—(用“V”连接).

【答案】V26<3<VTT.

【分析】先估算出VH和体的取值范围,再进行比较大小,即可得出答案.

【详解】V32<11<42,23<26<33

/.3<VT1<4,2<V26<3,

/.V26<3<V11;

故答案为:V26<3<X/TT.

【点睛】本题主要考查实数的大小比较,估算一个数的算术平方艰和立方根,是解题的关键.

【变式6-3](23-24八年级.贵州黔南.期中)数学课上,老师提出一个问题,比较无理数的时,由于老师无

法解决,你能帮老师解决这个问题宇与:的大小.

44

小明的方法:因为或1>4,所以旧-3_3,所以丝(填,或y”)

小英的方法:宇—?=宇,因为21<62=36.所以a一6_0,所以辱2:(埴”〉,,或“v”)

444—414

(1)珞上述材料补充完成;

⑵请从小明和小英的方法中选择一种比较等与我大小.

【答案】⑴v,v,v,v

(2)见解析

【分析】本题考查实数比大小,熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键,根据题意把无理数变成有理数再

比大小,即可得到答案.

【详解】(1)解:小明的方法:

,同一3V3,

.夜1-3/3

••V一,

24

小英的方法:6—33V7T-6

444

V21<62=36,

••・旧一6V0,

・V21-3,3

••V—,

44

故答案为:<,<,<,<.

<2)解;选小明的方法:

>4,

>1,

选小英的方法:

V17-11V17-1-1V17-2,

22--------2----------2

V17>4,

工E>2,

:.y[17-2>0,

・,4>0,

2

•V17-1、1

【题型7程序设计中的实数运算】

【例7】(23-24八年级.广东阳江•期中)如图是一个数值转换器,请根据其原理解决问题:当x为12时,求

y的值,并写出详细过程.

【答案】y=41,见详解

【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图,掌握有理数和无理数的分类以及

读懂流程图是解答本题的关键.

【详解】解:把%=12代入数值转换器,第一次计算可得V12X2+1=侬=5,为有理数,进行第二次计

算,

把x=5代入数值转换器,第二次计算可得V5x2+1=VTL为无理数,

则输出y=V1T.

【变式7-1](23-24八年级•山西太原•阶段练习)根据如图所示的计算程序,若开始输入K的值为-鱼,则

输出),的值为()

A,-V2-5B.1C.-1D.3

【答案】D

【分析】本题主要考查了实数的运算,先求出-或V-1,再根据流程图代值计算即可得到答案.

【详解】解:VI<2<4,

Al<V2,

—y/2<—1»

.*.>■=(―V2)"+1=或+1=3,

故选:D.

【变式7-2](23-24八年级•上海黄浦・期中)根据下图中的程序,当输入x为36时,输出的值是

【答案】V6

【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用.根据立方根、算术平方根的含义和求法,以及

有理数、无理数的含义和求法,求出当输入的x为36时,,输出的值是多少即可.

【详解】解:当输入x为36时,y=—V36=—6,

-6是有理数,y二-口=通,是无理数,

・•・当输入的x为36时,输出的值是遍.

故答案为:V6.

【变式7-3](23-24八年级.河北张家口期末)如图是一个数值转换器(忱|V10),其工作原理如图所示.

—>|计算『2||->咽算术平方根|是无理丝输丽

是有理数

⑴当输入的x值为一2时,求输出的),值:

(2)若输入有意义的上值后,始终输不出),值,请写出所有满足要求的工的值,并说明你的理由;

⑶若输出的),值是百,直接写出x的负整数值.

【答案】⑴鱼

(2)1或2或3,理由见解析

⑶汇=-1

【分析】(1)根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可;

(2)根据。或1的算术平方根的特殊性得出答案;

(3)可以考虑1次运算输出结果,2次运算输出结果,进而得出答案.

【详解】(1)解:当%=—2时,|-2-2|=4,

4的算术平方根为a=2,

而2是有理数,2的算术平方根为近,

故答案为:企;

(2)解:1或2或3,理由如下:

V0的算术平方根是0,I的算术平方根是1,

・•・当优-2|=1或。时,

解得%=1或2或3,

・••当%=1或2或3时,无论进行多少次运算都不可能是无理数;

(3)解:若1次运算就是V5,

,、/优-2|=V3

.,.|x-2|=3

・・.解得%=5或一1,

••“为负整数,

则输入的数为一1;

若2次运算输出的数是百,

・•・、/忱-2|=5

A|x-2|=25

.•.解得%=27或一23

V|x|<10

・•・不符合题意,

综上所述,x=-1.

【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数,理解算术平方艰的定义是解题的关键.

【题型8新定义中的实数运算】

【例8】(23-24八年级•山东济宁•期中)任何实数小可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[6]=1,

现对72进行如下操作,这样时72只需进行3次操作后变为I,只需进行3次操作后变为I的所有正整数中,

最大的是.

[g]=8第二次A[78]=2[y/2]=\

【答案】255

【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算,根据算术平方根的意义得到[侬可=15,[回司二16,进

而得到对255只需进行3次操作后变成1,对256只需进行4次操作后变成1,据此可得答案.

【详解】解:22=4,42=16,162=256,

:.[V256|=16»[\/T6]=4,[V4|=2.[>/2|=1»

[V255]=15,[VTs]=3,[A/3]=1»

・••对255只需进行3次操作后变成1.

[-256]=16>[>/16]=4,[>/4]=2,[V^]=1,

・••对256只需进行4次操作后变成1.

・••只需进行3次操作后变成1的所有正整数中,最大的正整数是255.

故答案为:255.

【变式8-1](23-24八年级•四川达州•阶段练习)用“@”表示一种新运算;对于任意正实数a,b,都有a@b=

历+1,如8@9=眄+1,则m@(m@9)的结果是.

【答案】3

【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值.此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

【详解】解.:根据题中的新定义得:

m@(zn@9)=TH@(A/9+1)=zn@4=V4+1=3.

故答案为:3.

【变式8-2](23-24八年级.福建福州•期中)若实数a,b满足a+1=6,我们就说」与b是关于6的“如意

数”,则与3—加是关于6的“如意数”是()

A.3+&B.3-V2C.9-V2D.9+V2

【答案】A

【分析】本题考查了新定义下的实数运算,准确理解新定义是解题的关键.直接根据“如意数''的概念进行求

解即可.

【详解】V3-V2+(3+V2)=6

A3-a与3+鱼是关于6的“如意数”.

故选:A.

【变式8-3](23-24八年级.山西吕梁・期中)用“•”表示一种新运算.:对于任意正实数a功=例如

1O*21=V1OZ+21=11,那么g・(V7*2)的运算结果为()

A.13B.7C.4D.5

【答案】C

【分析】根据新运算的定义计算即可.

【详解】解::a*b=y/a2+b»

(V7•2)

(⑺2+2

=V13•V9

=履・3

同+3

=V16

=4,

故选:C.

【点睛】本题考查新定义,算术平方根,理解运用新运算是解题的关键.

【题型9实数运算的实际应用】

【例9】(23-24八年级•福建莆田•期中)虹胜广场要建一个占地面枳4000平方米的花园,现有两种方案:一

种是建正方形花园,一种是建圆形花园,如果你是设计者,你能估算出两种花园的围墙有多长吗(误差小

于I米)?如果你是投资者,你会选择哪种方案,为什么?

【答案】圆形广场围墙224.2米,正方形广场围墙253.0米,选择圆形广场的建设方案,理由见详解

【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度,比较即可作答.

【详解】当为圆形时,设圆的半径为r,则有:?rr2=4000,

即:r=探(负值舍去),

则此时花园的围墙为:2nr=2Trx旧=40丁而k224.2(米);

当广场为正方形时,设正方形边长为原则有:a2=4000,

即:a=V4000(负值舍去),

则此时花园的围墙为:4a=4xN^^OOO=80A/10«253.0(米);

V253.0>224.2,

・••建造成圆形时,广场的围墙会更短,

则建造成本更低,

工作为投资商,会选择建圆形花园.

【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用,所以学生在学这一部分时一定要联系实际,

不能死学.

【变式9-1](23-24八年级.广西玉林•期中)某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过10()千米/时,当发生

交通事故时,交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度,所用的经验公式是v=T6再

其中u表示车速(单位:千米/时,d表示刹车后车轮滑过的距原(单位:米),/表示摩擦系数.在一次交

通事故中,经测量d=32米,/=2,请你判断一下,肇事汽车当时是否超速了.

【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.

【分析】先把d=32米,户2分别代入v=16历,求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答.

【详解】解:把占32,户2代入v=16历,

v=!6V32X2=128(km/h),

V128>100,

・•・肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.

【点睛】本题考查了实数运算的应用,读懂题意是解题的关键,另外要熟悉实数的相关运算.

【变式9-2](23-24•湖南长沙•一模)五一返校上课后,为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬

同学,数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们.从奶茶店到学校的每份订单配

送费都为1.6元,由于数学老师是该平台的会员,因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份

订单的总价减免5元(订单总价不含配送费,同一订单只允许使用一个红包).但根据该奶茶店的优惠活

动,当订单总价(不含配送费)满30元时,5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包,即可以给订单

总价(不含配送费)减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准条下单付款时,小函同学说:“老师,我们可

以换一种下单方式,优惠更多!”请同学们分析小函同学的下单方式,并计算出本次外卖总费用(包含配送

费)最低可为元・

【答案】25.2

【分析】分别计算两种下单的方式,比较哪一种总费用更低即可.

【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶

合计费用为:16+16+1.6-7=26.6元

第二种下单方式为下两个订单,每个订单买一杯奶茶

合计费用为:(16+1.6-5)x2=25.2元

故选择第二种更划算,最低费用为25.2元

故答案为:25.2.

【点睛】本题考查了实数运算的实际应用,分类讨论是解题的关健.

【变式9-3](23-24八年级•安徽蚂埠・期中)如图,长方形4BCD的长为2cm,宽为1cm.

DC

A2B

(1)将长方形A8CD进行适当的分割(画出分割线),使分割后的图形能拼成一个正方形,并画出所拼的正

方形;(标出关键点和数据)

(2)求所拼正方形的边长.

【答案】(1)分割方法不唯一,妇图,见解析;(2)拼成的正方形边长为近cm.

【分析】(1)根据AB=2AD,可找到CD的中点,即可分成两个正方形,再沿对角线分割一次,即可补全

成一个新的正方形;

(2)设拼成的正方形边长为双m,根据面积相等得到方程,即可求解.

【详解】(1)如图,

VAB=2AD,找到CD.AB的中点,如图所示,可把矩形分割成4个等腰直角三角形,再拼成一个新的正方

形;

(2)设拼成的正方形边长为%cm,根据题意得/=1x2=2,

x=V2(负值舍去)

答:拼成的正方形边长为/cm.

【点睛】此题主要考查实数性质的应用,解题的关键是根据图形的特点进行分割.

【题型10实数运算中的规律探究】

【例10】(23-24.湖北黄冈.模拟预则)对于正整数a,我们规定:若Q为奇数,则/"(a)=3a+1:若Q为偶数,

则/⑷=+例如f(15)=3x15+1=46,/(10)=弓=5,若%=8,a2=/(%),a3=/(a2),a4=f(a3),

...»依此规律进行下大,得到一歹U数由,%,。3,。4,…,/i,…,E为正整数),at+a2+a34h«2022=.

【答案】4725

【分析】按照规定:若a为奇数,则/'(a)=3a+l;若a为偶数,则/(a)=%直接运算得;1%、。3、。4、的、

与…进一步找出规律解决问题.

【详解】解:QI=8,。2=5=4,Q3=g=2,。4=|=1,a5=1x3+1=4,a6=^=2,

这一列数按照除阳外,按照4、2、1三个数一循环,

•••(2022-1)+3=673……2,

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