第十二章全等三角形拔高易错重难点本章检测题型汇编人教版数学八年级上册

2023秋季学期八年级数学上·RJ十二章全等三角形--拔高、易错、重难点、本章检测题型汇编基础专练类型一已知两边分别相等①找夹角相等(SAS)；②找第三边相等(SSS)．1．如图，C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE.求证：△ACD≌△BCE.证明：∵C是AB的中点，∴AC＝BC.在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SSS)．2．(2022·兰州中考)如图①是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图②所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD，即∠BAC＝∠EAD.在△BAC与△EAD中，AB＝AE，∠BAC＝∠EAD，AC＝AD，∴△BAC≌△EAD(SAS)．∴∠D＝∠C＝50°.3．如图，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.求证：DE＝CF.类型二已知两角分别相等①找夹边相等(ASA)；②找一角的对边相等(AAS)．证明：∵AC＝BD，∴AC＋CD＝BD＋CD.∴AD＝BC.在△AED和△BFC中，∠A＝∠B，AD＝BC，∠ADE＝∠BCF，∴△AED≌△BFC(ASA)．∴DE＝CF.4．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点．不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？解：不重叠的两部分△AOF与△DOC全等．理由如下：∵△ABC和△DEF是两块完全相同的三角形纸板，∴AB＝BD，BF＝BC，∠A＝∠D.∴AB－BF＝BD－BC.∴AF＝DC.在△AOF和△DOC中，∠A＝∠D，∠AOF＝∠DOC，AF＝DC，∴△AOF≌△DOC(AAS)．类型三已知一边一角分别相等(1)有一边和该边的对角分别相等：找另一角相等(AAS)；(2)有一边和该边的邻角分别相等：①找夹该角的另一边相等(SAS)；②找另一角相等(AAS或ASA)．5．(2022·陕西中考)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A.求证：DE＝BC.证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B.在△CDE和△ABC中，∠EDC＝∠B，CD＝AB，∠DCE＝∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)．∴DE＝BC.6．(改编题)在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上(不与点A，点B重合)，点E在AC边上(不与点A，点C重合)，连接BE，CD，BE与CD相交于点F.

若_________，求证：BE＝CD.证明：选择条件①的证明如下：在△ABE和△ACD中，AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴BE＝CD.选择条件②的证明如下：在△ABE和△ACD中，∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)．∴BE＝CD.选择条件③的证明如下：如图，连接AF.在△ABF和△ACF中，AB＝AC，FB＝FC，AF＝AF，∴△ABF≌△ACF(SSS)．∴∠ABE＝∠ACD.在△ABE和△ACD中，∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)．∴BE＝CD.类型四给出的边角关系都不直接先根据已知条件得出与这两个三角形有关的边角关系，再在前面三个类型的方法中选择合适的方法解题．7．(2022－2023·武汉江夏区期中)如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，延长AE，DC相交于点F，∠BEF＝∠B＋∠F.求证：AB＝CF.证明：∵∠BEF＝∠B＋∠F，∠BEF＝∠B＋∠BAE，∴∠BAE＝∠F.∵E是BC的中点，∴BE＝CE.在△AEB和△FEC中，∠BAE＝∠F，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△AEB≌△FEC(AAS)．∴AB＝CF.8．如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.(1)求∠DAE的度数；(2)若∠B＝30°，试说明：AD＝BC.解：(1)∵AB∥DE，∠E＝40°，∴∠EAB＝40°.∵∠DAB＝70°，∴∠DAE＝∠DAB－∠EAB＝30°.(2)在△ADE和△BCA中，∠DAE＝∠B＝30°，AE＝BA，∠E＝∠BAC，∴△ADE≌△BCA(ASA)．∴AD＝BC.解题技巧专题：构造全等三角形解决有关问题类型一遇中线，作倍长中线如图，延长中线AM到D，使DM＝AM，连接BD，利用“SAS”可证得△ACM≌△DBM，AC＝BD，AC∥BD，∠CAM＝∠D，∠C＝∠DBM.1．(2022·武昌区月考)(1)如图①，在△ABC中，AD是中线，求证：AB＋AC＞2AD；证明：(1)如图①，延长AD至点E，使DE＝AD，即AE＝2AD，连接BE.在△CDA和△BDE中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，DC＝DB，∴△CDA≌△BDE(SAS)．∴AC＝EB.在△ABE中，AB＋BE＞AE，∴AB＋AC＞2AD.(2)如图②，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB＋AC＞AD＋AE.(2)由题意知E为CD的中点，同(1)知AC＋AD＞2AE①.又∵D是BE的中点，同(1)知AB＋AE＞2AD②.①＋②得AC＋AD＋AB＋AE＞2AE＋2AD，即AB＋AC＞AD＋AE.【方法应用】2．(2022－2023·如皋市期中)如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AC＝5，则AD的值可以是(

A

)A．5B．6C．7D．8类型二截长补短法截长法：如图①，在△ABC中，∠1＝∠2，AB>AC，在AB上截取AF＝AC，连接DF，利用“SAS”可证得△ACD≌△AFD.补短法：如图②，在△ABC中，∠1＝∠2，AB>AC，延长AC至点E，使AE＝AB，连接DE.利用“SAS”可证得△ABD≌△AED.3．如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，C是BD边的中点．若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE，AB，DE的长度满足的数量关系，并证明．思路一(截长法)：在AE上截取AF＝AB，连接CF.解：AE＝AB＋DE.证明如下：∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC.在△ACB和△ACF中，AB＝AF，∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACB≌△ACF(SAS)．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF.∵C是BD边的中点，∴BC＝CD.∴CF＝CD.∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°.∴∠ECF＝∠ECD.在△CEF和△CED中，CF＝CD，∠ECF＝∠ECD，CE＝CE，∴△CEF≌△CED(SAS)．∴EF＝ED.∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE.思路二(补短法)：延长ED到M，使得DM＝AB，连接CM.解：AE＝AB＋DE.证明如下：∵ED∥AB，∴∠B＝∠CDM.又∵点C是BD的中点，∴BC＝DC.在△ABC和△MDC中，AB＝MD，∠B＝∠CDM，BC＝DC，∴△ABC≌△MDC(SAS)．∴AC＝MC，∠ACB＝∠MCD.∵∠ACB＋∠ACD＝180°，∴∠MCD＋∠ACD＝180°.∴点A，C，M在同一直线上．∵∠ACE＝90°，∴∠MCE＝90°.在△AEC和△MEC中，AC＝MC，∠ACE＝∠MCE，CE＝CE，∴△AEC≌△MEC(SAS)．∴AE＝ME.又∵EM＝DE＋DM＝DE＋AB，∴AE＝DE＋AB.

解：(2)BE＋DF＝EF.证明如下：如图①，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG.∵∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABG＝∠D.在△ABG与△ADF中，AB＝AD，∠ABG＝∠D，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF(SAS)．(2)若∠B＝∠D＝90°，猜想线段BE，DF，EF三者之间有怎样的数量关系，并加以证明；∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF.由(1)得∠BAE＋∠DAF＝∠EAF，∴∠BAE＋∠BAG＝∠BAE＋∠DAF＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF.又∵AG＝AF，AE＝AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)．∴EG＝EF.∵EG＝BE＋BG＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF.(3)如图②，若点E，F分别是CB，DC延长线上的点，且∠ABC＋∠D＝180°，其他条件不变时，猜想线段BE，DF，EF三者之间有怎样的数量关系，并加以证明．(3)EF＋BE＝DF.证明如下：如图②，在线段DF上截取DH＝BE，连接AH.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE.在△ABE与△ADH中，AB＝AD，∠ABE＝∠D，BE＝DH，∴△ABE≌△ADH(SAS)．∴AE＝AH，∠BAE＝∠DAH.∴∠BAE＋∠BAH＝∠DAH＋∠BAH＝∠BAD.∵∠EAF＝

∠BAD，∴∠HAF＝∠EAF.又∵AE＝AH，AF＝AF，∴△AEF≌△AHF(SAS)．∴EF＝HF.∵HF＋DH＝DF，∴EF＋BE＝DF.类型三利用“两条相等且垂直的线段”构造全等三角形(一线三垂直)如图，点O在直线MN上，AO⊥BO，AO＝BO.分别过点A，B作AC⊥MN于点C，BD⊥MN于点D.可证得△AOC≌△OBD，CD＝AC＋BD.5．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示．(1)如图①，若A(1，0)，B(0，3)，求点C的坐标；解：(1)如图①，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝∠AOB＝90°.∴∠DAC＋∠ACD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＋∠BAO＝90°.∴∠BAO＝∠ACD.在△ADC和△BOA中，∠ADC＝∠BOA，∠ACD＝∠BAO，AC＝BA，∴△ADC≌△BOA(AAS)．∴AD＝OB，CD＝OA.∵A(1，0)，B(0，3)，∴OA＝1，AD＝OB＝3.∴OD＝OA＋AD＝4，CD＝1.∴点C的坐标为(4，1)．(2)如图②，若B(－4，0)，C(0，－1)，求点A的坐标．(2)如图②，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，同(1)可证△EAB≌△DCA(AAS)，∴AE＝DC，BE＝AD.∵B(－4，0)，C(0，－1)，∴OB＝4，OC＝1.设BE＝AD＝OD＝a，则AE＝CD＝4－a.∴OC＝CD－OD＝4－a－a＝1.解得a＝

.∴A(－

，

)．【方法应用】6．(2022·乐清期末)如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(－1，4)，点D在第一象限，则点C的坐标为(

)A．(3，6)

B．(4，6)C．(4，5)

D．(5，2)【解析】如图，过B作BH⊥x轴于H，过C作CG⊥BH于G.∵A(1，0)，B(－1，4)，∴AH＝2，BH＝4.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∴∠ABH＋∠CBG＝90°.∵∠ABH＋∠BAH＝90°，∴∠CBG＝∠BAH.又∵∠G＝∠AHB，∴△ABH≌△BCG(AAS)．∴BG＝AH＝2，CG＝BH＝4.∴C(3，6)．故选A.类型四给出的边角关系都不直接先根据已知条件得出与这两个三角形有关的边角关系，再在前面三个类型的方法中选择合适的方法解题．7．(2022－2023·武汉江夏区期中)如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，延长AE，DC相交于点F，∠BEF＝∠B＋∠F.求证：AB＝CF.证明：∵∠BEF＝∠B＋∠F，∠BEF＝∠B＋∠BAE，∴∠BAE＝∠F.∵E是BC的中点，∴BE＝CE.在△AEB和△FEC中，∠BAE＝∠F，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△AEB≌△FEC(AAS)．∴AB＝CF.8．如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.(1)求∠DAE的度数；(2)若∠B＝30°，试说明：AD＝BC.解：(1)∵AB∥DE，∠E＝40°，∴∠EAB＝40°.∵∠DAB＝70°，∴∠DAE＝∠DAB－∠EAB＝30°.(2)在△ADE和△BCA中，∠DAE＝∠B＝30°，AE＝BA，∠E＝∠BAC，∴△ADE≌△BCA(ASA)．∴AD＝BC.模型构建专题：

全等三角形中常见的解题模型证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB＝BC.∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC.∵BD∥CE，∴∠C＝∠DBA.在△ABD与△BCE中，∠A＝∠EBC，AB＝BC，∠DBA＝∠C，∴△ABD≌△BCE(ASA)．1．(2022·乐山中考)如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE.求证：△ABD≌△BCE.2．(2022·衢州中考)已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AB＝AD.证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD.在△ACB和△ACD中，∠1＝∠2，AC＝AC，∠ACB＝∠ACD，∴△ACB≌△ACD(ASA)．∴AB＝AD.3．(2022·西安莲湖区期末)如图，AC与BD交于点O，连接AB，AD，BC，∠D＝∠C.(1)要使△ABD≌△BAC，只需添加一个条件是

∠ABD＝∠BAC(答案不唯一)

；(2)根据(1)中你所添加的条件，你能说明△ABD与△BAC全等吗？解：在△ABD和△BAC中，∠ABD＝∠BAC，∠D＝∠C，AB＝BA，∴△ABD≌△BAC(AAS)．【图形变式】已知：如图，AC＝BD，

AD＝BC.

求证：∠C＝∠D.类型二已知两角分别相等证明：如图，连接AB，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，BC＝AD，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SSS)．∴∠C＝∠D.4．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.求∠AFD的度数．解：∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴∠A＝∠B.如图，设BC与AE交于点N.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ANC＝90°.∵∠ANC＝∠BNF，∴∠B＋∠BNF＝∠A＋∠ANC＝90°.∴∠AFD＝∠B＋∠BNF＝90°.5．如图①，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF.(1)求证：△AFC≌△DEB；(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动，点B与点C重合时(如图②所示)，点B在点C右侧时(如图③所示)，其余条件不变，结论是否仍成立？请说明理由．(1)证明：∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.∵DE∥AF，∴∠A＝∠D.在△AFC与△DEB中，AF＝DE，∠A＝∠D，AC＝DB，∴△AFC≌△DEB(SAS)．(2)解：在图②和图③中结论依然成立．理由如下：在图②和图③中，∵AF∥DE，∴∠A＝∠D.在图③中，∵AB＝CD，∴AB－BC＝CD－BC，即AC＝BD.故无论图②还是图③，在△ACF与△DBE中，AF＝DE，∠A＝∠D，AC＝DB，∴△ACF≌△DBE(SAS)．故结论仍成立．类型二一线三等角模型(∠D＝∠E＝∠ACB)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)若∠BDA＝115°，则∠BAD＝

25

°，∠DEC＝

115

°；(2)若DC＝AB，求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵∠ADC＝∠EDC＋∠EDA＝∠DAB＋∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB.在△ABD和△DCE中，∠DAB＝∠EDC，AB＝DC，∠B＝∠C，∴△ABD≌△DCE(ASA)．∴AD＝DE，

即△ADE是等腰三角形．7．如图，直线MN一侧有一个等腰直角三角形ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB.直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为点E，F，∠CAB的平分线AG交BC于点O，交MN于点G，连接BG，恰好满足AG⊥BG.延长AC，BG交于点D.求证：(1)CE＝BF；(2)AC＋CO＝AB.证明：(1)∵AE⊥MN，BF⊥MN，∠ACB＝90°，∴∠EAC＋∠ECA＝∠FCB＋∠ECA＝90°.∴∠EAC＝∠FCB.在△AEC和△CFB中，∠AEC＝∠CFB＝90°，∠EAC＝∠FCB，AC＝CB，∴△AEC≌△CFB(AAS)．∴CE＝BF.(2)∵∠ACB＝90°，AG⊥BG，∴∠CAO＋∠D＝∠CBD＋∠D＝90°.∴∠CAO＝∠CBD.在△ACO和△BCD中，∠ACO＝∠BCD＝90°，AC＝BC，∠CAO＝∠CBD，∴△ACO≌△BCD(ASA)．∴CO＝CD.∴AC＋CO＝AC＋CD＝AD.∵AG平分∠CAB，AG⊥BG，∴∠DAG＝∠BAG，∠AGB＝∠AGD＝90°.在△AGD和△AGB中，∠DAG＝∠BAG，AG＝AG，∠AGD＝∠AGB，∴△AGD≌△AGB(ASA)．∴AD＝AB.∴AC＋CO＝AB.综合滚动练习全等三角形的性质与判定范围：12.1～12.2满分：100分时间：45分钟得分：________一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2022·金华中考)如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是(

B

)A．SSSB．SASC．AASD．HL2．(2022－2023·南京期中)如图，△ABC≌△ADE，若∠AED＝100°，∠B＝25°，则∠A的度数为(

D

)A．25°B．45°C．50°D．55°3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带哪块去最省事(

C

)A．①B．②C．③D．①③4．如图，MP＝MQ，PN＝QN，MN交PQ于点O，则下列结论不正确的是(

C

)A．△MPN≌△MQNB．∠PMN＝∠QMNC．PQ＝NQD．∠MPN＝∠MQN5．下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定可以重合．其中正确的是(

D

)A．①②B．②③C．③④D．①④6．如图，CA＝CB，AD＝BD，M，N分别为CA，CB的中点，∠ADN＝80°，∠BDN＝30°，则∠CDN的度数为(

C

)A．40°B．15°C．25°D．30°7．(2022－2023·武汉期中)如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，若AC＝EF，则下列结论中正确的是(

C

)A．h1＜h2B．h1＞h2C．h1＝h2D．无法确定8．(2022·芜湖弋江区期末)如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是(

A

)

A．6

B．7

C．8

D．9【解析】如图，在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC－AE＝9－5＝4.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.在△APE和△APB中，AE＝AB，∠CAP＝∠BAD，AP＝AP，∴△APE≌△APB(SAS)．∴PE＝PB＝3.∵4－3＜PC＜4＋3，解得1＜PC＜7，∴PC的长可能是6.故选A.二、填空题(每小题5分，共20分)9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－6，0)，B(0，4)，△OA′B′≌△AOB.若点A′在x轴上，则点B′的坐标是

(6，－4)

．10．(2022·牡丹江中考)如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件

CB＝CE(答案不唯一)

，使△ABC≌△DEC.11．(2022·合肥蜀山区期末)如图，在△ABC中，点D，E分别为边AC，BC上的点，且AD＝DE，AB＝BE，∠A＝70°，则∠CED＝

110

°.12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P，Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝8cm或15cm

时，△ABC和△APQ全等．三、解答题(共40分)13．(10分)(2022·柳州中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF.有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE.(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF.你选取的条件为(填写序号)

①，你判定△ABC≌△DEF的依据是

SSS

(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；(答案不唯一)(6分)证明：∵△ABC≌△DEF.∴∠A＝∠EDF.∴AB∥DE.(10分)(2)利用