《Mathematica在波动光学中的应用研究》7300字

[18]。接下来，我们以光的衍射来利用和展示Mathematica强大功能。波动光学衍射原理及计算代数以波动理论分析研究光的传播，波在传播过程中遇到障碍物时，它能够绕过障碍物继续传播的过程，根据波动光学理论推出计算代数。标量夫琅禾费衍射原理弗朗禾费衍射的装置如图1所示，当一束平行光垂直入射到衍射屏上，将凸透镜放在衍射屏的后面，在凸透镜的后焦平面上再放一个接受屏，所接收到的图像就是衍射光在无限远处形成的干涉图样。弗朗禾费衍射的装置衍射角坐标的示意图如图2所示。根据夫琅禾费衍射理论，衍射场的振幅分布如下所示（1）衍射屏的透过函数是U（x，y），其中α和β为方向角坐标，λ为光的波长。积分在整个衍射屏∑。衍射的角坐标示意图得到衍射强度的分布如下（2）用上面两式来计算在一些情况下的衍射图，设计针对性的算法，并探讨结果的含义。标量夫琅禾费衍射的计算代数在计算积分U（α，β），简单的情况下可以直接得到解析的结果，但我们不准备对解析结果探求，而是直接探求数值计算法，从而求衍射强度在各种情况下的分布。为此，我们需要把U（α，β）分成实部和虚部两部分来计算，如下所示实部，虚部分别为理论上说，按上面两个积分公式计算U1、U2是可取的，因为函数NIntergrate[]可以进行二重积分。但实际计算表明，直接积分速度太慢。如果能把积分过程改为求和过程，求和的速度要比积分要快许多，于是剩下的就需要设计通过衍射屏的透过函数。并且后面所用的衍射屏就是单个圆形孔，三角形孔和单个及多个矩形孔，若是多个孔，孔的排列也是规则的。结合以上情况，取透过函数简单的形式（3）从U1、U2的表达式中可以看出，它们都是α,β的函数，在实际接收的衍射图上，用直观的笛卡儿坐标来表示衍射强度，我们把衍射强度改为接收屏上的笛卡儿直角坐标x表示。设在图2中衍射屏到接收屏的长度为1，就可以证明有了这些准备，接下来将具体计算在几种情况下光衍射的分布。经典而重要的波动光学衍射的计算通过之前的准备，设计出计算程序和算法并得出美丽的可视化结果。计算圆孔、三角形孔、矩形孔的衍射。下面得到计算的结果与可视化。单个圆孔衍射的计算与可视化先计算圆孔的衍射，用来说明衍射计算的一般问题。设圆孔半径为r，将圆孔以外的光遮挡，原点在圆心上，所以透过函数为其中Unitstep（）是单位阶跃函数。选择圆孔的2r×2r区域作为衍射屏。取波长等于0.6μｍ，涉及所有的长度量单位为都以μｍ。计算结果显示，衍射图与孔的半径有关。首先取r=10μm。圆孔对光的衍射的程序代码如图3所示圆孔对光的衍射的程序代码对程序解释如下:第一，需要注意的是，程序中频繁使用Date[]函数，是因为求和过程比较慢，而求和过程中所使用的时间函数是为了更好的掌握时间，不至于发生误判。

第二，循环是双重的，每层循环的次数是2n+1，本次总共循环的次数是101。衔射角的范围设定为±12º。第三，为了加快运算速度，在程序中还采用了一些小的技巧，例如，事先计算出2x/λ，从而避免在循环中对该数值反复计算。同理，程序中的q1、q2的设置也是结合以上技巧。第四，在求和完成后，将所得到的强度进行存盘，紧接着使用ListPlot3D[]和ListDensityPlot[]分别做出强度的联合分布图和密度图，强度图可以看到各个衍射环强度的相对关系，密度图可以看到接收屏上所观察到的衍射图样。下面两张图就是强度的立体和平面分布。圆孔对光的衍射的计算结果强度立体分布如图4所示圆孔对光的衍射计算结果的强度立体分布图圆孔对光的衍射的计算结果强度平面分布如图5所示圆孔对光的衍射的计算结果强度平面分布图当然，要具体查看衍射强度的分布时，最直接的方法是查看数据文件。不过，数据量很大，一个个查看也没必要。但是，可以通过这些数据所得到衍射图的一些“特征量”，以便对圆孔衍射有进一步的认识。如果想知道，在衍射图上，各个衍射环的峰值强度是多少，或者各个衍射峰值的相对比例是多少？再则，衍射环有明有暗，暗环的位置在什么地方，符合什么规律？为了回答这样的问题，从衍射图中间取一条水平线，它穿过衍射中心。这条线上的强度分布包含着以上问题的答案，如图6所示的程序就是来分析这条线的数据信息的。计算一条水平线线通过衍射中心的光强分布。计算一条水平线通过衍射中心的光强分布的程序代码一条水平线通过衍射中心的插值函数曲线上面程序给出的结果，0ut[23]表示，抽出经过衍射中心线上的强度数据，对该部分数据进行插值，将得到的插值函数曲线，插值函数曲线是中心对称的、并且是两边振荡衰减的函数，与衍射图的明环和暗环对应；从该图上还能看出在衍射屏上的坐标宽度。衍射中心的峰值很高，只画出了一部分。Out[25]和Out[26]分别是中心零级衍射峰和一级衍射峰的值，Out[27]是二者的比值，可见，二者相差了50多倍，衍射能量主要集中在中心峰值内。根据光学理论依据，第一暗环的角位置应满足以下关系sinα=0.61λ/r其中α对应的是第一暗环的衍射角，在靠近中心的地方，衍射角近似等于衔射屏上的距离，于是就有sinα≈α≈0.0368将程序中所采用的波长和孔的半径数据代人，得0.61×0.6/10=0.0366证明波动光学理论的结果在此得到了很好的满足。在用FindRoot[]求暗环位置的时侯,事先要观察Out[23]，以确定暗环的近似位置。因此，所给的程序是已经调试成功的最后结果。最后谈一谈程序设计的技巧。如果用记事本程序打开文件yuankong.dat,可以发现，其数据结构是{{x1,y1,i1},{x2,y2,i2},…}根据产生yuankong.dat的那段程序的逻辑，β每取一个值，对应α要取2n+1个值，其中第n+1个值是0，该处对应衍射图的中心线。因此，再读得了数据之后，就用函数Partition[]将其按2n+1个为一组重新组织数据，数据的格式变为{{{x1,y1,i1},{x2,y2,i2},…,{x2n+1,y2n+1,i2n+1}},{…},…}而Table[d[[I,n+1]],{i,2n+1}]就是从中挑选出中心线上的数据点，其格式为{{xn+1,yn+1,in+1},{…},…}这时候，会发现，xn+1已经是0，或者非常接近于0，我们要取的就是{yn+1,in+1},这就是Take[d[[i]]，-2]的作用，取表中末尾2个元素组成新的表。经过第二次Table[]的作用，得到数据是{{yn+1,in+1},…}数据正好能用来进行一维插值。总的来看，对弗朗禾费衍射的数值算法设计是成功的。在此基础上，我们可以进行更多情况下的计算，以展示更多的衍射情况。例如，如果把圆孔的半径r改为1µｍ，5µｍ和20µｍ，所得的衍射图依次如下。圆孔对光的衍射的计算结果强度平面分布图（r=1µｍ）圆孔对光的衍射的计算结果强度平面分布图(r=5µｍ)圆孔对光的衍射的计算结果强度平面分布图(r=20µｍ)由图可知，随着圆孔孔径变大，衍射图中的中心亮斑直径越来越小，在视野可见范围内的光环将越来越多，而在孔径很小的情况下，没有亮暗分界。通过改变半径，理论上可以得出想要的衍射图形，如果通过实验去做，克服一些困难是能够做得出的，但是实验成本会很高，如果用计算的方法来获取所需要的衍射图形，成本会大大降低，仅需要一些时间罢了。如果想要得到更光滑的图，可以通过增加衍射屏上取样点的数目和接收屏上取样点的数目。三角形孔衍射的计算与可视化接着进行计算单个正三角形孔所形成的衍射图，三角形孔的形状如图11所示，设三角形的边长为r，中心到顶点的长度为r1。单个三角形孔单个三角形孔衍射的难点是透过函数设计。我们采用以下方法：写出三个边的直线方程，形式为y=kx+b。我们按照逆时针方向研究，规定Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ﹑象限的边分别对应“一号边”“二号边”﹑“三号边”。三角形区域内的点{x，y}，需要满足以下条件y<kx+b，对应一号边y>kx+b，对应二号边y<kx+b，对应三号边根据这些条件，就容易设计透过函数了。单个三角形孔的衍射的程序代码如图12所示单个三角形孔的程序代码单个三角形孔衍射的计算结果强度平面分布如图13所示单个三角形孔衍射的计算结果强度平面分布对程序解释如下：（1）变量p储存了三角形的3个顶点坐标，为了满足求3个边方程的需要，将第一个点复制一份追加到p的末端，p包含了4个点。（2）衍射屏取的是矩形，宽为r，高度从底边到三角形的顶点。（3）变量line储存了三条边的方程表达式,它的元素为y-kx-b。程序运行的结果见Out[13],衍射图是六角结构，有个亮度突变的界限，这是很引人注目的。因为衍射图与孔的尺寸有关，下面两图展示的边长r=20µｍ和r=30µｍ的衍射图，是复杂和对称的六角结构。这些图也同样显示：限制越大衍射越宽。单个三角形孔的衍射图（r=20µｍ）如图14所示单个三角形孔的衍射图（r=20µｍ）单个三角形孔的衍射图（r=50µｍ）如图15所示单个三角形孔的衍射图（r=50µｍ）单个矩形孔衍射的计算与可视化下面计算单个正方形孔所形成的衍射图，正方形的边长为10µｍ.程序没有定义u函数，因为取样点全部局限在孔内，幅度为1。单个矩形孔的衍射的程序代码如图16所示单个正方形孔的衍射的程序代码单个矩形孔的衍射的计算结果强度平面分布如图17所示单个正方形孔的衍射的计算结果强度平面分布单个矩形孔的衍射的程序代码如图18所示单个矩形孔的衍射的程序代码把透光屏改为矩形孔，孔的尺寸改为20µm×10µm。衍射结果见下图，图形不再是四个方向对称分布，而是受限制较大的y方向扩展的更远，相比之下，x方向好像被挤压了一下。单个矩形孔的衍射的计算结果强度平面分布如图18所示单个矩形孔的衍射的计算结果强度平面分布图多个矩形孔衍射的计算与可视化接着来计算多个矩形孔规则排列形成的衍射屏的衍射图。衍射屏的形状如图20所示，黑色部分是不透光的。每个矩形孔的尺寸都标在图上。这样便于计算每个矩形的中心坐标。在下面的计算中，矩形取为正方形，其他情况，可以改变参数进行计算。矩形孔组成的衍射屏在程序中，p是各个矩形中心点的坐标，其原始形式为{{{x1,y1},{x2,y2},…},{…}}为方便下面的计算，用函数Flatten[p，1]将它“压平”，变成由点{xi，yi}组成的一个表{{x1,y1},{x2,y2},…}并测量了它的长度。取样还是在一个矩形内进行，因此，U函数在定义时就需要将各个矩形包括进去，出现了双重求和。多个矩形孔的衍射的程序代码如图21所示多个矩形孔的衍射的程序代码多个矩形孔的衍射的计算结果强度平面分布如图22所示多个矩形孔的衍射的计算结果强度平面分布图程序运行结果见Out[10]，图22中是中间较粗的十字线形状，周围还有小的十字形状亮线，并且这些亮线在交叉的地方更亮。图22中得十字形状和我们透过布或者纱窗观察远处的灯光看到的结果类似，多孔布可以显示衍射现象便得到证明。同时还要注意到，图上的横线和竖线都有些向着中心弯曲，并非平直的线。当然，也可以认为那不是线，而是一些分立的点，只不过这些点的排列沿着线罢了。结论在波动光学衍射的教学中，若用Mathematica软件模拟符号计算系统对教学过程进行辅助，便于直接观察和理解。我们用Mathematica软件模拟符号计算系统得出了圆孔、三角形孔、矩形孔等衍射图。减少了实验成本，获得了模拟图。在Mathematica软件的辅助下对波动光学的衍射计算分析，我们发现在研究过程将积分过程转化为求和过程，大大的加快了计算速度。本文研究了标量场的衍射过程，但由于水平有限，时间紧迫。暂时还没有对矢量场的衍射理论进行深入的研究，还存在部分问题在短期内无法解决。期望在毕业以后参加工作的研究中进一步研究矢量衍射理论。

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