《迭代数列的相关性质及收敛性判别法分析》4800字

摘要：本文主要研究了迭代数列的收敛性．首先介绍了迭代数列的相关性质以及定理．其次给出了一系列判断迭代数列收敛的方法如利用单调有界定理，利用压缩映射原理，利用迭代数列通项等,并针对每一种方法给出具体的例子．关键词：迭代数列；敛散性；不动点；单调有界；压缩映射引言在数学分析的学习中我们常见到一种形如的数列，我们称之为迭代数列．此类数列有着很强的理论价值和使用价值，如数学里大量的近似计算和方程的求根算法，早期混沌研究里的广义Logistic映射等．判断迭代数列的敛散性以及求出其收敛时的极限值对与之相关的研究有着很大的帮助．在文献[4]中高新涛通过判断连续可微的迭代方程是否满足压缩映射原理来判断迭代数列的收敛性，然后求出唯一不动点得到迭代数列的收敛值．在文献[6]中綦建刚通过分析给定的数列首项与迭代方程不动点的大小关系结合迭代函数的单调性得到迭代数列的单调情况，又证明了迭代数列有界，利用单调有界定理判定了迭代数列的收敛性．在文献［9］中肖翔对于满足形式（，）且存在唯一不动点的迭代方程，通过不动点构造等差数列，并利用此数列得到迭代数列通项，然后判别其收敛性与极限值．在文献[11]中黄永忠分别分析了线性迭代数列，倒数迭代数列，分式迭代数列的极限情况，对于满足相应形式的迭代数列能进行快速的收敛性判断．在文献[13]中张玲对于所给迭代数列分别通过数学归纳和不等式放缩证明了对于任意的存在,使得当时对一切有，即迭代数列满足柯西收敛准则，从而得到迭代数列收敛．然而对于迭代数列收敛性的判别不只这些方法，并且对于同一个迭代数列收敛性判别也不局限于一种方法，我们需要针对迭代数列的特点选择较为合适的简便方法．在本文中主要介绍了几种对迭代数列收敛性判别的方法．如对有着明显单调性的迭代数列选择利用单调有界定理判别；对于连续可微的迭代函数选择利用压缩映射定理判别；对于可以利用递推关系写出数列通项的迭代数列选择利用数列通项通过取极限判别收敛情况等．1.迭代数列定义和相关性质迭代数列的定义定义1[1]在给出数列的第一项后，用递推公式：，通过迭代而生成的的数列成为迭代数列．迭代数列的性质命题1（第一律）[2]设数列满足递推公式,.如果有，同时也成立，则极限一定是方程的根（这时候称为函数的不动点）．注1此命题证明是较清晰的，只要在此递推公式的两侧分别同时令即可，便可得出，即证明结论．注2命题中的条件可以替换成在处连续或者在更大的范围上连续等条件，因为有连续函数的Heine归结原理知道，函数在点处连续的充分必要条件为对每个向收敛的数列，都有成立．注3此命题对判断迭代数列敛散有很明显的作用．在我们不知道一个数列是否收敛或者发散以前，我们可以利用此定理先去求解方程，方程根的情况对判定原数列的收敛情况有很大的帮助．如果所求方程在实数范围内无根，那么就不用再对原数列作任何研究就可以断定这个迭代数列一定发散；如果方程有实根，我们则可以根据具体情况再进行具体的分析，如再进一步证明此实根为数列极限．命题2（第二律）[2]设满足关系，，其中的函数在区间上单调，同时数列的每一项都在区间中，则只有两种可能：1）当单调增加时，为单调数列；2）当单调减少时，的两个子列和分别为单调数列并且具有相反的单调性．证明对命题里的两种可能分别进行分析．1）假设函数在定义区间上单调递增．由所给的条件知道,，通过观察数列的前两项可知，如果有，那就有.由数学归纳法可知，当时有数列单调递增．同理，当时可以证明数列单调减少．所以当函数单调增加时，数列为单调数列．2）假设在区间上单调减少，此时对于复合函数来说却是单调递增的.且严格来说，如果有，，并且，就有成立．观察与，如果成立=，那么有奇子列为常数列；如果成立，由单调减少可知，进而推出.此时用数学归纳法可已证明子列单调增加．因为函数单调减少，并且有，，所以可以推出子列单调减少；如果成立，讨论情况与上述类似．注1从以上的情况证明里可以看出来，迭代数列的单调性还具有别的特点.例如在情况1）中为单调递增的情况下，只有两种讨论的情况：一是从某一项之后为常值数列，二是严格的单调递增数列．注2如果迭代数列在迭代函数的单调区间内并且还有界（也有可能无界），则当为单调增加时，必定收敛；而当为单调减少时既有可能收敛也有可能发散，但是它的两个奇偶子列和一定是收敛的．所以迭代数列的收敛情况变成了取决于判断这两个子列收敛的极限值是否相等．注3命题2的几何意义．在一个具体的迭代数列里如果要应用上方的两个规律最直观简便的方法就是作图．第一步则先在坐标平面上做出函数的图像，在命题1里的不动点就是函数和函数的交点．图1命题2的几何意义在图1中的曲线代表，直线代表，两线交点的横坐标为函数的不动点．从图中横坐标轴上的初始值作为出发点，作平行于轴的直线，得到与曲线的交点的纵坐标就为．此时从交点处作与轴平行的直线交于一点，作此点与纵轴平行，与轴交点的横坐标就为.在图1（）和（ｂ）中按照以上作图方法与思路继续下去，可以明显的从图中看出来得到的数列的增减情况，与命题２结论一致．并由此看出数列可能以为极限值，若要确定则需要进行进一步的严格分析证明．2.迭代数列收敛性的判别法2.1单调有界定理使用单调有界收敛定理的前提条件是数列具有某种单调性．若给定迭代数列的迭代函数有比较容易判断的单调性，则可以考虑利用单调有界定理．假设迭代函数是连续的．一般分为两种情况：情形1单调增加，为唯一不动点，，1）当且时，单调递增且；2）当且时，单调递减且．注1如果有且（或且），那么数列不一定收敛.例如，．由上述的结果可知，当出现情形1时，我们应该证明数列单调且取迭代函数不动点为界限，为我们提供了一个清晰的思路．例1，.证明数列收敛并求出数列极限．证明首先此题的迭代函数为，很明显可以看出此函数在是单调递增的.它的唯一不动点分为两种情况：1）如果，那么一定是单调递减的并且有．实际上有，并且有，所以．用数学归纳法可以进一步证明，由数列单调递减有下界可知数列收敛．记数列极限，分别另等式两边则可以得到，解得，所以．2)如果，那么同理可得一定是单调递增并且有．即由单调递增有上界可知数列收敛极且限存在．同样可证．综上得证此迭代数列收敛且．例2设，任意取，，，证明数列收敛并求．证明首先可以观察到．用数学归纳法证明，已知，那就假设，根据知道.因为，得到，，并推出．所以由以上证明可知单调递增有上界，根据单调有界定理知道此数列收敛．设极限为，对等式两端同时令得到,所以极限值．情形2单调递减．为其唯一不动点，1）若并且有时，数列是单调递增数列；是单调递减数列，并有．2）若并且有时，数列是单调递增数列；是单调递减数列，并有．在以上情况中数列极限存在并且为．注2当出现的单调区间不唯一的情况时，此时可以把区间划分为若干个小单调区间，再根据情形1和2进行讨论．但是需要注意的一点就是如果出现迭代函数不动点不唯一，那么此时的函数极限一般都与初始值有关．比如，当初始值时有极限值；当初始值时有极限值．例3把形如的数列称为菲波那契数列，，证明存在，并求出该极限值．证明令，那么，．明显可以看出来在上时单调递减的，由迭代方程计算得唯一不动点为.又经过计算知道．所以如果时，有；如果时，有．根据情况２知道此迭代数列的极限一定存在且有．例4设，，，，．证明存在，并求出其极限值．证明通过数列的首相以及数列的通项可以看出来数列整体不是单调的，因为，而，所以．所以由此可以知道此迭代数列的奇子列单调递增，偶子列单调递减，并且，．又由数列的单调有界一定有极限可以知道该数列的奇子列，偶子列收敛并且极限，均存在，分别设为,．对，，当时有，，解得，根据情形２得证此数列收敛且极限值为．2.2压缩映射原理定义2[8]若存在一个常数，且，使得任意的，有成立，则称是上的一个压缩映照．命题3[8]设是上的一个压缩映照，则是上的连续函数．命题4[8]设是上的一个压缩映照，并且，，，若对于任意的，有，则在上存在唯一不动点c,且．证明第一步：则证明数列收敛．1)如果，则明显收敛;2)如果，那么对于任意的取则当时对于任意的整数有.所以是一个Cauchy数列，根据Cauchy数列的收敛准则可知存在并有．第二步：证明为的不动点．因为是上的一个压缩映照并且根据引理可以知道在连续，其中，所以为的不动点．第三步：证明为的唯一不动点．1)如果，则显然有唯一的不动点；2)如果，那么假设有另外的不动点设为，则，若使此式成立，只有．所以有且只有一个不动点．注此方法是利用压缩映射原理来分析迭代数列的敛散性，主要的思路为先证明迭代方程为定义区间上的压缩映射，然后把求解数列极限的问题转换为求解方程的不动点，即求方程唯一解的问题．例5已知，，讨论的敛散性，若收敛求出极限．解首先写出迭代函数为，并且明显的可以看出来迭代函数在上连续可导．因为，所以当时，，所以为压缩映射，又因为连续，由定理知道存在唯一的不动点．其次求出方程不动点即求解，得出，所以此迭代数列为收敛的且．例6已知数列满足，，讨论的敛散性，若收敛求出极限．解由题可知迭代方程为，显然迭代方程连续并且．对，有，此时根据压缩映射的定义令，所以迭代函数为压缩映射．由定理知道存在唯一的不动点，求出方程不动点即求解，所以此迭代数列为收敛的且.2.3利用迭代数列通项公式对于迭代生成的数列，有时可以通过递推关系写出数列的通项，从而判断是否收敛以及求出极限值．例7设，，，求．解由知，由定理知道此数列收敛且极限存在．但根据上述方法通过求解唯一不动点无法求出极限值，此时根据每项是前两项的算术平均值可以看出，，.很容易可以写出来的表达式，反复应用此结果，，所以,因此数列收敛且极限为．2.4利用Stolz公式命题5(型Stolz公式)设有数列，，其中严格增，且（注意不必）.若，则．例8设，，求．解令，因为，所以数列单调递减有下界，所以存在，且易知．由Stolz公式知道，所以迭代数列收敛且极限为2．例9对于数列,,()，证明：．证明要证，即证 ，或者 ．利用型Stolz公式有.所以，即．结束语本文主要讨论了判断迭代数列敛散性的几种方法．首先是利用单调有界定理，适用于迭代函数具有明显的单调性时；其次是利用压缩映射原理，运用此前需判断此迭数列的迭代方程是连续可微的且满足压缩映射原理，再求出唯一不动点得到数列极限值；然后就是利用数列通项，对于一些形式比较特殊的迭代数列可以通过一定的适当变形写出其通项表达式，然后进行简单的取极限，通过观察数列极限是否存在进而判断其敛散性；本文只是总结出了判断迭代数列敛散性的几种方法，还有很多简便有效的方法等着我们去发现．参考文献裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社，2001:567-571.钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京:崇文书局，2003:493-522.华东师范大学数学系.数学分析下册（第四版）[M].北京:高等教育出版社，2010:223-255.高新涛,陈丽.迭代数列的收敛性研究[J].湖南城市学院学报(自然科学版),2017,26(01):41-44.万丽.一类迭代数列敛散性判别的新准则[J].河北理科教学研究,2008(01):41-42.綦建刚.极限收敛定理在迭代数列中的应用[J].山东师大学报(自然科学版),2004(02):96-98.程丛电.两类迭代数列的敛散问题[J].沈阳师范学院学报(自然科学版),1999(03):76-79.贾丽明.迭代数列极限的求法新探[J].沈阳电力高等专科学校学报,1997(04):31-33.肖翔，许伯生.不动点在线性搜索中的应用[J].上海工程技术大学报，2009，23（03）:258-276葛莉，张孔生，姚云飞.关于数列的压缩条件的几点注记[J].阜阳师范学院学报（自然科学版）,2004(04):70-72.黄永忠,吴洁,胡勇.几类迭代数列的收敛性