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文档简介

第一章函数、极限与连续PARTFIVE第五节

极限运算法则学习目标：4.

掌握极限的四则运算法则.1.了解函数极限的四则运算法则.2.了解数列极限的四则运算法则.3.了解复合函数的极限运算法则.极限的四则运算法则

定理1如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么

（1）lim[f(x)

g(x)]存在，且lim[f(x)

g(x)]=A

B=limf(x)

limg(x)．

（2）lim[f(x)·g(x)]存在，且

lim[f(x)·g(x)]=A·B=limf(x)·limg(x)．证明定理(1)的证明：

因为limf(x)=A，limg(x)=B，由第3节定理1有f(x)=A+a，g(x)=B+b，其中a及b

为无穷小．

于是f(x)

g(x)=(A+a)

(B+b)=(A

B)+(a

b)由本节定理1，得a

b是无穷小．再由第三节定理1，得lim[f(x)

g(x)]=A

B=limf(x)

limg(x)．

定理（1）可推广到有限个函数的情形，例如，如果limf(x)，limg(x)，limh(x)都存在，则由定理（1）有lim[f(x)+g(x)-h(x)]=lim{f(x)+[g(x)-h(x)]}=limf(x)+lim[g(x)-h(x)]=limf(x)+limg(x)-limh(x)．定理（1）的推广：

推论1

如果limf(x)存在，而c

为常数，则lim[c

f(x)]=climf(x)．推论2

如果limf(x)存在，而n

是正整数，则lim[f(x)]n

=[limf(x)]n．定理（2）

的推论：数列极限的四则运算法则：

定理2

设有数列{xn

}和{yn

}．如果

定理3

如果j(x)

f(x)，而limj(x)=a，limf(x)=b，那么a

b．那么求极限举例：x趋向于有限值的情形x趋向于无穷大的情形

解：

1．=2·1

1解：讨论：当x®x0时，多项式的极限有理分式的极限当x®x0时，多项式的极限有理分式的极限：

解：所以由第4节定理2得

0，观察：

设多项式P(x)

a0

xn

a1

xn

1

···

an

，则

a0

x0n

a1

x0n

1

···

an

P(x0)．设Q(x)也是多项式，，当Q(x0)

0时

，当P(x0)

0，Q(x0)

0时，=x0lim

®xP(x)=x0lim

®x(a0

xn

+a1

xn-1+···+

an)=a0(x0lim

®xx)n

+a1(x0lim

®xx)n-1+···+x0lim

®xan于是x0lim

®xQ(x)=Q(x0)，先约去公因子，再取极限

先用x3去除分子及分母,然后取极限:解：结论：

当a00、b00，

m和n为非负整数时．a0b0，当n

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