2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用章末综合提升（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用章末综合提升（教师用书）教学实录新人教A版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图本节课以“2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用章末综合提升”为主题，通过回顾导数的概念、性质和运算法则，结合实际问题，培养学生运用导数解决实际问题的能力，提高学生分析问题和解决问题的综合素养，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过导数的概念引入，使学生理解抽象的数学概念与实际问题的联系；提升逻辑推理能力，通过导数的性质和运算法则的推导，训练学生逻辑推理的严谨性；增强数学建模意识，通过导数在物理、经济等领域的应用，引导学生将数学知识应用于实际问题；提高数学运算能力，通过导数的计算练习，提高学生准确、高效运算的能力。重点难点及解决办法重点：导数的计算与应用。重点在于理解导数的概念，掌握导数的运算法则，并能将其应用于解决实际问题。

难点：导数的几何意义和物理意义。难点在于将导数与几何、物理现象联系起来，理解导数描述的瞬时变化率。

解决办法：

1.通过实例演示和讨论，帮助学生理解导数的直观意义。

2.引入实际问题，如曲线切线斜率、速度变化率等，让学生体验导数的应用。

3.采用小组合作学习，让学生通过讨论和互助解决问题，提高解决问题的能力。

4.通过大量的练习，让学生熟悉导数的计算方法，增强计算技巧。

5.结合物理、几何背景，帮助学生建立导数的几何意义和物理意义。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、数学软件（如Mathematica、GeoGebra）、电子白板

-课程平台：学校内部网络教学平台、在线教育平台

-信息化资源：导数概念动画、导数计算示例视频、在线导数应用案例分析

-教学手段：实物演示（如使用直尺和圆规演示切线）、板书、课堂讨论、小组合作教学流程1.导入新课

详细内容：以实际生活中的速度问题引入，提问学生如何描述物体在某一时刻的运动状态。展示物体运动轨迹图，引导学生思考如何找到物体在某一时刻的瞬时速度。通过动画演示，展示导数的概念，激发学生学习兴趣，引出新课内容。

用时：5分钟

2.新课讲授

（1）导数的概念

详细内容：通过实例讲解导数的定义，如曲线在某一点的切线斜率，引导学生理解导数的几何意义。结合物理中的速度变化率，说明导数的物理意义。

用时：10分钟

（2）导数的运算法则

详细内容：讲解导数的四则运算法则，通过实例演示，让学生掌握导数的计算方法。强调导数运算法则的应用，如求复合函数的导数。

用时：10分钟

（3）导数的应用

详细内容：介绍导数在物理、经济等领域的应用，如求解极值、最值问题。通过实例讲解，让学生体会导数在实际问题中的价值。

用时：10分钟

3.实践活动

（1）导数计算练习

详细内容：布置导数计算练习题，让学生独立完成。教师巡视指导，解答学生疑问。

用时：10分钟

（2）导数应用案例分析

详细内容：展示实际案例，如物体运动轨迹、经济函数等，让学生运用导数知识解决问题。

用时：10分钟

（3）小组讨论

详细内容：将学生分成小组，讨论以下问题：

-导数的几何意义和物理意义；

-导数在解决实际问题中的应用；

-导数与其他数学知识的联系。

用时：10分钟

4.学生小组讨论

（1）导数的几何意义和物理意义

举例回答：学生讨论导数在几何中的应用，如曲线在某一点的切线斜率；在物理中的应用，如描述物体在某一时刻的速度变化率。

（2）导数在解决实际问题中的应用

举例回答：学生讨论导数在解决实际问题中的应用，如求解极值、最值问题，如求函数在某一点的切线方程。

（3）导数与其他数学知识的联系

举例回答：学生讨论导数与其他数学知识的联系，如导数与极限、微分方程的关系。

用时：10分钟

5.总结回顾

详细内容：回顾本节课所学内容，强调导数的概念、运算法则和应用。通过实例分析，让学生体会导数在解决实际问题中的重要性。布置课后作业，巩固所学知识。

用时：5分钟

总计用时：45分钟知识点梳理1.导数的概念

-导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率。

-导数的几何意义：函数在某一点的导数等于该点切线的斜率。

-导数的物理意义：描述物体在某一时刻的速度变化率。

2.导数的性质

-线性性质：导数的线性性质包括导数的和、差、积、商的运算法则。

-反函数的导数：若函数y=f(x)有反函数x=g(y)，则f'(x)和g'(y)互为倒数。

-复合函数的导数：若函数y=f(u)和u=g(x)复合，则y对x的导数为f'(g(x))g'(x)。

3.导数的运算法则

-常数倍法则：若C为常数，则(Cf(x))'=Cf'(x)。

-和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

-积法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

-商法则：若g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2。

4.高阶导数

-高阶导数的定义：函数f(x)的n阶导数表示为f^n(x)，其中n为正整数。

-高阶导数的运算法则：包括莱布尼茨法则等。

5.导数的应用

-求函数在某一点的切线方程：已知函数f(x)和点(x0,y0)，求切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。

-求函数的极值：利用导数的正负号判断函数的单调性，进而求出函数的极大值和极小值。

-求函数的拐点：通过求二阶导数的符号变化，判断函数的凹凸性，进而求出拐点。

-求函数的渐近线：利用导数求函数的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。

6.导数在物理中的应用

-速度和加速度：导数在物理学中用于描述物体在某一时刻的速度和加速度。

-动能和势能：导数在物理学中用于求解动能和势能的变化率。

7.导数在经济中的应用

-利润最大化：利用导数求出成本函数和收益函数的极值，以确定利润最大化的产量。

-收入最大化：利用导数求出价格函数的极值，以确定收入最大化的价格。板书设计①导数的概念

-导数定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率。

-几何意义：切线斜率。

-物理意义：速度变化率。

②导数的性质

-线性性质：导数的和、差、积、商的运算法则。

-反函数导数：互为倒数。

-复合函数导数：链式法则。

③导数的运算法则

-常数倍法则：常数乘以导数。

-和差法则：导数的加减。

-积法则：导数的乘法。

-商法则：导数的除法。

④高阶导数

-高阶导数定义：函数的n阶导数。

-莱布尼茨法则：高阶导数的求法。

⑤导数的应用

-切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)。

-极值：利用导数的正负号判断函数的单调性。

-拐点：通过二阶导数的符号变化判断函数的凹凸性。

-渐近线：利用导数求水平、垂直和斜渐近线。

⑥导数在物理中的应用

-速度和加速度：导数描述物体在某一时刻的速度和加速度。

-动能和势能：导数求解动能和势能的变化率。

⑦导数在经济中的应用

-利润最大化：求成本函数和收益函数的极值。

-收入最大化：求价格函数的极值。课堂1.课堂评价

-提问环节：通过提问学生关于导数概念、性质和运算法则的问题，检验学生对基础知识的掌握程度。例如，提问“如何理解导数的几何意义？”或“请举例说明导数的物理意义在生活中的应用。”

-观察环节：在课堂练习和讨论环节，观察学生的参与度和解决问题的能力。注意学生是否能够独立完成导数的计算，是否能够正确应用导数解决实际问题。

-测试环节：在课程结束后，进行小测验或随堂测试，评估学生对本节课内容的理解和应用能力。测试题目应包括选择题、填空题和解答题，涵盖导数的定义、性质、运算法则和实际应用。

2.作业评价

-作业批改：对学生的作业进行认真批改，关注学生的解题思路和方法。对于错误，不仅要指出，还要分析错误原因，并提供正确的解题思路。

-作业点评：在作业批改的基础上，对学生的作业进行点评，肯定学生的优点，指出不足之处，并提出改进建议。例如，对于导数计算题，点评学生是否正确应用了导数的运算法则。

-及时反馈：作业完成后，及时将批改结果反馈给学生，让学生了解自己的学习情况，并根据反馈调整学习方法。

3.课堂互动评价

-小组讨论：在小组讨论环节，评价学生是否能够积极参与讨论，是否能够提出有见地的观点，以及是否能够倾听他人的意见。

-课堂提问：评价学生在课堂提问环节的参与度，是否能够提出有针对性的问题，以及是否能够对问题进行深入思考。

-课堂表现：评价学生在课堂上的整体表现，包括出勤、纪律、参与度等。

4.评价反馈

-定期总结：在课程结束后，对学生的整体学习情况进行总结，包括对导数概念、性质、运算法则和应用的掌握程度。

-个性化指导：根据学生的个体差异，提供个性化的学习指导，帮助学生克服学习中的困难。

-鼓励与激励：对学生在学习过程中的进步给予鼓励和激励，增强学生的学习动力。

5.评价工具

-课堂观察记录表：记录学生在课堂上的表现，包括参与度、问题回答、作业完成情况等。

-作业反馈表：记录学生的作业完成情况，包括正确率、解题思路、改进建议等。

-学生自我评价表：让学生对自己的学习情况进行自我评价，促进自我反思和自我提升。教学反思与改进教学反思是一项重要的教学活动，它帮助我审视自己的教学实践，发现不足，从而不断改进教学方法，提高教学效果。以下是我对最近一次导数及其应用教学的反思与改进计划。

1.教学内容呈现方式

-反思：在讲授导数的概念时，我发现部分学生对于抽象的数学概念理解不够深入。我在讲解过程中，虽然尽量结合实例，但可能还是过于理论化，导致学生难以把握。

-改进：未来教学中，我将尝试使用更多直观的教学工具，如图形动画、实物演示等，帮助学生更好地理解导数的概念。同时，我会更多地引导学生进行思考，通过提问和讨论，激发学生的求知欲。

2.学生参与度

-反思：在课堂讨论环节，我发现部分学生参与度不高，可能是由于他们对导数的兴趣不够浓厚或者对问题缺乏足够的思考。

-改进：为了提高学生的参与度，我将设计更具互动性的课堂活动，如小组竞赛、角色扮演等，让学生在轻松愉快的氛围中学习。此外，我会鼓励学生提出问题，并给予及时的反馈和解答。

3.学生练习与反馈

-反思：在布置导数计算练习时，我发现部分学生对于复杂的问题处理不够熟练，而且对于错误的原因分析不够深入。

-改进：我将提供更多样化的练习题，包括基础题、提高题和综合题，以满足不同学生的学习需求。同时，我会鼓励学生互相批改作业，通过同伴间的反馈，共同提高。

4.教学评价

-反思：在评价学生的过程中，我发现评价方式较为单一，主要依赖于作业和测试成绩，可能忽略了学生的实际进步。

-改进：我将采用多元化的评价方式，包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论参与度等，全面评估学生的学习成果。同时，我会定期与学生交流，了解他们的学习感受和需求。

5.教学资源利用

-反思：在教学过程中，我可能没有充分利用现有的教学资源，如网络资源、多媒体课件等，导致教学效果不够理想。

-改进：我将更加积极地整合和利用各种教学资源，如在线教育平台、教育软件等，为学生提供更加丰富的学习体验。重点题型整理1.求函数在某一点的导数

-题型：已知函数f(x)，求f'(x0)。

-例题：已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f'(1)。

-答案：f'(x)=3x^2-3，所以f'(1)=3*1^2-3=0。

2.求复合函数的导数

-题型：已知外函数f(x)和内函数g(x)，求(f(g(x)))'。

-例题：已知f(x)=e^x，g(x)=sin(x)，求(f(g(x)))'。

-答案：f'(x)=e^x，g'(x)=cos(x)，所以(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)=e^sin(x)cos(x)。

3.求隐函数的导数

-题型：已知隐函数y=f(x)，求y'。

-例题：已知x^2y^2=4，求y'。

-答案：对等式两边同时求导，得到2xy^2+2x^2y'y=0，化简得y'=-y/x。

4.求导数的应用

-题型：利用导数求解函数的极值。

-例题：已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x，求f(x)的极值。

-答案：求导得f