2023-2024学年重庆市渝中区某中学九年级（上）期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级第一学期期中数学

试卷

一、选择题。（每小题4分，共40分）

1.-3的相反数是（

C.-3

3

如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图为（

正面

Eb

3.若反比例函数丫上巴的图象经过二、四象限，则左的取值范围是（）

x

A.k>5B.k<5C.k25D.kW5

4.如果两个相似三角形的周长之比为5：7,那么这两个三角形的面积之比为（）

A.5：7B.7：5C.25：49D.49：25

5.如图，直线GE_LE尸于点£若NEFD=32°,则的度数是（）

A.62°B.58°C.52°D.48°

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

7.如图，是由相同的小圆圈按照一定规律摆放而成的，第（I）个图形中小圆圈的个数是5

个，第（2）个图形中小圆圈的个数是8个，第（3）个图形中小圆圈的个数是11个，则

第10个图形中小圆圈的个数是（)

o

Oo

oOo

eOo

go#oHu

。oOo

。Oo

(1)(2)(3)(4)

A.32B.35C.36D.40

8.如图，AB是。。的直径，是。。的切线，连接OC交OO于点连接40,若乙4

=30°，AD=五，则C。的长为()

A.3B.2C.如D.1

9.如图，正方形A/3c。，分别取A。和CO边的中点从F,连接/法、连接4厂相交于点G,

连接CG,若NA8E=a,则NOCG的度数为()

A.aB.2aC.90°-aD.90°-2a

10.对于任意有序排列的整式，我们将相邻两个整式和的一半放在这两个整式之间，形成一

组新的整式，这种操作称为“有序插队”，并把所得整式之和记为C：现对整式：加，

3a+4%,依次进行“有序插队”，已知第一次“有序插队”后所得的整式是：2a,^+2/7,

3a+4A,且6=与"6仇依此类推，则下列说法中，正确的为()

①经过第二次“有序插队”后的整式是：2a,^a+2b,-^-a+3>b,3a+4Z?；

②若5"4力WO,则n=2；

；C」-C，

nn-1

③若a=l,b=2,则可以经过〃次“有序插队”后使得G1为整数.

A.①②B.①©C.②③D.®@®

二、填空题。（每小题4分，共32分）

11.计算：sin3O°-2,=.

12.一个多边形的每一个外角为30°,那么这个多边形的边数为.

13.现将正面分别标有“1”“2”“3”“4”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌上，然后

随机抽出一张，不放叵，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的数字之和是3的倍数的

概率是.

14.某社区为丰富居民闲暇时间特新建一个图书馆，据统计，进馆人数逐渐增多，第一个月

进馆500人次，第三个月进馆845人次，若该图书馆的进馆人次月平均增长率为x,则根

据题意列出方程为.

15.如图，矩形ABCO中，48=2,N8A。的平分线交3C于点O,以。为圆心，04为半

径画弧，这条弧恰好经过点。，则图中阴影部分的面积为.

3x+a42

16.若关于x的不等式组°/3、、八至少有三个整数解，且关于>的分式方程

2（xf>x-2

g片典二2的解是非负整数，则符合条件的所有整数。的和是_________.

y-22-y

17.如图，将aAB。沿矩形ABC。的对角线8。折叠，使得点4落在点E处，点尸为8。

上一点，连接ER若EF=BE,AB=6,BC=8,则CF的长为.

18.一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字

相等，百位数字与十位数字相等，则称这样的四位数为“镜像数”，将“镜像数”W的

千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“镜像数”记为W；,

记。（M）'例如：当"=5885时，M'=8558,则户（5885）=§.耍滔园

=-243.若“镜像数"4=abba，满足P（A）能被7整除，则A的最大值是

在尸（A）能被7整除情况下，对于“镜像数"B=1raHim有尸（A）+81kn=kP（B）成立,

且左为正整数，则A的最小值是

三、解答题。（共78分）

19.计算:

（1）（x-2y）2-x（2x-y）；

o

⑵令"蓑+2-

20.如图，已知四边形A8c。中，H为4C边上一点，连接4H,DH,AC.

（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线交/（于£（保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若BE=HE,ZBAH=ZCAD,人〃为的角平分线.

求证：ZADH=ZACB.完成下列填空.

证明：VAE.LBC,BE=HE

©

；・ZABH=NAHB

•・・丹〃为/次/。的角平分线

，ZAHD=NAHB

ZBAH=ZCAD

：.ZBAH+ZHAC=ZCAD+ZHAC

即:

④

4ADH=NACB

BHC

21.法律是社会的温度，青少年要学会尊重法律.为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中

开展了法律知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进

行整理、描述和分析（x表示竞赛成绩，x取整数）：A.95WxW100：B.90«95：C.85

WxV90：D80WxV85,卜面给出了部分信息：

七年级抽取20名学生的竞赛成绩在8组中的数据为：93,92,92,93,90,93；

八年级抽取20名同学竞赛成绩数据为:80,81,82,85,86,88,88,92,93,93,94,

95,96,96,96,96,96,97,97,99.

八年级抽取的学生

竟永艇膝形统“图

8

7

6

5

4

3

2

1

O

ABCD成绩

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级平均分中位数众数

七年级91.5b93

八年级91.593.5c

请根据相关信息，回答以下问题：

（1）。=,b=,c=,并补全八年级抽取的学生竞赛成绩

条形统计图；

（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明

理由（写一条理由即可）；

（3）该校七年级有600人，八年级有800人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛

活动成绩优秀（彳290）的学生人数是多少？

22.为了响应国家号召，我市开展公益直播拓展兴企助农新渠道.已知，西红柿和土豆两种

蔬菜单价分别是每斤5元和每斤2元，售卖这两种蔬菜一天的销售总额为600元，其中

西红柿比土豆少卖20斤.

（I）求这一天中，西红柿和土豆各卖了多少斤？

（2）线上开展直播平台后，两种蔬菜每天售卖数量大幅提升，据统计，线上这段时间西

红柿共销售了4800斤，土豆共销售了5000斤，西红柿每天销售数量是土豆的圣，西红

25

柿销售天数比土豆多了10天，求线上土豆的每天销售量.

23.如图，在矩形ABCO中，AB=4,BC=3.O为AC的中点，动点P从点4出发，沿折

线A-B-C运动，当它到达点C时停止运动，设点P运动的路程为A-（x>0）,连接

OP，设△AOP的面积为yi.

（1）直接写出“与x的函数关系式为：.

（2）在给出的平面直角坐标系中画出》的函数图象，并写出这个函数的一条性

质：_______________________

(3)如图2,4的图象如图所示，根据函数图象，直接写出当时X的取值范

围是.（结果保留一位小数，误差不超过0.2）

24.如图，在小明家所住的高楼AQ的正西方有一座小山坡4C,已知小山坡的坡面距离8c

为200米，坡度i=l：0.75,在B点处测得楼顶。的仰角为45°,在山顶C处测得楼顶

。的仰角为15°.

（1）求48的长度；1结果精确到整数）

（2）一天傍晚，小明从A出发散步去山顶C,已知小明从A到8的速度为每分钟44米,

从8沿着BC上山的速度为每分钟25米，若他6：00出发，请通过计算说明他在6：20

前能否到达山顶。处？

（A,B,C,。在同一平面内，参考数据：tanl在^0.27,sin15°=0.26,tan15°=0.96）

25.如图1,抛物线产学/+版+。与x轴交于点A（-&,0）、B,抛物线的对称轴为

直线x=\Q，点短是抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作AFLAD交抛物线于点F,将直线AF向上平移我个单位交抛物线于点

M、N,在直线AF下方时称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作PQ//y轴交直线

MN于点Q,过点Q作QEJLA”交于点E,连接PE,求△PQE面积的最大值及此时点户

的坐标；

（3）将原抛物线沿射线A。方向平移，使平移后的抛物线过点（④，一笆2），丁是

P的对应点，平移后的抛物线与），轴交于S,R是平移后抛物线对称轴上一点，在平面直

角坐标系内是否存在点，，使得以点S、T、R、，为顶点的四边形是以SR为边的菱形，

若存在，请直接写出所有符合条件的点”的坐标.

图1图2

26.如图所示，等腰直角△ABC中，AB=4C,点。是BA延长线上一点，连接CD,点E

是CO上一点，连接BE,交4c于点F.

（1）如图1,若NC'8£=3U°,CF=®，求A尸的长;

（2）如图2,过点人作人M_L8产于点M,若BF=CD,试猜想人M、BE、CE之间的关

系并推理说明；

（3）如图3,在（2）的条件下，若”为射线8。上一动点，△8G”为等腰直角三角形,

且BG=GH,点P为GH中点,若BC=2对,CE=2,请直接写出的最小值.

即图3

参考答案

一、选择题。（每小题4分，共40分）

1.-3的相反数是（）

A.-48.3C.-3D.4-

33

【分析】根据相反数的概念解答求解.

解：-3的相反数是-（-3）=3.

故选：B.

【点评】本题考查了相反数的意义，理解相反数的意义是解题的关键.

2.如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图为（）

正面

a-b-DCBc.田D.±

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边i个小正方形，

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

3.若反比例函数y至乂的图象经过二、四象限，则&的取值范围是（）

x

A.k>5B.k<5C.Z25D.kW5

【分析】根据反比例或数的性质得出关于々的不等式，求出2的取值范围即可.

解：•・•反比例函数丫犬士的图象经过二、四象限，

x

A5-攵V0,

解得我>5.

故选：4.

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题

的关键.

4.如果两个相似三角形的周长之比为5：7,那么这两个三角形的面积之比为()

A.5：7B.7：5C.25：49D.49：25

【分析】相似三角形面积的比等于相似比的平方，柱似三角形周长的比等于相似比.由

此即可求解.

解：•・•两个相似三角形的周长之比为5：7,

・•・两个相似三角形的杵似比是5：7,

，这两个三角形的面积之比为52：72=25：49.

故选：C.

【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握柱似三角形面积的比等于相似比的平

方，相似三角形周长的比等于相似比.

5.如图，直线A8〃CO,GELEF干点、E.若NEFD=32°,则N8GE的度数是()

A.62°B.58°C.52°D.48°

（分析］过点E作AB的平行线HI,利用平行线的性质即可求解.

解：过点E作直线小〃4艮

\*AB//CD,AB"Hl,NEFD=32。,

：.CD//H1,

4HEF=/EFD=32°,

TGE上EF于点E,

AZGEF=90°,

：・/GEH=NGEF-NHEF=90。-32°=58°,

\*AB//Hh

：.ZBGE=ZGEH=5S°.

故选：B.

G

AH

H...............-炉£……I

C-----―------------------D

r

【点评】本题考查了垂线及平行线的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键.

6.估算：V5(V6的值应在()

V5

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

【分析】先根据实数的运算法则计算，然后估算我的取值范围，即可得出原式的取值

范围，从而得出答案.

解:V5(V6)

=倔+1，

•:后〈痼＜4,

・•・5＜屈＜3

:.6＜V30+1＜7，

所以原式的值在6和7之间，

故选：C.

【点评】本题考查了无理数的估算，实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法以及实数

的运算法则是解题的关键.

7.如图，是由相同的小圆圈按照一定规律摆放而成的，第(I)个图形中小圆圈的个数是5

个，第(2)个图形中小圆圈的个数是8个，第(3)个图形中小圆圈的个数是II个，则

第10个图形中小圆圈的个数是()

O

0O

O0O

0O

OOOO^OOU

02。0

CSOO0O

。0O

(1)(2)(3)(4)

A.32B.35C.36D.40

【分析】仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入〃=10求解即可.

解：观察图形得：

第I个图形有2+3X1=5个圆圈，

第2个图形有2+3X2=8个圆圈，

第3个图形有2+3X3=11个圆圈,

第〃个图形有(2+3/1)个圆圈,

当〃=10时，3X10+2=32,

故选：A.

【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的

通项公式，难度不大.

8.如图，是。。的直径，是。0的切线，连接OC交。。于点。，连接4。，若乙4

=30°，AD=五，则CD的长为()

A.3B.2C.A/3D.1

【分析】连接8/Z由。A=O。，/4。。=2乙4=60°,证明△BO。是等边三角形，则

ZOBD=60°,OA=OB=BD,所以4B=28Z),由4B是。。的直径，得NADB=9(T,

则AQ=4AB2_BD2=«/Q=E，求得BD=1,艰据切线的性质证明N。8c=90°，

则NO8C=NC=30°,所以。。=8。=1,于是得到问题的答案.

解：连接80,

VZA=30°,

・・・N3OQ=2NA=60°,

♦：OA=OD,

•••△40加是等边三角形，

・・・/。?。=60°,OA=OB=BD,

：.AB=2OA=2BD,

•••A8是GO的直径，AD=«,

AZAD«=90°，

D=22=22=

：•^7AB-BD7(2BD)-BDV3^=^3，

ABD=1,

:AC与。。相切于点B,

・・.BC_LOB,

AZOfiC=90",

AZDBC=90°-NOBO=30°,ZC=900-ZBOD=30°,

：,4DBC=NC,

：.CD=BD=\,

故选：D.

【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等边三角形的判定、勾股定理、

“等角对等边”等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

9.如图，正方形A4CO,分别取AO和CO边的中点£、F,连接3£、连接A尸相交于点G,

连接CG,若NA8E=Q,则NOCG的度数为（）

A.aB.2aC.900-aD.90°-2a

【分析】过点C作CH18E于G,先证△A4E和△/小尸全等，得NABE=N2,进而可

证NAGB=90°,设则A/）=AA=2a,由勾股定理得J5a,由三角形的面

积公式可得AG="~a，进而可求出8G=-^答和然后证△4BG和△8CH全等，得

55

AG=8"=Z等a，进而得HG=8G-8H=Z等a，由此得8H="G,据此可得/3=

55

N4=a，则N8CG=2a,最后根据N3CQ=N3CG+/OCG=90°即可得出答案.

解：过点。作CH_LB£于G,如图所示：

•・•四功形4BCD为正方形，

；・AB=AD=CD=BC,NBAD=ND=NBCD=NABC=90°,

•・•点E,〃为4。，。。的中点，

：.AE=DF,

在△ABF和△/)4产中，

'AB=CD

,ZBAD=ZD=90"，

AE=DF

•••△■3△DA尸(SAS),

・•・NABE=N2,

.\ZBAD=Z1+Z2=9O°,

/.ZI+ZA«E=90°,

AZAGB=180°-(Zl+ZABE)=90°,

设AE=a,贝l]AO=A6=2a,

在中，由勾股定理得：^=7AE2+AB2=^/5

由三角形的面积公式得：S丛波=—BE*AE=­A^AE,

22

.AB・AE2a・a2疾

■■AG=----------=-/==----------

BEV5a5

在RtZ\AGB中，由勾股定理得：^=VAB2-AG2=-^-

5

VZ4^C=90°,CHLBE,

.•・NABE+N5=90°,Z3+Z5=90°,

・•・NABE=N3=a,

VZAGB=90°,CH_BE,

・・・NAG8=NCH8=90°,

在△ABG和中，

rZABE=Z3

<ZAGB=ZCHB=90°，

AB=BC

:AABGm4BCH(/US),

5

・HC-RCRH-4祈2遮-2反

•.nCj—DC/-Dti---------a---------a----二-a，

555

:.BH=HG,

・・・C”为8G的垂直平分线，

:.BC=GC,

*.N3=N4=a,

••・N3CG=N3+N4=2a,

・•・/BCD=N8CG+NQCG=90°,

即NOCG=90°-ZBCG=90°-2a.

故选：D.

【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定

和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形

的判定和性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积进行计算是解决问题的关键.

10.对于任意有序排列的整式，我们将相邻两个整式和的一半放在这两个整式之间，形成一

组新的整式，这种操作称为“有序插队”，并把所得整式之和记为C；现对整式：2a,

3a+44依次进行“有序插队”，已知第一次“有序插队”后所得的整式是：2d,a+2。,

15

3〃+44且依此类推，则下列说法中，正确的为()

①经过第二次"有序插队”后的整式是：2a,^a+b,^-a+2b,=La+3/?,3a+4b；

②若5a+4力WO,则;"1J』；

Cn-Cn-1

③若〃=1,b=2,则可以经过〃次“有序插队”后使得G1为整数.

A.①②B.①©C.②③D.®@®

【分析】根据有序插队的定义对所给的整式进行运算，即可得出结论.

QE11

解：①经过第二次"有序插队"后的整式是：2〃，-^ci+b,~^a+2h,—^ci+3h,3a+4b；

故①正确；

1RQ

②。1=争+6%=W(54+4/力，

22

95]]1515

C2=2a+-a+b+--a+2b^——a+3b+3a+4h———a+Gb=(5a+4b)+2(5a+4b)=—(5a+4b)

424222

9R

=上-+10伉

2

171Q109R91511997

C3=2d+-----a+—b+-a+b+-----a+—b+—a+2b+-----a+-b+-----a+3b+-----a+-b+3〃+4A=

82482282482

151945

-^-a+6b=—(5a+4A)+4(5〃+4b)=—(5a+4A)=斗/+18〃，

2222

117

C=—(5a+4b)+8(5a+4〃)=—(5a+4b),

422

133

G节(5a+4b)+16(5a+4b)=号(5。+4万)，

乙乙

Cn=£(5a+4〃)+2〃i(5a+4b),

C+[-C2n-2“T

声—=WrF=2；故②正确;

Cn-Cn-l2n-2n2

③若。=则(zr,

1,b=2,G=[5+8)+2(5+8),Q不是整数，故③错误;

2

故选：人

【点评】本题考查了整式的加减，新定义类问题，找出规律是解题的关键.

二、填空题。（每小题4分，共32分）

11.计算：sin300-2一|=0.

【分析】先计算特殊角的函数值和负整数指数幕，再计算加减.

解：sin300・2一|=1•-得=0,

乙乙

故答案为：0.

【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，

和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有

括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算

律在实数范围内仍然适用.

12.一个多边形的每一个外角为30°,那么这个多边形的边数为12.

【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求

出外角的度数.根据任何多边形的外角和都是36()。，利用360。除以外角的度数就可以

求出外角和中外角的个数，即多边形的边数.

解：多边形的边数：360°+30。=12,

则这个多边形的边数为12.

故答案为：12.

【点评】根据外角和的大小与多动形的i力数无关,由外角和求正：多动形的i力数,是常见

的题目，需要熟练掌握.

13.现将正面分别标有“1”“2”“3”“4”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌上，然后

随机抽出一张，不放叵，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的数字之和是3的倍数的

概率是4.

一9一

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和是3的

倍数的结果有4种，再由概率公式求解即可.

解：画树状图如卜.：

开始

和345356457567

共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和是3的倍数的结果有4种，

・•・两次抽出的卡片上的数字之和是3的倍数的概率是4，

9

故答案为：

9

【点评】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

14.某社区为丰富居民闲暇时间特新建一个图书馆，据统计，进馆人数逐渐增多，第一个月

进馆500人次，第三个月进馆845人次，若该图书馆的进馆人次月平均增长率为x,则根

据题意列出方程为500(1+x)』程5.

【分析】利用第三个月进馆人次=第一个月进馆人次X(1+进馆人次的月平均增长这产,

即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.

解：根据题意得：500(1+外『845.

故答案为:500(1+x)2=845.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

15.加图，矩形4BCO中，48=2,N84。的平分线交8c于点O,以。为圆心，0A为半

径画弧，这条弧恰好经过点则图中阴影部分的面积为2*4.

【分析】由矩形的性质及角平分线的定义推出△A3。的等腰直角三角形，进而求出。4

ZAOB=45°,OB=\,证得Rl^ABO^Rl/^DCO,求得进而求得/80。=90°,根据

阴影部分的面积=S场形・Sa犯即可求出结论.

解：•・•四边形ABCO是矩形，

J.AD//BC,NB=NC=90°,AB=CD,

：.4DA0=/B0A,

•・・。4是NZM。的平分线，

：.ZBAO=ZDAO,

：,ZBAO=ZBOA,

：.AB=OB=2,

ion-90

Z.4BAO=ZBOA=-^-=45°，

F

在RtAABO中,

。八=JAB%B2=+2?=2&,

在RtAABO和n△DCO中，

/AO=DO

'AB=DC'

ARtA/l^^RlADCO(HL),

・・・NOOC=NAOB=45,OC=OB=2,

・・・BC=AO=4,

••・NAOO=180“-45"-450=90",

：.^OAD的面积为小。・AB=4,

则阴影部分的面积为：S扇形必。-S.=9°乎:(处11-4=2n-4,

360

故答案为：211-4.

【点评】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质

和判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键.

3x+a42

16.若关于x的不等式组/3、、°至少有三个整数解，且关于y的分式方程

2(”)>x-2

盘喏:2的解是非负整数，则符合条件的所有整数,的和是q.

【分析】解不等式组，利用已知条件得到。的不等式，利用分式方程的解为非负整数得

到关于。的不等式，将两个不等式组成新的不等式组，解不等式组取整数解即可.

解：解不等式3x+〃W2,得：xW券，

解不等式2(x+3)>.v-2,得：£>-5,

•・•不等式组至少有三个整数解，

.•.与2-2,

3

解得〃W8,

分式方程鼻普”-2的解为：)，=萼，

y-22-y2

•・•关于>>的分式方程的解为非负整数，

q2。且—2,

22

.,・〃2-6且-2,

解得：-6或〃忘8且〃之-2,

•・・。为整数，且专为非负整数，

：.a=-6,-4,0,2,4,6,8,

・•・符合条件的所有整数a的和为：・6-4+0+2+4+6+8=10.

故答案为：10.

【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整

数解，利用己知条件得到关于〃的不等式组是解题的关键.

17.如图，将△A8D沿矩形A8CD的对角线BD折叠，使得点4落在点E处，点尸为8D

上一点，连接E凡若EF=BE,AB=6,BC=8,则C尸的长为—生色工_.

5

【分析】作CGJ_BO于点G,EHLBD于点H,由矩形的性质得CQ〃A&CD=AB,AD

=BC=8,ZA=90°,所以/COG=NABO,^=VAB2+AD2=,0»由折叠得EB=

A8=6,ED=AD=8,NBED=NA=90。,NEBH=NABD,可证明△COG出△EB”，

由《X10E，=A><6X8=SaEw)，求得EH=空，则8H=^=孕，所以CG

2255

OAioio4

=EH=管,DG=BH=*,由七/=8E,得FH=BH=S可求得尸G=晟，则CF=

5555

JCG2+FG2=全红,于是得到问题的答案.

5

解：作CG_L8Z)于点G,EHLBD于点H,则/£)GC=NB”E=90°,

•・•四边形4BC。是矩形，48=6,8C=8,

J.CD//AB,CD=AB,AD=BC=S,NA=90°,

22=22=I0

：,ZCDG=ZABDf^=7AB+ADV6+8'

由折叠得£B=A8=6,ED=AD=S,N8EO=NA=90°,/EBH=NABD,

:・CD=EB,NCDG=NEBH,

工ACDG安MBH(AAS),

•・•工BD*EH=ZEB*ED=S.EBD,

22

A—X10E//=-X6X8,

22

OA1O

:・CG=EH=^,DG=BH=*,

55

•••EF=BE,

io

FH=BH=—

5

：.DF=BD-BH-FH=10----,

555

18144

：.FG=DG-DF=---=—,

555

皿=百寿』与产+得了=曾，

【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定

理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

18.一个各数位上的数字不完全相同且均不为。的四位正整数，若满足千位数字与个位数字

相等，百位数字与十位数字相等，则称这样的四位数为“镜像数”，将“镜像数”W的

千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“镜像数”记为“；，

记尸（M）J'；,例如：当时.M'=8558.则P（5885）=5.5;；558

=-243.若“镜像数"A=abba，满足尸㈠）能被7整除，则A的最大值是9229；

在P（A）能被7整除情况下，对于“镜像数"4=蔡三有P（八）+8次〃=妙（3）成立,

且k为正整数，则人-8的最小值是-为0.

【分析】根据题意可得尸（4）=81Ca-b）,由于P（A）能被7整除，则〃一方是7的

倍数，讨论即可得〃、匕的值；同理可得尸（B）=81Cm-n），因为P（A）+81&〃=

kP(8)可得攵=卓-=—^二，分类讨论即可.

m-2nm-2n

解：“镜像数"腐=abba=1C+1(乂)〃+1°1+小

则/V=l()(X)〃+IOOa+/Oa+A

：.P(4)=(1000a+100/?+10/?+a-1000/?-\00a-10r/-b)4-11

=(8914-893)+11

=81(67-b),

VP(A)能被7整除，

・•・〃-》是7的倍数且0<«<9,0</?<9,

・・・。■"的最大值为7,

：.a=9,b=2,

的最大值为9229；

乂•；8=imnin，

8=nirann，

：.P(B)=81(m-n)

：,P(A)+S\kn=kP(8)

A81(a-b)+8M〃=&X81(m-n)

.\a-b+kn=km-kn,即k(2n-m)=b-a,

又・・・a=9,b=2,

•k~a~b—7

m-2nirr2n

又・・F为正整数，

,\m-2n>0即m>2n

m-2n=1或〃?-2n=7,

当机-2〃=1时，则〃可取0、1、2^3^4,

・•・〃?对应的数为1、3、5、7、9；

当〃？・2〃=7时，则〃可取0、I、2,

・•・，"对应的数为7、9；

VA-B=1000。+100/7+10Ha-1000m-100〃-10〃-m

=1001(a-in)+110(b-n),

・・・4-B=1001(9-w)+110(2-n),

・•・要使A・5取最小值，/与〃要尽可能大,优其是机

，当机=9时，〃=4或1,

且〃也要尽可能大

，〃=4

・・・A-B=1001X(9-9)+110X(2-4)

=-220,

故答案为：9229；-220.

【点评】本题考查因式分解的应用，理解题意，分类讨论，搞清楚数量关系是解决问题

的关键.

三、解答题。(共78分)

19.计算:

(1)(x-2y)2-x(2x-y)：

⑵/一6：+9+(5

a+2a+2

【分析】(1)利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答;

(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.

解：(1)(x-2y)2-x(2x-y)

=x1~4xy+4)^-ZF+孙

=-x2-3xv+4y2；

⑵46：+9.(52_a)

a+2a+2

」-3)3.5+(2=)(a+2)

a+2a+2

一(a13)*二9-a2

a+2a+2

a+2

a+2(3+a)(3-a)

_3~a

3+a

【点评】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式，单项式乘多项式，准确熟练地进

行计算是解题的关键.

20.如图，已知四边形A8C3中，H为BC边上一点,连接AH,DH,AC.

(I)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线交8C于E(保留作图痕迹);

(2)在(1)的条件下，若BE=HE,N8AH=NCAD,A”为的角平分线.

求证：ZADH=ZACB.完成下列填空.

证明：,CAELBC,BE=HE

：.AB=AH0)

，NABH=NAHB

•・・A”为的角平分线

・•.4AHD=/AHB

，NABH=/AHD②

•：ZBAH=ZCAD

.・・ZBAH+ZHAC=ZCAD+ZHAC

即：NBAC=NHAD③

・，・/\ABC^AHAD®

・•・ZADH=ZACB

【分析】（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图;

（2）根据三角形的仝等的判定定理证明.

解：（1）如图所示：点E即为所求；

（2）VAE1BC,BE=HE,

：.AB=AH,

：.NABH=NAHB,

•・•A”为NAH。的角平分线

・•・ZAHD=UAHB

：.ZABH=/AHD,

*：ZBAH=ZCAD

・•・NBAH+NHAC=NCAD+NHAC

即：NBAC=/HAD,

.•・NAO"=NAC*.

故答案为：AB=AH,4ABH=/AHD,ZBAC=ZHAD,/\HAD.

B

【点评】本题考查了复杂作图，掌握三角形的全等的判定定理是解题的关键.

21.法律是社会的温度，青少年要学会尊重法律.为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中

开展了法律知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进

行整理、描述和分析（x表示竞赛成绩，x取整数）：A95WxW100：B.90«95；C.85

WxV90：D.80WxV85,下面给出了部分信息：

七年级抽取20名学生的竞赛成绩在8组中的数据为:93,92,92,93,90,93；

八年级抽取20名同学竞赛成绩数据为:80,81,82.85,86,88,88,92,93,93,94,

年级平均分中位数众数

七年级91.5h93

八年级91.593.5C

请根据相关信息，回答以卜问题：

（1）。=20,b=